расширение HNN

В математике расширение HNN является важной конструкцией комбинаторной теории групп .

Представлен в статье 1949 года «Теоремы вложения для групп» . ^{[ 1 ]} Грэма Хигмана , Бернхарда Ноймана и Ханны Нойманн , он вкладывает данную группу G в другую группу G' таким образом, что две заданные изоморфные подгруппы группы G сопряжены (через заданный изоморфизм) в G' .

Строительство

Пусть G — группа с представлением $G=\langle S\mid R\rangle$ , и пусть $\alpha \colon H\to K$ — изоморфизм между двумя подгруппами G. группы Пусть t будет новым символом не из S и определим

G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .

Группа $G*_{\alpha }$ называется HNN-расширением группы G относительно α. Исходная группа G называется базовой группой конструкции, а подгруппы H и K — ассоциированными подгруппами . Новый генератор t называется стабильной буквой .

Ключевые свойства

С момента презентации для $G*_{\alpha }$ содержит все генераторы и отношения из представления для G , существует естественный гомоморфизм, индуцированный идентификацией генераторов, который переводит G в $G*_{\alpha }$ . Хигман, Нейман и Нейман доказали, что этот морфизм инъективен, то есть вложение G в $G*_{\alpha }$ . Следствием этого является то, что две изоморфные подгруппы данной группы всегда сопряжены в некоторой надгруппе ; Желание показать это было первоначальной мотивацией строительства.

Лемма Бриттона

Ключевым свойством HNN-расширений является теорема о нормальной форме, известная как лемма Бриттона . ^{[ 2 ]} Позволять $G*_{\alpha }$ быть таким же, как указано выше, и пусть w будет следующим продуктом в $G*_{\alpha }$ :

w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.

Тогда лемму Бриттона можно сформулировать следующим образом:

Лемма Бриттона. Если w = 1 в G ∗ _α, то
или $n=0$ и g ₀ = 1 в G

или $n>0$ и для некоторого i ∈ {1,..., n −1} выполняется одно из следующих условий:

ε _{i знак} равно 1, ε _{i +1} = −1, g _i ∈ H ,

ε _{я знак} равно -1, ε _{я +1} знак равно 1, грамм _я ∈ K .

В противополагающих терминах лемма Бриттона принимает следующую форму:

Лемма Бриттона (альтернативная форма). Если w таково, что
или $n=0$ и г ₀ ≠ 1 ∈ G ,

или $n>0$ и произведение w не содержит подстрок вида th ⁻¹, где h ∈ H и вида t ⁻¹kt , где k ∈ K ,
затем $w\neq 1$ в $G*_{\alpha }$ .

Следствия леммы Бриттона.

Большинство основных свойств HNN-расширений следуют из леммы Бриттона. К таким последствиям относятся следующие факты:

Естественный гомоморфизм из G в $G*_{\alpha }$ инъективен, так что мы можем думать о $G*_{\alpha }$ как содержащая G в качестве подгруппы .
Каждый элемент конечного порядка в $G*_{\alpha }$ сопряжен элементу G .
Каждая конечная подгруппа $G*_{\alpha }$ сопряжена конечной подгруппе группы G .
Если $G$ содержит элемент $g$ такой, что $g^{k}$ не содержится ни в одном $H$ ни $K$ для любого целого числа $k$ , затем $G*_{\alpha }$ содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга два.

Приложения и обобщения

Применительно к алгебраической топологии расширение HNN создает фундаментальную группу топологического пространства X , которое «приклеено» к себе с помощью отображения f : X → X (см., например, поверхностное расслоение над кругом ). Таким образом, расширения HNN описывают фундаментальную группу самосклеенного пространства так же, как это делают свободные произведения со слиянием для двух пространств X и Y , склеенных по связному общему подпространству, как в теореме Зейферта-ван Кампена . Эти две конструкции позволяют описать фундаментальную группу любой разумной геометрической склейки. Это обобщено в теорию Басса-Серра групп, действующих на деревьях, строя фундаментальные группы графов групп . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

HNN-расширения играют ключевую роль в доказательстве Хигмана теоремы вложения Хигмана , которая утверждает, что каждая конечно порожденная рекурсивно представленная группа может быть гомоморфно вложена в конечно представленную группу . Большинство современных доказательств теоремы Новикова–Буна о существовании конечно определенной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой слов также существенно используют HNN-расширения.

Идея расширения HNN была распространена на другие части абстрактной алгебры , включая алгебры Ли теорию .

См. также

Расширение группы

Ссылки

^ Хигман, Грэм ; Нойманн, Бернхард Х .; Нойманн, Ханна (1949). «Теоремы вложения групп» . Журнал Лондонского математического общества . с1-24 (4): 247–254. дои : 10.1112/jlms/s1-24.4.247 .
^ Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия «Классика математики», переиздание издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Ч. IV. Бесплатные продукты и расширения HNN.
^ Серр, Жан-Пьер (1980), Деревья. Перевод с французского Джона Стиллвелла , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-10103-9
^ Уоррен Дикс; Эм Джей Данвуди. Группы, действующие на графах . п. 14. Фундаментальную группу графов групп можно получить, последовательно выполнив одно бесплатное произведение с объединением для каждого ребра в максимальном поддереве, а затем одно расширение HNN для каждого ребра не в максимальном поддереве.

[1] Хигман, Грэм ; Нойманн, Бернхард Х .; Нойманн, Ханна (1949). «Теоремы вложения групп» . Журнал Лондонского математического общества . с1-24 (4): 247–254. дои : 10.1112/jlms/s1-24.4.247 .

[2] Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия «Классика математики», переиздание издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Ч. IV. Бесплатные продукты и расширения HNN.

[3] Серр, Жан-Пьер (1980), Деревья. Перевод с французского Джона Стиллвелла , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-10103-9

[4] Уоррен Дикс; Эм Джей Данвуди. Группы, действующие на графах . п. 14. Фундаментальную группу графов групп можно получить, последовательно выполнив одно бесплатное произведение с объединением для каждого ребра в максимальном поддереве, а затем одно расширение HNN для каждого ребра не в максимальном поддереве.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]