Бесплатный продукт

В математике , особенно в теории групп , свободное произведение — это операция, которая берет две группы G и H и создает новую группу G ∗ H . Результат содержит как G , так и H в качестве подгрупп , порождается элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K факторизуются однозначно через гомоморфизм из G ∗ H в K. Если одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу аналогично построению свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).

Бесплатный продукт — это побочный продукт в категории групп . То есть свободный продукт играет в теории групп ту же роль, которую дизъюнктное объединение играет в теории множеств или прямую сумму в теории модулей . Даже если группы коммутативны, их свободное произведение таковым не является, если только одна из двух групп не является тривиальной группой . Следовательно, свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп .

Свободное произведение важно в алгебраической топологии из-за теоремы Ван Кампена , которая утверждает, что фундаментальная группа объединения объединенным двух линейно связных топологических пространств , пересечение которых также линейно связно, всегда является свободным продуктом фундаментальных групп пространств. . В частности, фундаментальная группа клин-суммы двух пространств (т. е. пространства, полученного соединением двух пространств в одной точке) при определенных условиях, заданных в теореме Зейферта Ван-Кампена, является свободным произведением фундаментальных групп пространства.

Свободные произведения также важны в теории Басса-Серра , изучении групп, действующих автоморфизмами на деревьях . В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп с использованием объединенных свободных произведений и расширений HNN . Используя действие модулярной группы на некоторую мозаику гиперболической плоскости , из этой теории следует, что модулярная группа изоморфна свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6, объединенных над циклической группой порядка 2.

Строительство

Если G и H — группы, слово в G и H представляет собой последовательность вида

s_{1}s_{2}\cdots s_{n},

где каждый s _i является либо элементом G , либо элементом H . Такое слово можно сократить с помощью следующих операций:

Удалите экземпляр идентификационного элемента ( G или H ).
Замените пару вида g ₁ g ₂ ее произведением в G или пару h ₁ h ₂ ее произведением в H .

Каждое сокращенное слово является либо пустой последовательностью, содержит ровно один элемент G или H , либо представляет собой чередующуюся последовательность элементов G и элементов H , например

g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.

Свободное произведение G ∗ H — это группа, элементами которой являются приведенные слова в G и H при операции конкатенации с последующей редукцией.

Например, если G — бесконечная циклическая группа $\langle x\rangle$ , а H — бесконечная циклическая группа $\langle y\rangle$ , то каждый элемент G ∗ H является попеременным произведением степеней x на степени y . В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y .

Презентация

Предположим, что

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle

— представление G что (где S _G — набор образующих, а RG _— набор отношений), и предположим,

H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle

это презентация H. для Затем

G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .

То есть G ∗ H порождается генераторами для G вместе с генераторами для H , причем отношения состоят из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет конфликтов обозначений, так что это фактически непересекающиеся объединения ).

Примеры

Например, предположим, что G — циклическая группа порядка 4,

G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,

и H — циклическая группа порядка 5

H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .

Тогда G ∗ H — бесконечная группа

G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .

Поскольку в свободной группе нет отношений, свободным продуктом свободных групп всегда является свободная группа. В частности,

F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},

где F _n обозначает свободную группу с n образующими.

Другой пример — модульная группа $PSL_{2}(\mathbf {Z} )$ . Он изоморфен свободному произведению двух циклических групп: ^{[ 1 ]}

PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).

Обобщение: бесплатный продукт с объединением.

Соответственно , более общая конструкция бесплатного продукта с объединением представляет собой особый вид вытеснения в той же категории . Предполагать $G$ и $H$ заданы, как и раньше, вместе с мономорфизмами (т.е. гомоморфизмами инъективной группы ):

\varphi :F\rightarrow G\ \,

и

\ \,\psi :F\rightarrow H,

где $F$ — некоторая произвольная группа. Начните с бесплатного продукта $G*H$ и примыкать как отношения

\varphi (f)\psi (f)^{-1}=1

для каждого $f$ в $F$ . Другими словами, возьмем наименьшую нормальную подгруппу $N$ из $G*H$ содержащий все элементы в левой части приведенного выше уравнения, которые молчаливо рассматриваются в $G*H$ с помощью включений $G$ и $H$ в их бесплатном продукте. Бесплатный продукт с объединением $G$ и $H$ , относительно $\varphi$ и $\psi$ , является факторгруппой

(G*H)/N.\,

Объединение привело к отождествлению между $\varphi (F)$ в $G$ с $\psi (F)$ в $H$ , элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных подпространством, связанным по путям, с $F$ беря на себя роль фундаментальной группы подпространства. См.: Теорема Зейферта–ван Кампена .

Каррасс и Солитар дали описание подгрупп свободного продукта с объединением. ^{[ 2 ]} Например, гомоморфизмы из $G$ и $H$ в факторгруппу $(G*H)/N$ которые вызваны $\varphi$ и $\psi$ оба инъективны, как и индуцированный гомоморфизм из $F$ .

Свободные произведения со слиянием и тесно связанное с ним понятие расширения HNN являются основными строительными блоками теории Басса – Серра групп, действующих на деревьях.

В других филиалах

Аналогичным образом можно определить свободные произведения других алгебраических структур, отличных от групп, включая алгебры над полем . Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности , какую декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей .

См. также

Ссылки

^ Альперин, Роджер К. (апрель 1993 г.). «ПСЛ ₂ (Z) = Z ₂ * Z ₃ ». амер. Математика. Ежемесячно . 100 : 385–386. дои : 10.1080/00029890.1993.11990418 .
^ А. Каррасс и Д. Солитар (1970) Подгруппы свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой , Труды Американского математического общества 150: 227–255.

[1] Альперин, Роджер К. (апрель 1993 г.). «ПСЛ ₂ (Z) = Z ₂ * Z ₃ ». амер. Математика. Ежемесячно . 100 : 385–386. дои : 10.1080/00029890.1993.11990418 .

[2] А. Каррасс и Д. Солитар (1970) Подгруппы свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой , Труды Американского математического общества 150: 227–255.

[ 1 ]

[ 2 ]