Свободная независимость

В математической теории свободной вероятности понятие свободной независимости было введено Дэном Войкулеску . ^[1] Определение свободной независимости параллельно классическому определению независимости , за исключением того, что роль декартовых произведений пространств с мерой (соответствующих тензорным произведениям их функциональных алгебр) играет понятие свободного произведения (некоммутативной) вероятности пространства.

В контексте теории свободной вероятности Войкулеску многие теоремы или явления классической вероятности имеют аналоги свободной вероятности: та же самая теорема или явление имеет место (возможно, с небольшими изменениями), если классическое понятие независимости заменяется свободной независимостью. Примеры этого включают: свободную центральную предельную теорему; понятия свободной свертки ; существование свободного стохастического исчисления и так далее.

Позволять $(A,\phi )$ быть некоммутативным вероятностным пространством , т.е. с единицей алгеброй $A$ над $\mathbb {C}$ оснащен единым линейным функционалом $\phi :A\to \mathbb {C}$ . В качестве примера можно взять вероятностную меру $\mu$ ,

A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).

Другим примером может быть $A=M_{N}$ , алгебра $N\times N$ матрицы с функционалом, заданным нормированным следом $\phi ={\frac {1}{N}}Tr$ . Даже в более общем смысле, $A$ может быть алгеброй фон Неймана и $\phi$ состояние на $A$ . Последний пример — групповая алгебра $A=\mathbb {C} \Gamma$ (дискретной) группы $\Gamma$ с функционалом $\phi$ заданный групповым следом $\phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma$ .

Позволять $\{A_{i}:i\in I\}$ быть семейством единичных подалгебр $A$ .

Определение . Семья $\{A_{i}:i\in I\}$ называется свободно независимым, если $\phi (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=0$ в любое время $\phi (x_{j})=0$ , $x_{j}\in A_{i(j)}$ и $i(1)\neq i(2),i(2)\neq i(3),\dots$ .

Если $X_{i}\in A$ , $i\in I$ представляет собой семейство элементов $A$ (их можно рассматривать как случайные величины в $A$ ), их называют

свободно независимы, если алгебры $A_{i}$ созданный $1$ и $X_{i}$ являются свободно независимыми.

Примеры свободной независимости

Позволять $\Gamma$ быть свободным продуктом групп $\Gamma _{i},i\in I$ , позволять $A=\mathbb {C} \Gamma$ быть групповой алгеброй, $\phi (g)=\delta _{g=e}$ быть групповой трассой и установить $A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A$ . Затем $A_{i}:i\in I$ являются свободно независимыми.
Позволять $U_{i}(N),i=1,2$ быть $N\times N$ унитарные случайные матрицы , взятые независимо случайным образом из $N\times N$ унитарная группа (относительно меры Хаара ). Затем $U_{1}(N),U_{2}(N)$ становятся асимптотически свободно независимыми, поскольку $N\to \infty$ . (Асимптотическая свобода означает, что определение свободы справедливо в пределе как $N\to \infty$ ).
В более общем смысле, независимые случайные матрицы имеют тенденцию быть асимптотически свободно независимыми при определенных условиях.