Свободная свертка

Свободная свертка — это свободный вероятностный аналог классического понятия свертки вероятностных мер. Ввиду некоммутативности свободной теории вероятностей приходится отдельно говорить об аддитивной и мультипликативной свободной свертке, возникающей в результате сложения и умножения свободных случайных величин (см. ниже; что в классическом случае было бы аналогом свободных случайных величин). мультипликативную свертку можно свести к аддитивной свертке переходом к логарифмированию случайных величин). Эти операции имеют некоторую интерпретацию в терминах эмпирических спектральных мер матриц случайных . ^[1]

Понятие свободной свертки было введено Дэном-Вирджилом Войкулеску . ^[2]^[3]

Бесплатная аддитивная свертка

Позволять $\mu$ и $\nu$ — две вероятностные меры на действительной прямой и предположим, что $X$ - случайная величина в некоммутативном вероятностном пространстве с законом $\mu$ и $Y$ — случайная величина в том же некоммутативном вероятностном пространстве с законом $\nu$ . Предположим наконец, что $X$ и $Y$ являются свободно независимыми . Тогда свободная аддитивная свертка $\mu \boxplus \nu$ это закон $X+Y$ . Интерпретация случайных матриц : если $A$ и $B$ некоторые независимые $n$ к $n$ Эрмитовы (соответственно вещественные симметричные) случайные матрицы, такие, что по крайней мере одна из них по закону инвариантна относительно сопряжения с любой унитарной (соответственно ортогональной) матрицей и такие, что эмпирические спектральные меры $A$ и $B$ склонны соответственно к $\mu$ и $\nu$ как $n$ стремится к бесконечности, то эмпирическая спектральная мера $A+B$ имеет тенденцию $\mu \boxplus \nu$ . ^[4]

Во многих случаях можно вычислить вероятностную меру $\mu \boxplus \nu$ явно, используя комплексно-аналитические методы и R-преобразование мер $\mu$ и $\nu$ .

Прямоугольная свертка без добавок

Прямоугольная безаддитивная свертка (с соотношением $c$ ) $\boxplus _{c}$ также был определен в рамках некоммутативной теории вероятностей Бенайчем-Жоржем. ^[5] и допускает следующую интерпретацию случайных матриц . Для $c\in [0,1]$ , для $A$ и $B$ некоторые независимые $n$ к $p$ комплексные (соответственно вещественные) случайные матрицы, такие, что по крайней мере одна из них по закону инвариантна при умножении слева и справа на любую унитарную (соответственно ортогональную) матрицу и такие, что сингулярных значений эмпирическое распределение $A$ и $B$ склонны соответственно к $\mu$ и $\nu$ как $n$ и $p$ стремятся к бесконечности таким образом, что $n/p$ имеет тенденцию $c$ , то сингулярных значений эмпирическое распределение $A+B$ имеет тенденцию $\mu \boxplus _{c}\nu$ . ^[6]

Во многих случаях можно вычислить вероятностную меру $\mu \boxplus _{c}\nu$ явно, используя комплексно-аналитические методы и прямоугольное R-преобразование с соотношением $c$ мер $\mu$ и $\nu$ .

Бесплатная мультипликативная свертка

Позволять $\mu$ и $\nu$ — две вероятностные меры на интервале $[0,+\infty )$ и предположим, что $X$ - случайная величина в некоммутативном вероятностном пространстве с законом $\mu$ и $Y$ — случайная величина в том же некоммутативном вероятностном пространстве с законом $\nu$ . Предположим наконец, что $X$ и $Y$ являются свободно независимыми . Тогда свободная мультипликативная свертка $\mu \boxtimes \nu$ это закон $X^{1/2}YX^{1/2}$ (или, что то же самое, закон $Y^{1/2}XY^{1/2}$ . Интерпретация случайных матриц : если $A$ и $B$ некоторые независимые $n$ к $n$ неотрицательные эрмитовые (соответственно вещественные симметричные) случайные матрицы, такие, что по крайней мере одна из них по закону инвариантна относительно сопряжения любой унитарной (соответственно ортогональной) матрицей и такие, что эмпирические спектральные меры $A$ и $B$ склонны соответственно к $\mu$ и $\nu$ как $n$ стремится к бесконечности, то эмпирическая спектральная мера $AB$ имеет тенденцию $\mu \boxtimes \nu$ . ^[7]

Аналогичное определение можно дать и в отношении законов. $\mu ,\nu$ поддерживается на единичном круге $\{z:|z|=1\}$ , с интерпретацией ортогональных или унитарных случайных матриц .

Явные вычисления мультипликативной свободной свертки могут быть выполнены с использованием комплексно-аналитических методов и S-преобразования.

Приложения свободной свертки

Свободную свертку можно использовать для доказательства свободной центральной предельной теоремы.
Свободную свертку можно использовать для вычисления законов и спектров сумм или произведений свободных случайных величин. К таким примерам относятся: операторы случайного блуждания в свободных группах (меры Кестена); и асимптотическое распределение собственных значений сумм или произведений независимых случайных матриц .

Благодаря своему применению к случайным матрицам свободная свертка имеет прочную связь с другими работами по G-оценке Гирко.

Приложения в беспроводной связи , финансах и биологии предоставили полезную основу, когда количество наблюдений имеет тот же порядок, что и размеры системы.

См. также

Ссылки

^ Андерсон, GW; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5 .
^ Войкулеску, Д., Добавление некоторых некоммутирующих случайных величин, J. Funct. Анальный. 66 (1986), 323–346
^ Войкулеску, Д., Умножение некоторых некоммутирующих случайных величин, J. Теория операторов 18 (1987), 2223–2235.
^ Андерсон, GW; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5 .
^ Бенайч-Жорж Ф., Прямоугольные случайные матрицы, связанная свертка, Вероятность. Области, связанные с теорией Vol. 144, нет. 3 (2009) 471-515.
^ Бенайч-Жорж Ф., Прямоугольные случайные матрицы, связанная свертка, Вероятность. Области, связанные с теорией Vol. 144, нет. 3 (2009) 471-515.
^ Андерсон, GW; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5 .

«Свободная деконволюция для приложений обработки сигналов», О. Райан и М. Дебба, ISIT 2007, стр. 1846–1850.
Джеймс А. Минго, Роланд Спейчер: Свободная вероятность и случайные матрицы . Монографии Института Филдса, Том. 35, Спрингер, Нью-Йорк, 2017.
Д.-В. Войкулеску, Н. Стаммайер, М. Вебер (ред.): Свободная вероятностная и операторная алгебры , Мюнстерские лекции по математике, EMS, 2016

Внешние ссылки

Кресло Alcatel Lucent с гибким радио
http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
http://folk.uio.no/oyvindry
обзорные статьи Роланда Шпайчера о свободной вероятности.

[1] Андерсон, GW; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5 .

[2] Войкулеску, Д., Добавление некоторых некоммутирующих случайных величин, J. Funct. Анальный. 66 (1986), 323–346

[3] Войкулеску, Д., Умножение некоторых некоммутирующих случайных величин, J. Теория операторов 18 (1987), 2223–2235.

[4] Андерсон, GW; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5 .

[5] Бенайч-Жорж Ф., Прямоугольные случайные матрицы, связанная свертка, Вероятность. Области, связанные с теорией Vol. 144, нет. 3 (2009) 471-515.

[6] Бенайч-Жорж Ф., Прямоугольные случайные матрицы, связанная свертка, Вероятность. Области, связанные с теорией Vol. 144, нет. 3 (2009) 471-515.

[7] Андерсон, GW; Гионне, А.; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19452-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]