Нормальная форма для свободных групп и свободного произведения групп.

В математике, особенно в комбинаторной теории групп , нормальной формой свободной группы над множеством образующих или свободного продукта групп является представление элемента более простым элементом, причем элемент находится либо в свободной группе, либо в свободных произведениях. группы. В случае свободной группы этими более простыми элементами являются приведенные слова , а в случае свободного произведения групп — приведенные последовательности. Точные определения этих явлений приведены ниже. Как оказывается, для свободной группы и для свободного произведения групп существует единственная нормальная форма, т. е. каждый элемент представим более простым элементом, и это представление уникально. Это теорема о нормальной форме для свободных групп и свободного произведения групп. Доказательство теоремы о нормальной форме следует идее Артина и ван дер Вардена .

Нормальная форма для свободных групп

Позволять $G$ быть свободной группой с генераторным набором $S$. Каждый элемент в $G$ представлено словом $w=a_{1}\cdots a_{n},$ где $a_{j}\in S^{\pm },1\leqslant j\leqslant n.$

Определение. Слово называется сокращенным, если оно не содержит строки вида $aa^{-1},a\in S^{\pm }.$

Определение. для Нормальная форма свободной группы $G$ с генераторной установкой $S$ это выбор сокращенного слова в $S$ для каждого элемента $G$.

Теорема о нормальной форме для свободных групп. Свободная группа имеет уникальную нормальную форму, т.е. каждый элемент в $G$ представлено уникальным сокращенным словом.

Доказательство. Элементарное преобразование слова $w\in G$ состоит из вставки или удаления части формы $aa^{-1}$ с $a\in S^{\pm }$. Два слова $w_{1}$ и $w_{2}$ эквивалентны, $w_{1}\equiv w_{2}$, если существует цепочка элементарных преобразований, ведущая из $w_{1}$ к $w_{2}$. Очевидно, это отношение эквивалентности на $G$. Позволять $G_{0}$ быть набором сокращенных слов. Покажем, что каждый класс эквивалентности слов содержит ровно одно приведенное слово. Понятно, что каждый класс эквивалентности содержит приведенное слово, поскольку последовательное удаление частей $aa^{-1}$ из любого слова $w$ должно привести к сокращению слова. Тогда будет достаточно показать, что отдельные редуцированные слова $u$ и $v$ не эквивалентны. Для каждого $x\in S$ определить перестановку $x\Delta$ из $G_{0}$ установив $w(x\Delta )=wx$ если $wx$ снижается и $w(x\Delta )=u$ если $w=ux^{-1}$. Позволять $P$ быть группой перестановок $G_{0}$ созданный $x\Delta ,x\in S$. Позволять $\Delta ^{*}$ быть мультипликативным расширением $\Delta$ на карту $\Delta ^{*}:W\mapsto P$. Если $u_{1}\equiv u_{2},$ затем $u_{1}\Delta ^{*}=u_{2}\Delta ^{*}$; более того $1(u\Delta ^{*})=u_{0}$ уменьшается с $u_{0}\equiv u.$ Отсюда следует, что если $u_{1}\equiv u_{2}$ с $u_{1},u_{2}$ уменьшено, тогда $u_{1}=u_{2}$.

Обычная форма для бесплатных продуктов

Позволять $G=A*B$ быть свободным продуктом групп $A$ и $B$. Каждый элемент $w\in G$ представлен $w=g_{1}\cdots g_{n}$ где $g_{j}\in A{\text{ or }}B$ для $1\leqslant j\leqslant n$.

Определение. – Сокращенная последовательность это последовательность $g_{1},\cdots ,g_{n}$ такой, что для $1\leqslant j\leqslant n$ у нас есть $g_{j}\in A{\text{ or }}B,g_{j}\neq e$ и $g_{j},g_{j+1}$ не в одном факторе $A$ или $B$. Элемент идентификации представлен пустым набором.

Определение. Нормальной формой свободного произведения групп является представление или выбор приведенной последовательности для каждого элемента в свободном произведении .

Теорема о нормальной форме для свободного произведения групп. Рассмотрите бесплатный продукт $A*B$ из двух групп $A$ и $B$. Тогда справедливы следующие два эквивалентных утверждения.

(1) Если $w=g_{1}\cdots g_{n},n>0$, где $g_{1},\cdots ,g_{n}$ является приведенной последовательностью, то $w\neq 1$ в $A*B.$

(2) Каждый элемент $A*B$ можно записать однозначно как $w=g_{1}\cdots g_{n}$ где $g_{1},\cdots ,g_{n}$ представляет собой сокращенную последовательность.

Доказательство

Эквивалентность

Тот факт, что второе утверждение подразумевает первое, прост. Теперь предположим, что первое утверждение выполнено, и пусть:

$g_{1}\cdots g_{m}=w=h_{1}\cdots h_{n}.$

Это подразумевает

$h_{n}^{-1}\cdots h_{1}^{-1}g_{1}\cdots g_{m}=1.$

Следовательно, по первому утверждению левая часть не может быть уменьшена. Это может произойти только в том случае, если $h_{1}^{-1}g_{1}=1,$ т.е. $g_{1}=h_{1}.$ Действуя индуктивно, мы имеем $m=n$ и $g_{i}=h_{i}$ для всех $1\leqslant i\leqslant n.$ Это показывает, что оба утверждения эквивалентны.

Доказательство (2)

Пусть W — множество всех приведенных последовательностей в A ∗ B , а S ( W ) — его группа перестановок. Определим φ : A → S ( W ) следующим образом:

$\varphi (a)(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})={\begin{cases}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}a=1\\(a,g_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in B\\(ag_{1},g_{2},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in A{\text{ and }}ag_{1}\neq 1\\(g_{2},g_{3},\cdots ,g_{m})&{\text{if }}g_{1}\in A{\text{ and }}ag_{1}=1.\end{cases}}$

Аналогично мы определяем ψ : B → S ( W ) .

Легко проверить, что φ и ψ являются гомоморфизмами. Следовательно, по универсальному свойству свободного произведения мы получим единственное отображение φ ∗ ψ : A ∗ B → S ( W ) такое, что φ ∗ ψ (id)(1) = id(1) = 1.

Теперь предположим $w=g_{1}\cdots g_{n},n>0,$ где $(g_{1},\cdots ,g_{n})$ является приведенной последовательностью, то $\phi *\psi (w)(1)=(g_{1},\cdots ,g_{n}).$ Следовательно, w = 1 в A ∗ B , что противоречит n > 0 .

Ссылки

• Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (1977). Комбинаторная теория групп . Спрингер. ISBN  978-3-540-41158-1 . .