Слово (теория групп)

В теории групп слово — это любое письменное произведение элементов группы и их обратных значений. Например, если x , y и z — элементы группы G , то xy , z ⁻¹ хзз и й ⁻¹ зхх ⁻¹ да ⁻¹ слова из набора { x , y , z }. Два разных слова могут иметь одно и то же значение G. в или даже в каждой группе. Слова играют важную роль в теории свободных групп и представлений и являются центральными объектами исследования в комбинаторной теории групп .

Определения

Пусть G — группа, и S — подмножество G . пусть Слово в S — это любое выражение формы

$s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}$

где s ₁ ,..., s _n — элементы S , называемые образующими , и каждое ε _i равно ±1. Число n называется длиной слова.

Каждое слово в S представляет собой элемент G , а именно произведение выражения. По соглашению, уникальный единичный элемент может быть представлен пустым словом , которое является уникальным словом нулевой длины.

Обозначения

При написании слов принято использовать показательную запись в качестве сокращения. Например, слово

$xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,$

можно было бы записать как

$x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,$

Это последнее выражение само по себе не является словом — это просто более короткое обозначение оригинала.

При работе с длинными словами может быть полезно использовать подчеркивание для обозначения обратных S. элементов Используя надстрочную запись, приведенное выше слово можно было бы записать следующим образом:

$x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,$

Сокращенные слова

Любое слово, в котором генератор стоит рядом со своим обратным ( xx ⁻¹ или х ⁻¹ x ) можно упростить, опустив избыточную пару:

$y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.$

Эта операция известна как сокращение , и она не меняет элемент группы, представленный словом. Редукции можно рассматривать как отношения (определенные ниже ), которые следуют из аксиом группы .

– Сокращенное слово это слово, не содержащее лишних пар. Любое слово можно упростить до сокращенного слова, выполнив последовательность сокращений:

$xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.$

Результат не зависит от порядка выполнения сокращений.

Слово циклически сокращается тогда и только тогда, когда каждая циклическая перестановка слова сокращается.

Операции над словами

Произведение двух слов получается конкатенацией:

$\left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.$

Даже если два слова сократить, продукта может не быть.

Обратное слово получается путем инвертирования каждого генератора и изменения порядка элементов:

$\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.$

Произведение слова на обратное можно свести к пустому слову:

$zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.$

Переместить генератор из начала слова в конец можно спряжением :

$x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.$

Генераторная установка группы

Основная статья: Генераторная установка группы

Подмножество S группы G называется порождающим множеством если каждый элемент G можно представить словом из S. ,

Когда S не является порождающим набором для G , набор элементов, представленных словами в S, является подгруппой G , известной как подгруппа G , порожденной S и обычно обозначаемой $\langle S\rangle$. Это наименьшая подгруппа группы G содержащая элементы группы S. ,

Нормальные формы

Нормальная форма группы G с порождающим набором S — это выбор одного приведенного слова из S для каждого элемента G. группы Например:

• Слова 1, i , j , ij являются нормальной формой четырехгруппы Клейна с S = { i , j } и 1, представляющими пустое слово (единичный элемент группы).
• Слова 1, р , р ² , ..., р ^n-1 , с , ср , ..., ср ^n-1 являются нормальной формой группы диэдра Dih _n с S = { s , r } и 1, как указано выше.
• Набор слов формы x ^м и ^н для m,n ∈ Z являются нормальной формой прямого произведения циклических групп ⟨ x ⟩ и ⟨ y ⟩ с S = { x , y }.
• Множество приведенных слов в S является единственной нормальной формой свободной группы над S .

Отношения и презентации

Основная статья: Презентация группы

Если S — порождающий набор для группы G , отношение — это пара слов в S, представляют один и тот же элемент G. которые Обычно их записывают в виде уравнений, например $x^{-1}yx=y^{2}.\,$Набор ${\mathcal {R}}$ отношений определяет G , если каждое отношение в G логически вытекает из отношений в ${\mathcal {R}}$ используя аксиомы для группы . Презентация представляет для G собой пару $\langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle$, где S — порождающий набор для G и ${\mathcal {R}}$ является определяющим набором отношений.

Например, четырехгруппу Клейна можно определить представлением

$\langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .$

Здесь 1 обозначает пустое слово, которое представляет собой единичный элемент.

Бесплатные группы

Основная статья: Свободная группа

Если S — любое множество, то свободной группой над S является группа с представлением $\langle S\mid \;\rangle$. То есть свободная группа над S — это группа, порожденная элементами S без каких-либо дополнительных отношений. Каждый элемент свободной группы можно однозначно записать в виде сокращенного слова S. в

См. также

• Словесная задача (математика)
• Словесная задача для групп.

Ссылки

• Эпштейн, Дэвид ; Кэннон, JW ; Холт, DF; Леви, СВФ; Патерсон, Массачусетс ; Терстон, WP (1992). Обработка текста в группах . АК Петерс. ISBN  0-86720-244-0 . .
• Новиков, П. С. (1955). «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слов в теории групп». Труди Мат. Инст. Стеклов (на русском языке). 44 : 1–143.
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996). Курс теории групп . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94461-3 .
• Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94285-8 .
• Шупп, Пол Э ; Линдон, Роджер К. (2001). Комбинаторная теория групп . Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-41158-5 .
• Солитар, Дональд ; Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам (2004). Комбинаторная теория групп: представления групп в терминах образующих и отношений . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-43830-9 .
• Стиллвелл, Джон (1993). Классическая топология и комбинаторная теория групп . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97970-0 .