Гипотеза Ханны Нейман
В математическом предмете теории групп гипотеза Ханны Неймана представляет собой утверждение о ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп группы свободной . Гипотеза была выдвинута Ханной Нейман в 1957 году. [1] В 2011 году усиленная версия гипотезы (см. ниже ) была независимо доказана Джоэлом Фридманом. [2] и Игорь Минеев. [3]
третье доказательство усиленной гипотезы Ханны Нейман, основанное на гомологических аргументах, вдохновленных соображениями про-р-группы . В 2017 году Андрей Жайкин-Запирайн опубликовал [4]
История
[ редактировать ]Предмет гипотезы первоначально был мотивирован теоремой Хаусона 1954 года. [5] который доказал, что пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп свободной группы всегда конечно порождено, то есть имеет конечный ранг . В этой статье Хаусон доказал, что если H и K являются подгруппами свободной группы F ( X ) конечных рангов n ≥ 1 и m ≥ 1, то ранг s группы H ∩ K удовлетворяет:
- s - 1 ≤ 2 мин - м - п .
В статье 1956 г. [6] Ханна Нейман улучшила эту оценку, показав, что:
- s - 1 ≤ 2 мин - 2м - п .
В дополнении 1957 г. [1] Ханна Нойманн дополнительно улучшила эту оценку, показав, что при сделанных выше предположениях
- s − 1 ≤ 2( m − 1)( n − 1).
Она также предположила, что множитель 2 в приведенном выше неравенстве не является необходимым и что всегда есть
- s − 1 ≤ ( m − 1)( n − 1).
Это утверждение стало известно как гипотеза Ханны Нейман .
Официальное заявление
[ редактировать ]Пусть H , K ⩽ F ( X ) — две нетривиальные конечно порожденные подгруппы свободной группы F ( X ), и пусть = H ∩ K — пересечение H и K. L Гипотеза гласит, что в этом случае
- ранг( L ) - 1 ≤ (ранг( H ) - 1)(ранг( K ) - 1).
для группы G величина Rank( G ) — это ранг G Здесь , то есть наименьший размер порождающего для G. набора каждая подгруппа сама свободной группы Известно, что по себе свободна , и ранг свободной группы равен размеру любого свободного базиса этой свободной группы.
Усиленная гипотеза Ханны Нейман
[ редактировать ]Если H , K ⩽ G — две подгруппы группы G и если a , b ∈ G определяют один и тот же двойной класс HaK = HbK , то подгруппы H ∩ aKa −1 и H ∩ bKb −1 сопряжены и, следовательно , в G имеют одинаковый ранг . Известно, что если H , K ⩽ F ( X ) — конечно порожденные подгруппы конечно порожденной свободной группы F ( X ), то существует не более чем конечное число двойных смежных классов HaK в F ( X ) таких, что H ∩ aKa −1 ≠ {1}. Предположим, что существует хотя бы один такой двойной класс, и пусть a 1 ,..., an n — все различные представители таких двойных классов. Усиленная гипотеза Ханны Нейман , сформулированная ее сыном Уолтером Нейманом (1990), [7] утверждает, что в этой ситуации
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc071b43589c71557229063d856e6b6eae849a14)
Усиленная гипотеза Ханны Нейман была доказана в 2011 году Джоэлом Фридманом. [2] Вскоре после этого еще одно доказательство дал Игорь Минеев. [3]
Частичные результаты и другие обобщения
[ редактировать ]- В 1971 году Бернс улучшился. [8] Ханна Нейман в 1957 году определила и доказала, что при тех же предположениях, что и в статье Ханны Нейман, имеем
- s ≤ 2 мин − 3 м − 2 н + 4.
- В статье 1990 года [7] Вальтер Нейман сформулировал усиленную гипотезу Ханны Нейман (см. утверждение выше).
- Тардос (1992) [9] установил усиленную гипотезу Ханны Неймана для случая, когда хотя бы одна из подгрупп H и K группы F ( X ) имеет ранг два. Как и большинство других подходов к гипотезе Ханны Нейман, Тардос использовал технику графов подгрупп Столлингса. [10] для анализа подгрупп свободных групп и их пересечений.
- Уоррен Дикс (1994) [11] установил эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нейман и утверждения теории графов, которое он назвал гипотезой объединенного графа .
- Arzhantseva (2000) proved [12] что если H — конечно порожденная подгруппа бесконечного индекса в F ( X ), то в определенном статистическом смысле для общей конечно порожденной подгруппы в , мы имеем H ∩ gKg −1 = {1} для всех g в F . Таким образом, усиленная гипотеза Ханны Нейман верна для любого и общего K. H
- В 2001 году Дикс и Форманек установили усиленную гипотезу Ханны Нейман для случая, когда хотя бы одна из подгрупп H и K группы F ( X ) имеет ранг не более трех. [13]
- Хан (2002) [14] и независимо Микин и Вейл (2002), [15] показал, что заключение усиленной гипотезы Ханны Нейман имеет место, если одна из подгрупп H , K группы F ( X ) положительно порождена , то есть порождена конечным набором слов, которые включают только элементы из X , но не из X −1 как буквы.
- Иванов [16] [17] и Дикс и Иванов [18] получили аналоги и обобщения результатов Ханны Нейман о пересечении подгрупп H и K свободного произведения нескольких групп.
- Мудрый (2005) утверждал [19] что усиленная гипотеза Ханны Нейман влечет за собой еще одну давнюю теоретико-групповую гипотезу, которая гласит, что каждая группа с одним соотношением с кручением когерентна ( т. е. каждая конечно порожденная подгруппа в такой группе конечно определена ).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Ханна Нойманн. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Приложение. Publicationes Mathematicae Debrecen , vol. 5 (1957), с. 128
- ^ Jump up to: а б Джоэл Фридман, «Пучки на графах, их гомологические инварианты и доказательство гипотезы Ханны Нейман: с приложением Уоррена Дикса» Память амер. Математика. Сок., 233 (2015), вып. 1100.
- ^ Jump up to: а б Игорь Миневьев, «Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нейман». Энн. матем., 175 (2012), вып. 1, 393–414.
- ^ Андрей Джайкин-Запирайн, Приближение подгруппами конечного индекса и гипотеза Ханны Нейман , Duke Mathematical Journal , 166 (2017), вып. 10, стр. 1955-1987 гг.
- ^ А.Г. Хаусон. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Журнал Лондонского математического общества , вып. 29 (1954), стр. 428–434.
- ^ Ханна Нойманн. О пересечении конечно порожденных свободных групп. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.
- ^ Jump up to: а б Уолтер Нейман. О пересечениях конечно порожденных подгрупп свободных групп. Группы – Канберра, 1989, стр. 161–170. Конспекты лекций по математике, вып. 1456, Шпрингер, Берлин, 1990; ISBN 3-540-53475-X
- ^ Роберт Г. Бернс. О пересечении конечно порожденных подгрупп свободной группы. Mathematische Zeitschrift , vol. 119 (1971), стр. 121–130.
- ^ Габор Тардос. О пересечении подгрупп свободной группы. Inventiones Mathematicae , том. 108 (1992), вып. 1, стр. 29–36.
- ^ Джон Р. Столлингс. Топология конечных графов. Inventiones Mathematicae , том. 71 (1983), вып. 3, стр. 551–565.
- ^ Уоррен Дикс. Эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нейман и гипотезы об объединенном графе. Inventiones Mathematicae , том. 117 (1994), вып. 3, стр. 373–389.
- ^ Г. Н. Аржанцева. Об одном свойстве подгрупп бесконечного индекса в свободной группе . амер. Математика. Соц. 128 (2000), 3205–3210.
- ^ Уоррен Дикс и Эдвард Форманек . Случай третьего ранга гипотезы Ханны Нейман. Журнал теории групп, том. 4 (2001), вып. 2, стр. 113–151.
- ^ Билал Хан. Положительно порожденные подгруппы свободных групп и гипотеза Ханны Нейман. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000/Хобокен, Нью-Джерси, 2001), 155–170,Современная математика, вып. 296, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2002; ISBN 0-8218-2822-3
- ^ Дж. Микин и П. Вейль. Подгруппы свободных групп: вклад в гипотезу Ханны Нейман. Материалы конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000). Geometriae Dedicata , vol. 94 (2002), стр. 33–43.
- ^ С.В. Иванов. Пересекающиеся свободные подгруппы в свободных произведениях групп. Международный журнал алгебры и вычислений, том. 11 (2001), вып. 3, стр. 281–290.
- ^ С.В. Иванов. О ранге Куроша пересечения подгрупп в свободных произведениях групп . Достижения в математике , вып. 218 (2008), вып. 2, стр. 465–484.
- ^ Уоррен Дикс и С.В. Иванов. О пересечении свободных подгрупп в свободных произведениях групп. Математические труды Кембриджского философского общества, том. 144 (2008), вып. 3, стр. 511–534.
- ^ Когерентность групп с одним соотношением с кручением и гипотеза Ханны Нейман. Бюллетень Лондонского математического общества , вып. 37 (2005), вып. 5, стр. 697–705.