Ранг группы

О ранге без кручения см. Ранг абелевой группы . Информацию о размерности подгруппы Картана см. в разделе «Ранг группы Ли» .

В математическом предмете теории групп ранг группы G , обозначаемый Rank( G ), может относиться к наименьшей мощности набора порождающего для G , то есть

$\operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.$

Если G — конечно порожденная группа , то ранг G — неотрицательное целое число. Понятие ранга группы является теоретико-групповым аналогом понятия размерности векторного пространства . Действительно, для p -групп ранг группы P — это размерность векторного пространства P /Φ( P ), где Φ( P ) — подгруппа Фраттини .

Ранг группы также часто определяется таким образом, чтобы гарантировать, что подгруппы имеют ранг меньше или равный всей группе, что автоматически относится к размерностям векторных пространств, но не к таким группам, как аффинные группы . Чтобы различать эти разные определения, этот ранг иногда называют рангом подгруппы . Явно подгрупповой ранг группы G является максимальным из рангов ее подгрупп:

$\operatorname {sr} (G)=\max _{H\leq G}\min\{|X|:X\subseteq H,\langle X\rangle =H\}.$

Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами.

Известные факты и примеры

• Для нетривиальной группы G мы имеем ранг( G ) = 1 тогда и только тогда, когда G — циклическая группа . Тривиальная группа T имеет ранг( T ) = 0, поскольку минимальный порождающий набор T является пустым множеством .
• Для свободной абелевой группы $\mathbb {Z} ^{n}$, у нас есть ${\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n.$
• Если X — множество и G = F ( X ) — свободная группа со свободным базисом X , то Rank( G ) = | Х |.
• Если группа H является гомоморфным образом (или факторгруппой ) группы G , то Rank( H ) ⩽ Rank( G ).
• Если G — конечная неабелева простая группа (например, G = An _, знакопеременная группа , для n > 4), то Rank( G ) = 2. Этот факт является следствием Классификации конечных простых групп .
• Если G — конечно порожденная группа и Φ( G ) ⩽ G — подгруппа Фраттини группы G (которая всегда нормальна в G , так что факторгруппа G /Φ( G ) определена), то Rank( G ) = Rank( G /Ф( G )).
• Если G — фундаментальная группа замкнутого (т. е. компактного и без края) связного 3-многообразия M , то Rank( G )≤ g ( M ), где g ( M ) — род Хегора многообразия M .
• Если H , K ⩽ F ( X ) — конечно порожденные подгруппы свободной группы F ( X ) такие, что пересечение $L=H\cap K$ нетривиален, то L конечно порожден и

ранг( L ) - 1 ≤ 2 (ранг ( K ) - 1) (ранг ( H ) - 1).

Этот результат принадлежит Ханне Нойманн . Гипотеза Ханны Нейман утверждает, что на самом деле всегда есть Rank( L ) − 1 ⩽ (rank( K ) − 1)(rank( H ) − 1). Гипотеза Ханны Нейман недавно была решена Игорем Минеевым. и объявлено независимо Джоэлом Фридманом.

• Согласно классической теореме Грушко , ранг ведет себя аддитивно по отношению к взятию свободных произведений , т. е. для любых групп A и B имеем

ранг( А $\ast$B ) = ранг( A ) + ранг( B ).

• Если $G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle$ является группой с одним соотношением, такой что r не является примитивным элементом в свободной группе F ( x ₁ ,..., x _n ), то есть r не принадлежит свободному базису F ( x ₁ ,.. ., xn ₎ , то Rank( G ) = n .

Проблема рангов

изучается алгоритмическая проблема В теории групп , известная как проблема ранга . Проблема заключается в том, существует ли для конкретного класса конечно представленных групп алгоритм, который по конечному представлению группы из класса вычисляет ранг этой группы. Проблема рангов — одна из самых сложных алгоритмических задач, изучаемых в теории групп, и о ней известно относительно мало. Известные результаты включают в себя:

• Проблема ранга алгоритмически неразрешима для класса всех конечно определенных групп . Действительно, согласно классическому результату Адяна-Рабина , не существует алгоритма, позволяющего решить, является ли конечно представленная группа тривиальной, поэтому даже вопрос о том, является ли Rank( G )=0 неразрешимым для конечно представленных групп.
• Проблема ранга разрешима для конечных групп и для конечно порожденных абелевых групп .
• Проблема ранга разрешима для конечно порожденных нильпотентных групп . Причина в том, что для такой группы G подгруппа Фраттини группы G содержит коммутант группы G и следовательно, ранг группы G равен рангу абелианизации группы G. ,
• Проблема ранга неразрешима для гиперболических групп слов .
• Проблема ранга разрешима для клейновых групп без кручения .
• Проблема ранга открыта для конечно порожденных виртуально абелевых групп (содержащих абелеву подгруппу конечного индекса ), для виртуально свободных групп и для групп 3-многообразия .

Обобщения и родственные понятия

Ранг конечно порожденной группы G можно эквивалентным образом определить как наименьшую мощность множества X что существует онто- гомоморфизм F ( X ) → G , где F ( X ) — свободная группа со свободным базисом X. такого , Существует двойственное понятие ко-ранга G конечно порожденной группы , как наибольшая мощность X определяемое такая, что существует онто- гомоморфизм G → F ( X ). В отличие от ранга, коранг всегда алгоритмически вычислим для конечно представленных групп . с использованием алгоритма Маканина и Разборова решения систем уравнений в свободных группах. Понятие коранга связано с понятием числа сечения трехмерного многообразия .

Если p — простое число , то p - ранг группы G — это наибольший ранг элементарной абелевой p -подгруппы. Секционный - р - ранг — это наибольший ранг элементарного абелева р секции (фактора подгруппы).

См. также

• Ранг абелевой группы
• Звание экзаменатора
• Теорема Грушко
• Бесплатная группа
• Нильсеновская эквивалентность