Теорема Грушко

В математическом предмете теории групп теорема Грушко или теорема Грушко-Неймана — это теорема, утверждающая, что ранг (то есть наименьшая мощность ) порождающего набора свободного произведения двух групп равен сумме ранги двух свободных факторов. Впервые теорема была получена в статье Грушко в 1940 г. а затем, независимо, в статье Неймана 1943 года .

Формулировка теоремы

Пусть A и B — конечно порожденные группы пусть A ∗ B — свободное произведение A , и B. и Затем

ранг( А * B ) = ранг( А ) + ранг( B ).

Очевидно, что Rank( A ∗ B ) ⩽ Rank( A ) + Rank( B ), поскольку если X — конечный порождающий набор A , а Y — конечный порождающий набор B , то X ∪ Y — порождающий набор для A ∗ Б и это | Икс ∪ Y | ≤ | Х | + | Ю |. Противоположное неравенство Rank( A ∗ B ) ≥ Rank( A ) + Rank( B ) требует доказательства.

Грушко, но не Нейман, доказал более точную версию теоремы Грушко в терминах эквивалентности Нильсена . Он утверждает, что если M = ( g ₁ , g ₂ , ..., g _n ) представляет собой n -кортеж элементов G = A ∗ B такой, что M порождает G , < g ₁ , g ₂ , ..., g _n > = G , то M эквивалентен по Нильсену в n G -кортежу вида

M' = ( a ₁ , ..., a _k , b ₁ , ..., b _{n - k} ) где { a ₁ , ..., a _k } ⊆ A — порождающий набор для A и где { b ₁ , ..., b _{n − k} }⊆ B является порождающим набором для B . В частности, Rank( A ) ≤ k , Rank( B ) ≤ n − k и Rank( A ) + Rank( B ) ≤ k + ( n − k ) = n . Если взять M в качестве минимального порождающего набора для G , то есть с n = Rank( G ), это означает, что Rank( A ) + Rank( B ) ≤ Rank( G ). Поскольку противоположное неравенство Rank( G ) ≤ Rank( A ) + Rank( B ) очевидно, отсюда следует, что Rank( G ) = Rank( A ) + Rank( B ), что и требовалось.

История и обобщения

После оригинальных доказательств Грушко (1940) и Неймана (1943) появилось множество последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Близкая версия оригинального доказательства Грушко дана в книге Куроша 1955 года .

Как и оригинальные доказательства, доказательство Линдона (1965 г.) опирался на соображения функций длины, но с существенными упрощениями. Статья Столлингса 1965 года дал сильно упрощенное топологическое доказательство теоремы Грушко.

Статья Цишанга 1970 года. дал версию теоремы Грушко об эквивалентности Нильсена (изложенную выше) и предоставил некоторые обобщения теоремы Грушко для объединенных свободных произведений . Скотт (1974) дал еще одно топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленное методами трехмерного многообразия. топологии Имрих (1984) дал вариант теоремы Грушко для свободных произведений с бесконечным числом множителей.

Статья Чизуэлла 1976 года дал относительно простое доказательство теоремы Грушко, смоделированное на доказательстве Столлингса 1965 года, в котором использовались методы теории Басса-Серра . Этот аргумент напрямую вдохновил Дикса на создание механизма сверток для действий групп на деревьях и для графов групп , а также на еще более простое доказательство Дикса теоремы Грушко (см., например, ).

Теорема Грушко является, в некотором смысле, отправной точкой в ​​теории достижимости Данвуди для конечно порожденных и конечно представленных групп . Поскольку ранги свободных факторов меньше ранга свободного произведения, из теоремы Грушко следует, что процесс итерационного расщепления конечно порожденной группы G как свободного произведения должен завершиться за конечное число шагов (точнее, за большинство шагов ранга ( G ). Возникает естественный аналогичный вопрос для итерационного расщепления конечно порожденных групп по конечным подгруппам. Данвуди доказал, что такой процесс всегда должен завершиться, если группа G конечно представима. но может продолжаться вечно, если G конечно порождена, но не конечно представлена.

Алгебраическое доказательство существенного обобщения теоремы Грушко с использованием аппарата группоидов было дано Хиггинсом (1966). Теорема Хиггинса начинается с групп G и B со свободными разложениями G = ∗ _i G _i , B = ∗ _i B _i и f : G → B морфизм такой, что f ( G _i ) = B _i для всех i . Пусть H — подгруппа группы G такая, что ( H ) = B. f Тогда H имеет разложение H = ∗ _i H _i такое, что f ( H _​​i ) = B _i для всех i . Полную информацию о доказательствах и приложениях можно также найти в .

Теорема о разложении Грушко

Полезным следствием исходной теоремы Грушко является так называемая теорема о разложении Грушко. Он утверждает, что любую нетривиальную конечно порожденную группу G можно разложить в свободное произведение

G = A ₁ ∗ A ₂ ∗...∗ A _r ∗ F _s , где s ≥ 0, r ≥ 0,

где каждая из групп A _i нетривиальна, свободно неразложима (т. е. не может быть разложена в свободное произведение) и не является бесконечной циклической, и где F _s — свободная группа ранга s ;при этом для данного G группы A ₁ , ..., Ar _{единственны с} точностью до перестановки своих классов сопряженности в G (и, в частности, последовательность типов изоморфизма этих групп единственна с точностью до перестановки ), а числа s и r также уникальны.

Точнее, если G = B ₁ ∗...∗ B _k ∗ F _t — другое такое разложение, то k = r , s = t и существует перестановка σε S _r такая, что для каждого i =1,.. , r подгруппы A _i и B _{σ( i )} сопряжены G в . .

Существование указанного выше разложения, называемого разложением Грушко группы G , является непосредственным следствием исходной теоремы Грушко, а утверждение единственности требует дополнительных аргументов (см., например, ).

Алгоритмическое вычисление разложения Грушко для конкретных классов групп представляет собой сложную задачу, которая в первую очередь требует возможности определить, является ли данная группа свободно разложимой. Положительные результаты имеются для некоторых классов групп, таких как гиперболические группы без кручения , некоторые классы относительно гиперболических групп , фундаментальные группы конечных графов конечно порожденных свободных групп и другие.

Теорема о разложении Грушко - это теоретико-групповой аналог теоремы Кнезера о разложении простом трехмерных многообразий , которая гласит, что замкнутое трехмерное многообразие можно однозначно разложить как связную сумму неприводимых трехмерных многообразий.

Эскиз доказательства с использованием теории Басса – Серра

Ниже приводится набросок доказательства теоремы Грушко, основанного на использовании техники сверток для групп, действующих на деревьях (см. для полных доказательств с использованием этого аргумента).

Пусть S = { g ₁ ,...., g _n } — конечный порождающий набор для G = A ∗ B размера | S |= n =ранг( G ). Реализуйте G как фундаментальную группу графа групп Y , который представляет собой одно непетлевое ребро с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Позволять ${\tilde {\mathbf {Y} }}$ — накрывающее дерево Басса–Серра для Y . Пусть F = F ( x ₁ ,...., x _n ) — свободная группа со свободным базисом x ₁ ,...., x _n, и пусть φ ₀ : F → G — гомоморфизм такой, что φ ₀ ( x _я )= г _я для я =1,..., п . Реализуйте F как фундаментальную группу графа Z ₀ , который представляет собой совокупность n кругов, соответствующих элементам x ₁ ,...., x _n . Мы также думаем о Z ₀ как о графе групп с основным графом Z ₀ и тривиальными группами вершин и ребер. Тогда универсальный чехол ${\tilde {Z}}_{0}$ Z Z ₀ и накрывающее дерево Басса–Серра для 0 _{совпадают} . Рассмотрим φ ₀ -эквивариантное отображение $r_{0}:{\tilde {Z}}_{0}\to {\tilde {\mathbf {Y} }}$ так что он отправляет вершины в вершины, а ребра в ребра. Эта карта неинъективна, и, поскольку и источником, и целью карты являются деревья, эта карта «сворачивает» некоторые пары ребер в источнике. Граф групп Z ₀ служит начальным приближением для Y .

Теперь мы начнем выполнять последовательность «складок» на Z ₀ (и на его покрывающем дереве Басса-Серра), чтобы построить последовательность графов групп Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...., которые формируются лучше и лучшие приближения для Y . Каждый из графов групп Z _j имеет тривиальные группы ребер и имеет следующую дополнительную структуру: каждой нетривиальной группе вершин сопоставлен конечный порождающий набор этой группы вершин. Сложность Z c ( Z _j ) группы j _равна сумме размеров порождающих множеств ее вершинных групп и ранга свободной группы π ₁ ( Z _j ). Для графа начального приближения имеем c ( Z ₀ )= n .

Складные ходы, которые переводят Z _j в Z _{j +1,} могут быть одного из двух типов:

• складки, которые идентифицируют два ребра базового графа с общей начальной вершиной, но разными конечными вершинами, в одно ребро; когда такое свертывание выполняется, порождающие наборы групп вершин и концевые ребра «объединяются» вместе в порождающий набор новой группы вершин; ранг фундаментальной группы основного графа при таком движении не меняется.
• складки, которые идентифицируют два ребра, уже имевшие общие начальные вершины и общие конечные вершины, в одно ребро; такой ход уменьшает ранг фундаментальной группы базового графа на 1, и элемент, который соответствовал петле в сворачиваемом графе, «добавляется» в порождающий набор одной из групп вершин.

но уменьшают количество ребер в Zj _. Видно, что ходы свертывания не увеличивают сложность , Следовательно, процесс свертывания должен завершиться за конечное число шагов графом групп Zk _, который больше нельзя свернуть. следует теории Басса–Серра Из основных соображений , что Z _k на самом деле должно быть равно ребру группы Y и что Z _k оснащен конечными порождающими наборами для групп вершин A и B . Сумма размеров этих порождающих наборов представляет собой сложность Z _k, которая, следовательно, меньше или равна c ( Z ₀ )= n . Это означает, что сумма рангов групп вершин A и B не превосходит n , то есть ранг( A )+ранг( B )≤ранг( G ), как требуется.

Набросок доказательства Столлинга

Доказательство Столлингса теоремы Грушко следует из следующей леммы.

Лемма

Пусть F — конечно порожденная свободная группа с n образующими. Пусть G ₁ и G ₂ — две конечно определенные группы. Предположим, что существует сюръективный гомоморфизм $\phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}$. Тогда существуют две подгруппы F ₁ и F ₂ группы F такие, что $\phi (F_{1})=G_{1}$ и $\phi (F_{2})=G_{2}$, такой, что $F=F_{1}\ast F_{2}.$

Доказательство: Доказательство мы приведем в предположении, что F не имеет образующей, отображающейся в тождество $G_{1}\ast G_{2}$, ибо если такие генераторы существуют, то их можно добавить к любому из $F_{1}$ или $F_{2}$.

В доказательстве используются следующие общие результаты.

1. Существует одномерный или двумерный комплекс CW Z с фундаментальной группой F . По теореме Ван Кампена одним из таких пространств является клин из n кругов .

2. Существует два комплекса $X=X_{1}\cup X_{2}$ где $\{p\}=X_{1}\cap X_{2}$ — точка на одной клетке X такая, что X ₁ и X ₂ — два комплекса с фундаментальными группами G ₁ и G ₂ соответственно. Обратите внимание, что по теореме Ван Кампена это означает, что фундаментальная группа X есть $G_{1}\ast G_{2}$.

3. Существует карта $f:Z\rightarrow X$ такая, что индуцированное отображение $f_{\ast }$ на фундаментальные группы то же, что и $\phi$

Для удобства обозначим $f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}$ и $f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}$. Поскольку ни один генератор F не отображается в единицу, множество $Z_{1}\cap Z_{2}$ не имеет петель, потому что если они есть, то они будут соответствовать кругам Z , которые отображаются в $p\in X$, которые, в свою очередь, соответствуют генераторам F , стремящимся к единице. Итак, компоненты $Z_{1}\cap Z_{2}$ являются сжимаемыми.В случае, когда $Z_{1}\cap Z_{2}$ имеет только один компонент, по теореме Ван Кампена мы закончили, как и в этом случае: $F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})$.

Общее доказательство следует путем сведения Z к пространству, гомотопически эквивалентному ему, но с меньшим количеством компонент в $Z_{1}\cap Z_{2}$, и, таким образом, индукцией по компонентам $Z_{1}\cap Z_{2}$.

Такое уменьшение Z осуществляется путем прикрепления дисков вдоль стяжек.

Мы называем карту $\gamma :[0,1]\rightarrow Z$ , обязательная связь если она удовлетворяет следующим свойствам

1. Он однотонный , т.е. $\gamma ([0,1])\subseteq Z_{1}$ или $\gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}$

2. Ничья , т.е. $\gamma (0)$ и $\gamma (1)$ лежат в разных компонентах $Z_{1}\cap Z_{2}$.

3. Это ноль , т.е. $f\circ \gamma ([0,1])$ является нулевым гомотопным в X .

Предположим, что такая связующая связь существует. Позволять $\gamma$ быть связующим звеном.

Рассмотрите карту $g:[0,1]\rightarrow D^{2}$ данный $g(t)=e^{it}$. Это отображение является гомеоморфизмом своего образа. Определите пространство $Z'$ как

$Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim$ где : $x\!\!\sim y{\text{ iff}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ or }}\\x=\gamma (t){\text{ and }}y=g(t){\text{ for some }}t\in [0,1]{\mbox{ or }}\\x=g(t){\text{ and }}y=\gamma (t){\text{ for some }}t\in [0,1]\end{cases}}$

Заметим, что деформация пространства Z' стягивается к Z Сначала мы расширим f до функции $''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim$ как

$f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ otherwise.}}\end{cases}}$

Поскольку $f(\gamma )$ является нулевым гомотопным, $f''$ далее распространяется внутрь диска и, следовательно, на $Z'$ . Позволять $Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})$ я = 1,2 .Как $\gamma (0)$ и $\gamma (1)$ лежат в разных компонентах $Z_{1}\cap Z_{2}$, $Z_{1}'\cap Z_{2}'$ имеет на один компонент меньше, чем $Z_{1}\cap Z_{2}$.

Конструкция связующей стяжки

Обвязка выполняется в два этапа.

Шаг 1. Построение нулевой связи :

Рассмотрим карту $\gamma ':[0,1]\rightarrow Z$ с $\gamma '(0)$ и $\gamma '(1)$ в разных компонентах $Z_{1}\cap Z_{2}$. С $f_{\ast }$ сюръективно, происходит выход из цикла $\!\lambda$ на основе γ'(1) такой, что $\!f(\gamma ')$ и $\!f(\lambda )$ гомотопически эквивалентны в X .Если мы определим кривую $\gamma :[0,1]\rightarrow Z$ как $\gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)$ для всех $t\in [0,1]$, затем $\!\gamma$ является нулевой связью.

Шаг 2. Делаем нулевую завязку монохромной :

Галстук $\!\gamma$ может быть записано как $\gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}$ где каждый $\gamma _{i}$ представляет собой кривую в $Z_{1}$ или $Z_{2}$ такое, что если $\gamma _{i}$ находится в $Z_{1}$, затем $\gamma _{i+1}$ находится в $Z_{2}$ и наоборот. Это также подразумевает, что $f(\gamma _{i})$ — это цикл, основанный на p в X. точке Так,

$[e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]$

Следовательно, $[f(\gamma _{j})]=[e]$ для некоторого j . Если это $\!\gamma _{j}$ является ничьей, то мы имеем однотонную нулевую связь. Если $\!\gamma _{j}$ это не ничья, то конечные точки $\!\gamma _{j}$ находятся в одном компоненте $Z_{1}\cap Z_{2}$. В этом случае мы заменяем $\!\gamma _{j}$ по пути в $Z_{1}\cap Z_{2}$, сказать $\!\gamma _{j}'$. Этот путь может быть добавлен к $\!\gamma _{j-1}$ и мы получаем новую нулевую связь

$\gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}$, где $\!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'$.

Таким образом, индукцией по m докажем существование связующей связи.

Доказательство теоремы Грушко

Предположим, что $G=A*B$ генерируется $\{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}$. Позволять $F$ быть свободной группой с $n$-генераторы, т. $\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}$. Рассмотрим гомоморфизм $h:F\rightarrow G$ данный $h(f_{i})=g_{i}$, где $i=1,\ldots ,n$.

По лемме существуют свободные группы $F_{1}$ и $F_{2}$ с $F=F_{1}\ast F_{2}$ такой, что $h(F_{1})=A$ и $h(F_{2})=B$. Поэтому, ${\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})$ и ${\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})$.Поэтому, ${\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).$

См. также

• Теория Басса – Серра
• Генераторная установка группы