Группа с одним родственником

В математическом предмете теории групп группа с одним отношением — это группа, заданная представлением группы с одним определяющим соотношением. Группы с одним соотношением играют важную роль в геометрической теории групп , предоставляя множество явных примеров конечно представленных групп.

Формальное определение

Группа с одним отношением — это группа G , которая допускает групповое представление вида

$G=\langle X\mid r=1\,\rangle$ ( 1 )

где X — множество (вообще говоря, возможно, бесконечное) и где $r\in F(X)$ — свободно и циклически сокращающееся слово.

Если Y — множество всех букв $x\in X$ которые появляются в r и $X'=X\setminus Y$ затем

$G=\langle Y\mid r=1\,\rangle \ast F(X').$

По этой причине X в ( 1 ) обычно предполагается конечным, когда обсуждаются группы с одним соотношением, и в этом случае ( 1 ) можно переписать более явно как

$G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}\mid r=1\,\rangle ,$ ( 2 )

где $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ для некоторого целого числа $n\geq 1.$

Приговор свободы

Основная статья: Теорема свободы

Пусть G — группа с одним соотношением, заданная представлением ( 1 ) выше. Напомним, что r — свободно и циклически редуцируемое слово в F ( X ). Позволять $y\in X$ быть такой буквой, что $y$ или $y^{-1}$ появляется в р . Позволять $X_{1}\subseteq X\setminus \{y\}$. Подгруппа $H=\langle X_{1}\rangle \leq G$ называется подгруппой Магнуса группы G .

Знаменитая теорема Вильгельма Магнуса 1930 года . известный как Freiheitssatz , утверждает, что в этой ситуации H генерируется свободно $X_{1}$, то есть, $H=F(X_{1})$. См. также для других доказательств.

Свойства групп с одним соотношением

Здесь мы предполагаем, что группа G с одним соотношением задана представлением ( 2 ) с конечным набором порождающих $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ и нетривиальное свободно и циклически редуцируемое определяющее соотношение $1\neq r\in F(X)$.

• с одним соотношением Группа G не имеет кручения тогда и только тогда, когда $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ это не правильная сила.

• с одним соотношением Любая группа G практически . допускает подгруппу без кручения конечного индекса без кручения, т. е .

• Представление с одним релятором схематически асферично.

• Если $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ не является собственной степенью, то комплекс представления P для представления ( 2 ) является конечным комплексом Эйленберга – Маклейна $K(G,1)$.

• Если $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ не является собственной степенью, то группа G с одним соотношением имеет когомологическую размерность $\leq 2$.

• Группа с одним отношением G свободна когда тогда и только тогда, $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ является примитивным элементом ; в этом случае G свободна от ранга n − 1.

• Предположим, что элемент $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ имеет минимальную длину под действием $\operatorname {Aut} (F_{n})$и предположим, что для каждого $i=1,\dots ,n$ или $x_{i}$ или $x_{i}^{-1}$ происходит в р . Тогда группа G неразложима свободно .

• Если $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ не является собственной степенью, то группа G , с одним соотношением локально индицируема т. е. каждая нетривиальная конечно порожденная подгруппа группы G допускает групповой гомоморфизм на $\mathbb {Z}$.

• с одним соотношением Каждая группа G имеет алгоритмически разрешимую проблему слов .

• Если G — группа с одним соотношением и $H\leq G$ является подгруппой Магнуса, то проблема принадлежности подгруппе H в G разрешима.

• Неизвестно, имеют ли группы с одним соотношением разрешимую проблему сопряженности .

• Неизвестно, разрешима ли проблема изоморфизма для класса групп с одним соотношением.

• Группа G с одним отношением , заданная представлением ( 2 ), имеет ранг n (то есть она не может быть порождена менее чем из n элементов), если только $r\in F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ является примитивным элементом.

• Пусть G — группа с одним соотношением, заданная представлением ( 2 ). Если $n\geq 3$ тогда центр G , тривиален $Z(G)=\{1\}$. Если $n=2$ и G неабелева с нетривиальным центром, то центр G — бесконечный циклический .

• Позволять $r,s\in F(X)$ где $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$. Позволять $N_{1}=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}$ и $N_{2}=\langle \langle s\rangle \rangle _{F(X)}$ будут нормальными замыканиями r s и F в ) соответственно ( X . Затем $N_{1}=N_{2}$ тогда и только тогда, когда $r$ сопряжено ​ с $s$ или $s^{-1}$ в F ( X ).

• Существует конечно порожденная группа с одним соотношением, которая не является хопфовой и, следовательно, не является аппроксимируемо конечной , например группа Баумслага – Солитара. $B(2,3)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{2}b=a^{3}\rangle$.

• Пусть G — группа с одним соотношением, заданная представлением ( 2 ). Тогда G удовлетворяет следующей версии альтернативы Титса . Если G не имеет кручения, то каждая подгруппа G либо содержит свободную группу ранга 2, либо разрешима . Если G имеет нетривиальное кручение, то каждая подгруппа G либо содержит свободную группу ранга 2, либо является циклической , либо является бесконечным диэдра .

• Пусть G — группа с одним соотношением, заданная представлением ( 2 ). Тогда нормальная подгруппа $N=\langle \langle r\rangle \rangle _{F(X)}\leq F(X)$ допускает свободную основу формы $\{u_{i}^{-1}ru_{i}\mid i\in I\}$ для некоторого семейства элементов $\{u_{i}\in F(X)\mid i\in I\}$.

Группы с одним релятором с кручением

Предположим, что группа G с одним соотношением задана представлением ( 2 ), где $r=s^{m}$ где $m\geq 2$ и где $1\neq s\in F(X)$ не является собственной степенью (и, следовательно, s также свободно и циклически уменьшается). Тогда имеют место следующие положения:

• Элемент s имеет порядок m в G , и каждый элемент конечного порядка в G сопряжен степени s .

• Каждая конечная подгруппа группы G сопряжена с подгруппой группы G. $\langle s\rangle$ в Г. ​Более того, подгруппа группы G, порожденная всеми элементами кручения, является свободным произведением семейства сопряженных групп. $\langle s\rangle$ в Г. ​

• G допускает нормальную подгруппу без кручения конечного индекса.

• «Орфографическая теорема» Ньюмана. Позволять $1\neq w\in F(X)$ быть свободно редуцируемым словом таким, что $w=1$ в Г. ​Тогда w содержит подслово v такое, что v также является подсловом слова v. $r$ или $r^{-1}$ длины $|v|=1+(m-1)|s|$. С $m\geq 2$ это значит, что $|v|>|r|/2$ и представление ( 2 ) группы G является представлением Дена .

• G имеет виртуальную когомологическую размерность $\leq 2$.

• G — словесно-гиперболическая группа .

• G имеет разрешимую проблему сопряжения .

• G когерентна . , то есть каждая конечно порожденная подгруппа G конечно представима

• Проблема изоморфизма разрешима для конечно порожденных групп с одним соотношением с кручением в силу их гиперболичности.

• G аппроксимируемо конечна .

Метод Магнуса-Молдаванского

Начиная с работы Магнуса 1930-х годов, наиболее общие результаты о группах с одним отношением доказываются индукцией по длине | р | определяющего соотношения r . Представленная ниже презентация соответствует разделу 6 главы II дела Линдона и Шуппа. и раздел 4.4 Магнуса, Каррасса и Солитара. за оригинальный подход Магнуса и раздел 5 главы IV книги Линдона и Шуппа для версии Молдаванского с расширением HNN этого подхода.

Пусть G — группа с одним соотношением, заданная представлением ( ) , с конечным порождающим множеством X. 1 Предположим также, что каждый генератор из X действительно встречается в r .

Обычно можно предположить, что $\#X\geq 2$ (поскольку в противном случае G ни доказывалось, является циклической и какое бы утверждение о G обычно очевидно).

Основной случай, который следует рассмотреть, когда некоторый генератор, скажем t , из X встречается в r с суммой показателей 0 на t . Сказать $X=\{t,a,b,\dots ,z\}$ в этом случае. Для каждого генератора $x\in X\setminus \{t\}$ один обозначает $x_{i}=t^{-i}xt^{i}$ где $i\in \mathbb {Z}$. Тогда r можно переписать в виде слова $r_{0}$ в этих новых генераторах $X_{\infty }=\{(a_{i})_{i},(b_{i})_{i},\dots ,(z_{i})_{i}\}$ с $|r_{0}|<|r|$.

Например, если $r=t^{-2}btat^{3}b^{-2}a^{2}t^{-1}at^{-1}$ затем $r_{0}=b_{2}a_{1}b_{-2}^{-2}a_{-2}^{2}a_{-1}$.

Позволять $X_{0}$ — алфавит, состоящий из части $X_{\infty }$ данный всеми $x_{i}$ с $m(x)\leq i\leq M(x)$ где $m(x),M(x)$ — это минимальный и максимальный индексы, с которыми $x_{i}^{\pm 1}$ происходит в $r_{0}$.

Магнус заметил, что подгруппа $L=\langle X_{0}\rangle \leq G$ сама по себе является группой с одним соотношением с представлением с одним соотношением $L=\langle X_{0}\mid r_{0}=1\rangle$. Обратите внимание, что поскольку $|r_{0}|<|r|$, обычно можно применить индуктивную гипотезу к $L$ при доказательстве конкретного утверждения о G .

Более того, если $X_{i}=t^{-i}X_{0}t^{i}$ для $i\in \mathbb {Z}$ затем $L_{i}=\langle X_{i}\rangle =\langle X_{i}|r_{i}=1\rangle$ также является группой с одним отношением, где $r_{i}$ получается из $r_{0}$ сдвигая все индексы на $i$. Тогда нормальное закрытие $N=\langle \langle X_{0}\rangle \rangle _{G}$ из $X_{0}$ в G есть

$N=\left\langle \bigcup _{i\in \mathbb {Z} }L_{i}\right\rangle .$

Оригинальный подход Магнуса основывался на том факте, что N на самом деле является повторяющимся объединенным продуктом групп $L_{i}$, объединенные с подходящим образом выбранными свободными по Магнусу подгруппами. Его доказательство Freiheitssatz и решения проблемы слов для групп с одним отношением было основано на этом подходе.

Позже Молдаванский упростил структуру и отметил, что в этом случае G себе является HNN-расширением L сама по с соответствующими подгруппами, свободными по Магнусу подгруппами L .

Если для каждого генератора из $X_{0}$ его минимальный и максимальный индексы в $r_{0}$ тогда равны $G=L\ast \langle t\rangle$ и с индуктивным шагом в этом случае обычно легко справиться.

Предположим тогда, что некоторый генератор из $X_{0}$ происходит в $r_{0}$ как минимум с двумя различными индексами. Мы ставим $Y_{-}$ быть множеством всех образующих из $X_{0}$ с немаксимальными индексами и положим $Y_{+}$ быть множеством всех образующих из $X_{0}$ с немаксимальными индексами. (Следовательно, каждый генератор из $Y_{-}$ и из $Y_{-}$ происходит в $r_{0}$ с неуникальным индексом.) Тогда $H_{-}=\langle Y_{-}\rangle$ и $H_{+}=\langle Y_{+}\rangle$ являются свободными подгруппами Магнуса группы L и $t^{-1}H_{-}t=H_{+}$. Молдаванский заметил, что в этой ситуации

$G=\langle L,t\mid t^{-1}H_{-}t=H_{+}\rangle$

является HNN-расширением L . Этот факт часто позволяет доказать что-либо о G, используя индуктивную гипотезу о группе с одним соотношением L, используя методы нормальной формы и структурные алгебраические свойства для HNN-расширения G .

Общий случай, как в исходной постановке Магнуса, так и в ее упрощении Молдаванского, требует рассмотрения ситуации, когда ни один генератор из X не встречается с суммой показателей 0 в r . Предположим, что разные буквы $x,y\in X$ происходят в r с ненулевыми показателями $\alpha ,\beta$ соответственно. Рассмотрим гомоморфизм $f:F(X)\to F(X)$ данный $f(x)=xy^{-\beta },f(y)=y^{\alpha }$ исправление остальных генераторов из X. и Тогда для $r'=f(r)\in F(X)$ сумма показателей по y равна 0. Отображение f индуцирует групповой гомоморфизм $\phi :G\to G'=\langle X\mid r'=1\rangle$ это оказывается вложением. Тогда группу G' с одним релятором можно рассматривать, используя подход Молдаванского. Когда $G'$ распадается как HNN-расширение группы с одним соотношением L , определяющее соотношение $r_{0}$ L r по-прежнему оказывается короче, чем , что позволяет продолжить индуктивные рассуждения. В оригинальном подходе Магнуса для решения этого случая использовалась аналогичная версия трюка со встраиванием.

Двухгенераторные группы с одним соотношением

Оказывается, многие группы с двумя порождающими и одним соотношением распадаются как полупрямые произведения $G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z}$. Этот факт наблюдал Кен Браун при анализе BNS-инварианта групп с одним релятором с помощью метода Магнуса-Молдаванского.

А именно, пусть G — группа с одним соотношением, заданная представлением ( 2 ) с $n=2$ и пусть $\phi :G\to \mathbb {Z}$ быть эпиморфизмом. Тогда можно изменить свободный базис $F(X)$ к основе $t,a$ такой, что $\phi (t)=1,\phi (a)=0$ и перепишем представление G в этих генераторах как

$G=\langle a,t\mid r=1\rangle$

где $1\neq r=r(a,t)\in F(a,t)$ — свободно и циклически сокращающееся слово.

С $\phi (r)=0,\phi (t)=1$, сумма показателей по t в r равна 0. Снова полагая $a_{i}=t^{-i}at^{i}$, мы можем переписать r как слово $r_{0}$ в $(a_{i})_{i\in \mathbb {Z} }.$ Позволять $m,M$ — минимальный и максимальный индексы образующих, встречающихся в $r_{0}$. Браун показал что $\ker(\phi )$ конечно порождено тогда и только тогда, когда $m<M$ и оба $a_{m}$ и $a_{M}$ происходят ровно один раз в $r_{0}$, причем в этом случае группа $\ker(\phi )$ бесплатно.Поэтому, если $\phi :G\to \mathbb {Z}$ является эпиморфизмом с конечно порожденным ядром, то G распадается как $G=F_{m}\rtimes \mathbb {Z}$ где $F_{m}=\ker(\phi )$ конечного ранга является свободной группой .

Позже Данфилд и Терстон доказали что если группа с одним отношением и двумя образующими $G=\langle x_{1},x_{2}\mid r=1\rangle$ выбирается «наугад» (т.е. циклически сокращенное слово r длины n в $F(x_{1},x_{2})$ выбирается равномерно случайным образом), то вероятность $p_{n}$ что гомоморфизм G на $\mathbb {Z}$ с конечно порожденным ядром, удовлетворяет

$0.0006<p_{n}<0.975$

для всех достаточно больших n . Более того, их экспериментальные данные показывают, что предельное значение для $p_{n}$ близко к $0.94$.

Примеры групп с одним релятором

• Свободная абелева группа $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\langle a,b\mid a^{-1}b^{-1}ab=1\rangle$

• Группа Баумслага – Солитара $B(m,n)=\langle a,b\mid b^{-1}a^{m}b=a^{n}\rangle$ где $m,n\neq 0$.

• торических узлов Группа $G=\langle a,b\mid a^{p}=b^{q}\rangle$ где $p,q\geq 1$ являются взаимно простыми целыми числами .

• Группа Баумслага – Герстена $G=\langle a,t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,t\mid (t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle$

• Группа ориентированных поверхностей $G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{n},b_{n}\mid [a_{1},b_{1}]\dots [a_{n},b_{n}]=1\rangle$ где $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$ и где $n\geq 1$.

• Группа неориентированных поверхностей $G=\langle a_{1},\dots ,a_{n}\mid a_{1}^{2}\cdots a_{n}^{2}=1\rangle$, где $n\geq 1$.

Обобщения и открытые проблемы

• Если A и B — две группы, и $r\in A\ast B$ является элементом их бесплатного продукта , можно рассматривать продукт с одним соотношением $G=A\ast B/\langle \langle r\rangle \rangle =\langle A,B\mid r=1\rangle$.

• Так называемая гипотеза Кервера, также известная как гипотеза Кервера–Лауденбаха, спрашивает, верно ли, что если A — нетривиальная группа и $B=\langle t\rangle$ бесконечно циклично, то для любого $r\in A\ast B$ произведение с одним соотношением $G=\langle A,t\mid r=1\rangle$ является нетривиальным.

• Клячко доказал гипотезу Кервера для случая, когда A не имеет кручения.

• Гипотеза, приписываемая Герстену говорит, что конечно порожденная группа с одним соотношением является словесно-гиперболической тогда и только тогда, когда она не содержит подгрупп Баумслага–Солитара.

• Если G — конечно порожденная группа с одним соотношением (с кручением или без него), $H\leq G$ является подгруппой без кручения конечного индекса и $\phi :H\to \mathbb {Z}$ является эпиморфизмом, то $\ker(\phi )$ имеет когомологическую размерность 1 и, следовательно, по результату Столлингса, локально свободна. Баумслаг с соавторами показали, что во многих случаях при подходящем выборе H и $\phi$ можно доказать, что это $\ker(\phi )$ фактически свободен (бесконечного ранга). Эти результаты привели к предположению что каждая конечно порожденная группа с одним соотношением с кручением практически циклически свободна.

См. также

• 3-многообразия
• Геометрическая топология
• Теория малого сокращения

Источники

• Вильгельм Магнус , Абрахам Каррасс, Дональд Солитар, Комбинаторная теория групп. Представления групп с точки зрения генераторов и отношений , Перепечатка второго издания 1976 года, Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2004. ISBN   0-486-43830-9 . МИСТЕР 2109550

• Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (2001). Комбинаторная теория групп . Классика по математике. Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  3-540-41158-5 . МР   1812024 .

Внешние ссылки

• Заметки Эндрю Путмана о группах с одним родственником , Университет Нотр-Дам.