Теория малого сокращения

В математическом предмете групп теории теория малого сокращения изучает группы, заданные групповыми представлениями, удовлетворяющими условиям малого сокращения , то есть там, где определяющие отношения «небольшого перекрытия» друг с другом. Условия малого сокращения подразумевают алгебраические, геометрические и алгоритмические свойства группы. Конечно представленные группы, удовлетворяющие достаточно сильным условиям малого сокращения, являются гиперболическими по словам и имеют проблему слов , решаемую алгоритмом Дена . Методы малого сокращения также используются для построения монстров Тарского и для решения проблемы Бернсайда .

История

Некоторые идеи, лежащие в основе теории малого сокращения, восходят к работам Макса Дена 1910-х годов. Ден доказал, что фундаментальные группы замкнутых ориентируемых поверхностей рода не менее двух имеют проблему слов, решаемую с помощью того, что сейчас называется алгоритмом Дена . Его доказательство включало рисование графа Кэли такой группы в гиперболической плоскости и выполнение оценок кривизны с помощью теоремы Гаусса – Бонне для замкнутой петли в графе Кэли, чтобы прийти к выводу, что такая петля должна содержать большую часть (более половины) определяющего отношения.

Статья Тартаковского 1949 года. была непосредственным предшественником теории малого сокращения: эта статья предоставила решение проблемы слов для класса групп, удовлетворяющих сложному набору комбинаторных условий, где предположения о типе малого сокращения играли ключевую роль. Стандартная версия теории малого сокращения, используемая сегодня, была разработана Мартином Гриндлингером в серии статей в начале 1960-х годов. который в первую очередь занимался «метрическими» условиями небольшой отмены. В частности, Гриндлинджер доказал, что конечно определенные группы, удовлетворяющие условию малого сокращения C ′(1/6), имеют проблему слов, разрешимую алгоритмом Дена. Теория была дополнительно уточнена и формализована в последующей работе Линдона. Шупп и Линдон-Шупп, который также рассмотрел случай неметрических условий малого сокращения и разработал версию теории малого сокращения для объединенных свободных произведений и HNN-расширений .

Теория малого сокращения была далее обобщена Александром Ольшанским, разработавшим «градуированная» версия теории, в которой набор определяющих отношений снабжен фильтрацией и где определяющему соотношению определенного уровня разрешено сильно перекрываться с определяющим соотношением более высокого уровня. Ольшаский использовал теорию градуированного малого сокращения для построения различных групп «монстров», включая монстра Тарского. а также дать новое доказательство что свободные группы Бернсайда с большим нечетным показателем бесконечны (этот результат был первоначально доказан Адианом и Новиковым в 1968 году с использованием более комбинаторных методов).

Теория малого сокращения предоставила основной набор примеров и идей для теории словесно-гиперболических групп , которая была выдвинута Громовым в плодотворной монографии 1987 года «Гиперболические группы».

Основные определения

Изложение ниже во многом следует гл. V книги Линдона и Шуппа.

Куски

Позволять

$G=\langle X\mid R\rangle \qquad (*)$

— групповое представление , где R ⊆ F ( X ) — множество свободно редуцируемых и циклически редуцированных слов в свободной группе F ( X ) такое, что , то R симметризовано есть замкнуто относительно циклических перестановок и обратных значений.

Нетривиальное свободно редуцированное слово u в F ( X ) называется частью относительно (∗), если существуют два различных элемента r1 _{является} , r2 _, в R у которых u максимальным общим начальным отрезком.

Обратите внимание, что если $G=\langle X\mid S\rangle$ является групповым представлением, в котором множество определяющих соотношений S не симметризовано, мы всегда можем взять симметризованное замыкание R группы S , где R состоит из всех циклических перестановок элементов S и S. ⁻¹ . Тогда R симметризовано и $G=\langle X\mid R\rangle$ является презентацией Г. также

Условия небольшой отмены метрики

Пусть 0 < λ < 1. Говорят, что представление (∗), как указано выше, удовлетворяет C ′( λ ), условию малого сокращения если всякий раз, когда u является частью относительно (∗) и u является подсловом некоторого r ∈ R , то | ты | < λ | р |. Здесь | в | длина слова v .

Условие C ′( λ ) иногда называют метрическим условием малого сокращения .

Неметрические условия небольшой отмены

Пусть p ≥ 3 — целое число. Говорят, что представление группы (∗), как указано выше, удовлетворяет C ( p ), условию малого сокращения если всякий раз, когда r ∈ R и

$r=u_{1}\dots u_{m}$

где u _i — кусочки и где указанное выше произведение свободно сокращается, как написано, тогда m ≥ p . То есть ни один определяющий соотношение не может быть записан как приведенное произведение, состоящее менее чем из p частей.

Пусть q ≥ 3 — целое число. Говорят, что представление группы (∗), как указано выше, удовлетворяет T( q ) условию малого сокращения , если всякий раз, когда 3 ⩽ t < q и r ₁ ,..., r _t в R таковы, что r ₁ ≠ r ₂ ⁻¹ ,..., р _т ≠ р ₁ ⁻¹ тогда хотя бы одно из произведений r ₁ r ₂ ,..., rt ₋₁ r _t , r _t r ₁ свободно сокращается, как написано.

Геометрически условие T( q ), по сути, означает, что если D является приведенной диаграммой Ван Кампена над (∗), то каждая внутренняя вершина D степени не ниже трех на самом деле имеет степень не ниже q .

Примеры

• Позволять $G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$ — стандартное представление свободной абелевой группы ранга два. Тогда для симметризованного замыкания этого представления единственными частями являются слова длины 1. Эта симметризованная форма удовлетворяет условиям малого сокращения C(4)–T(4) и условию C ′( λ ) для любого 1 > λ > 1/ 4.
• Позволять $G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle$, где k ≥ 2, — стандартное представление фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности рода k . Тогда для симметризации этого представления единственными частями являются слова длины 1, и эта симметризация удовлетворяет условиям малого сокращения C ′(1/7) и C(8).
• Позволять $G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle$. Тогда с точностью до инверсии каждая фигура для симметричной версии этого представления имеет вид b ^я аб ^дж или б ^я , где 0 ≤ i , j ≤ 100. Эта симметризация удовлетворяет условию малого сокращения C ′(1/20).
• Если симметризованное представление удовлетворяет условию C ′(1/ m ), то оно также удовлетворяет условию C( m ).
• Пусть r ∈ F ( X ) — нетривиальное циклически приведенное слово, не являющееся собственной степенью в F ( X ), и пусть n ≥ 2. Тогда симметризованное замыкание представления $G=\langle X\mid r^{n}\rangle$ удовлетворяет C(2 n ) и C ′(1/ n ) условия малого сокращения.

Основные результаты теории малого сокращения

Лемма Гриндлингера

Основным результатом относительно условия малого метрического сокращения является следующее утверждение (см. теорему 4.4 в гл. V книги ), который обычно называют

Лемма Гриндлингера : Пусть (∗) — представление группы, как указано выше, удовлетворяющее C ′( λ условию малого сокращения ), где 0 ⩽ λ ⩽ 1/6. Пусть w ∈ F ( X ) — нетривиальное свободно редуцируемое слово такое, что = 1 в G. w Тогда существуют подслово v слова w и определяющее соотношение r ∈ R такие, что v также является подсловом слова r и такое, что

$\left|v\right|>\left(1-3\lambda \right)\left|r\right|$

Заметим, что из предположения λ ≤ 1/6 следует, что (1 − 3 λ ) ≥ 1/2, так что w содержит подслово, превышающее половину некоторого определяющего соотношения.

Лемма Гриндлингера получается как следствие следующего геометрического утверждения:

В условиях леммы Гриндлингера пусть D — приведенная диаграмма Ван Кампена над (∗) с циклически приведенной граничной меткой такая, что D содержит не менее двух областей. Тогда существуют две различные области D ₁ и D ₂ в D такие, что при j = 1,2 область D _j пересекает граничный цикл ∂ D области D по простой дуге, длина которой больше (1 − 3 λ )|∂ Д _Дж |.

Этот результат, в свою очередь, доказывается рассмотрением двойственной диаграммы для D . Там определяется комбинаторное понятие кривизны (которое, согласно предположениям о малом сокращении, является отрицательным в каждой внутренней вершине), а затем получается комбинаторная версия теоремы Гаусса – Бонне . Лемма Гриндлингера доказана как следствие этого анализа, и, таким образом, доказательство напоминает идеи оригинального доказательства Дена для случая поверхностных групп.

Алгоритм Дена

Для любого представления симметризованной группы (∗) следующая абстрактная процедура называется алгоритмом Дена :

• Учитывая свободно редуцированное слово w на X ^±1 , построим последовательность свободно редуцируемых слов w = w ₀ , w ₁ , w ₂ ,..., следующим образом.
• Предположим, что w _j уже построен. Если это пустое слово, завершите алгоритм. В противном случае проверьте, содержит ли w _j подслово v такое, что v также является подсловом некоторого определяющего соотношения r = vu ∈ R такого, что | в | > | р |/2. Если нет, завершите алгоритм с выводом w _j . Если да, замените v на u ⁻¹ в w _j , затем свободно сокращаем, обозначаем полученное свободно сокращенное слово через w _{j +1} и переходим к следующему шагу алгоритма.

Обратите внимание, что у нас всегда есть

| ш ₀ | > | ш ₁ | > | ш ₂ | >...

из чего следует, что процесс должен завершиться не более чем через | ш | шаги. Более того, все слова w _j представляют тот же элемент G , что и w, и, следовательно, если процесс завершается пустым словом, то w представляет собой единичный элемент G .

Говорят, что для симметризованного представления (∗) алгоритм Дена решает проблему слов в G, если верно и обратное, то есть если для любого свободно редуцируемого слова w в F ( X ) это слово представляет единичный элемент G тогда и только если алгоритм Дена, начиная с w , заканчивается пустым словом.

Из леммы Гриндлингера следует, что для представления C ′(1/6) алгоритм Дена решает проблему слов.

Если представление C ′(1/6) (∗) конечно (то есть и X , и R конечны), то алгоритм Дена является реальным недетерминированным алгоритмом в смысле теории рекурсии . Однако даже если (∗) является бесконечным представлением C ′(1/6), алгоритм Дена, понимаемый как абстрактная процедура, все равно правильно решает, является ли слово в генераторах X ^±1 представляет единичный элемент G .

Асферичность

Пусть (∗) — представление C ′(1/6) или, в более общем смысле, C(6), где каждый r ∈ R не является собственной степенью в F ( X ), тогда G асферичен в следующем смысле. Рассмотрим минимальное подмножество S в R такое, что симметризованное замыкание S равно R . Таким образом, если r и s — разные элементы S , то r не является циклической перестановкой s. ^±1 и $G=\langle X\mid S\rangle$ презентация Г. это еще одна Пусть Y — презентационный комплекс для этого представления. Тогда (см. и теорема 13.3 в ), при сделанных выше предположениях относительно (∗) Y является пространством для G , то есть G = π ₁ ( Y ), и накрытие Y классифицирующим стягиваемо универсальное . В частности, это означает, что G не имеет кручения и имеет когомологическую размерность два.

Более общая кривизна

В более общем смысле, можно определить различные виды локальной «кривизны» на любой диаграмме Ван Кампена как — очень грубо — средний избыток вершин + граней — ребер (которые, по формуле Эйлера, должны составлять в сумме 2) и, показав , в конкретной группе, что это всегда неположительно (или, что еще лучше, отрицательно) внутренне, покажите, что вся кривизна должна находиться на границе или рядом с ней, и тем самым попытайтесь получить решение словесной проблемы. Более того, можно ограничить внимание диаграммами, которые не содержат ни одного набора «областей», таких, что существует «меньшая» область с той же границей.

Другие основные свойства малых групп отмены.

• Пусть (∗) — представление C ′(1/6). Тогда элемент g в G имеет порядок n > 1 тогда и только тогда, когда существует отношение r в R вида r = s ^н в F ( X ) такое g сопряжено с что s в G. , В частности, если все элементы R не являются собственными степенями в F ( X ), то G не имеет кручения.
• Если (∗) — конечное представление C ′(1/6), группа G является словесно-гиперболической .
• Если R и S — конечные симметризованные подмножества F ( X ) с одинаковыми нормальными замыканиями в F ( X ) такие, что оба представления $\langle X\mid R\rangle$ и $\langle X\mid S\rangle$ удовлетворяют условию C ′(1/6), то R = S .
• Если конечное представление (∗) удовлетворяет одному из C ′(1/6), C ′(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3) –T(6) то группа G имеет разрешимую проблему слов и разрешимую проблему сопряженности

Приложения

Примеры применения теории малого сокращения включают:

• Решение проблемы сопряженности групп знакопеременных узлов (см. и главу V, теорему 8.5 в ), показав, что для таких узлов расширенные группы узлов допускают представления C(4)–T(4).
• Конечно заданные малые группы сокращения C ′(1/6) являются основными примерами словесно-гиперболических групп . Одна из эквивалентных характеристик словесно-гиперболических групп — это группы, допускающие конечные представления, где алгоритм Дена решает проблему слов .
• Конечно представленные группы, заданные конечными представлениями C (4) – T (4), где каждая часть имеет длину один, являются основными примерами групп CAT (0) : для такого представления универсальным покрытием комплекса представлений является CAT (0) квадрат сложный.
• Ранние применения теории малого сокращения включают получение различных результатов вложимости. Примеры включают статью 1974 года. Сакердота и Шуппа с доказательством того, что каждая группа с одним соотношением и по крайней мере тремя образующими является SQ-универсальной , и статьей Шуппа 1976 года. с доказательством того, что каждую счетную группу можно вложить в простую группу, порожденную элементом второго порядка и элементом третьего порядка.
• Так называемая конструкция Рипса , принадлежащая Элияху Рипсу , предоставляет богатый источник контрпримеров относительно различных подгрупп свойств словесно-гиперболических групп : для произвольной конечно представленной группы Q конструкция дает короткую точную последовательность $1\to K\to G\to Q\to 1$ где K двупорожден и где G не имеет кручения и задан конечным представлением C ′(1/6) (и, следовательно, G является словесно-гиперболическим). Конструкция дает доказательства неразрешимости ряда алгоритмических задач для словесно-гиперболических групп , включая проблему членства в подгруппах, проблему генерации и проблему ранга . Кроме того, за некоторыми исключениями, группа K в конструкции Рипса не является конечно представимой . Это означает, что существуют словесно-гиперболические группы, которые не являются когерентными , то есть содержат подгруппы, которые конечно порождены, но не конечно представимы.
• Методы малого сокращения (при бесконечных представлениях) использовал Ольшанский. построить различные «монстрные» группы, включая монстра Тарского , а также дать доказательство того, что свободные группы Бернсайда с большим нечетным показателем бесконечны (аналогичный результат был первоначально доказан Адианом и Новиковым в 1968 году с использованием более комбинаторных методов). Некоторые другие «монстрные» группы, построенные Ольшанским с использованием этого метода, включают: бесконечную простую нётерову группу ; бесконечная группа, в которой каждая собственная подгруппа имеет простой порядок и любые две подгруппы одного и того же порядка сопряжены; , неименованная группа в которой каждая собственная подгруппа циклическая; и другие.
• Боудич использовал бесконечные представления малых сокращений, чтобы доказать, что существует непрерывное множество типов квазиизометрии групп с двумя образующими.
• Томас и Великович использовали теорию малого сокращения, чтобы построить конечно порожденная группа с двумя негомеоморфными асимптотическими конусами, что отвечает на вопрос Громова .
• Маккаммонд и Уайз показали, как преодолеть трудности, связанные с конструкцией Рипса, и создать большие классы малых групп сокращения, которые являются когерентными (то есть, где все конечно порожденные подгруппы конечно представлены) и, более того, локально квазивыпуклыми (то есть, где все конечно порожденные подгруппы являются квазивыпуклыми).
• Методы малого сокращения играют ключевую роль при изучении различных моделей «родовых» или «случайных» конечно представленных групп (см. ). В частности, для фиксированного числа m ≥ 2 генераторов и фиксированного числа t ≥ 1 определяющих соотношений и для любого λ < 1 случайная группа m -генераторов t -отношений удовлетворяет условию малого сокращения C ′( λ ). Даже если число определяющих отношений t не фиксировано, а растет как (2 m − 1) ^εn (где ε ≥ 0 — фиксированный параметр плотности в модели плотности Громова «случайных» групп, и где $n\to \infty$ — длина определяющих соотношений), то ε -случайная группа удовлетворяет условию C ′(1/6) при условии, что ε < 1/12.
• Gromov использовал версию теории малого сокращения по отношению к графу, чтобы доказать существование конечно представленной группы , которая «содержит» (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность расширителей и, следовательно, не допускает равномерного вложения в гильбертово пространство . Этот результат дает направление (единственное пока что) для поиска контрпримеров гипотезе Новикова .
• Частично использовал обобщение теории малого сокращения, чтобы получить аналог гиперболической теоремы Терстона о перестройке Дена для относительно гиперболических групп .

Обобщения

• Версия теории малого сокращения для факторгрупп объединенных свободных произведений и расширений HNN была развита в статье Сасердота и Шуппа, а затем в книге Линдона и Шуппа.
• разрывы и Ольшанский разработал «стратифицированную» версию теории малого сокращения, в которой набор реляторов фильтруется как восходящий союз страт (каждый слой удовлетворяет условию малого сокращения), а для релятора r из некоторого слоя и релятора s из более высокого слоя их перекрытие должно быть небольшим по отношению к | s | но разрешено иметь большое значение по отношению к | р |. Эта теория позволила Ольшанскому сконструировать различные группы «монстров», включая монстра Тарского , и дать новое доказательство бесконечности свободных бернсайдовских групп большого нечетного показателя.
• Ольшанский и Дельзант позже разработал версии теории малого сокращения для частных словно-гиперболических групп .
• Маккаммонд представил многомерную версию теории малого сокращения.
• Маккаммонд и Уайз существенно продвинули основные результаты стандартной теории малого сокращения (такие как лемма Гриндлингера) относительно геометрии диаграмм Ван Кампена по сравнению с представлениями малого сокращения.
• Громов использовал версию теории малого сокращения по отношению к графу, чтобы доказать существование конечно определенной группы, «содержащей» (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность расширителей и поэтому не допускающей равномерного вложения в гильбертово пространство .
• Частично дал версию теории малого сокращения для частных относительно гиперболических групп и использовал ее для получения относительно гиперболического обобщения теоремы Терстона о гиперболической хирургии Дена .

Основные ссылки

• Роджер Линдон и Пол Шупп , Комбинаторная теория групп . Перепечатка издания 1977 года. Классика по математике. Шпрингер Верлаг , Берлин, 2001 г. ISBN   3-540-41158-5 .
• Александр Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 года Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. ISBN   0-7923-1394-1 .
• Ральф Штребель, Приложение. Небольшие группы отмены. О гиперболических группах по Михаилу Громову (Берн, 1988), с. 227–273, Прогресс в математике, 83, Биркхойзер Бостон, Бостон, Массачусетс, 1990. ISBN   0-8176-3508-4 .
• Миле Крайчевски, Разбиения плоскости, гиперболические группы и условия малого сокращения. Мемуары Американского математического общества, том. 154 (2001), вып. 733.

См. также

• Геометрическая теория групп
• Слово-гиперболическая группа
• Группа монстров Тарского
• Проблема Бернсайда
• Окончательно представленная группа
• Словесная задача для групп.
• Диаграмма Ван Кампена