Проблема сопряжения

В абстрактной алгебре проблема сопряженности для группы G с заданным представлением — это проблема решения по данным двум словам x и y в G или нет , представляют ли они сопряженные элементы G . То есть проблема состоит в том, чтобы определить, существует ли элемент z из G такой, что

$y=zxz^{-1}.\,\!$

Проблема сопряжения также известна как проблема преобразования .

Проблема сопряжения была определена Максом Деном в 1911 году как одна из фундаментальных проблем принятия решений в теории групп; два других — это проблема слов и проблема изоморфизма . Проблема сопряженности содержит проблему слов как частный случай: если x и y — слова, решение о том, являются ли они одним и тем же словом, эквивалентно решению, являются ли они одним и тем же словом. $xy^{-1}$ является тождеством, что равносильно решению, сопряжено ли оно с тождеством. В 1912 году Ден предложил алгоритм, который решает как проблему слова, так и проблему сопряженности для фундаментальных групп замкнутых ориентируемых двумерных многообразий рода больше или равного 2 (случаи рода 0 и рода 1 тривиальны).

Известно, что проблема сопряженности неразрешима для многих классов групп.Классы групповых представлений, для которых она, как известно, разрешима, включают:

• свободные группы (без определяющих отношений)
• группы с одним соотношением с кручением
• группы кос
• группы узлов
• конечно определенные группы, разделимые по сопряженности
• конечно порожденные абелевы группы (реляторы включают все коммутаторы)
• Gromov-hyperbolic groups
• биоавтоматические группы
• CAT(0) группы
• Фундаментальные группы геометризуемых 3-многообразий

Ссылки

• Магнус, Вильгельм ; Авраам Каррасс; Дональд Солитар (1976). Комбинаторная теория групп. Представления групп через образующие и отношения . Дуврские публикации . п. 24 . ISBN  0-486-63281-4 .
• Джонсон, Д.Л. (1990). Презентации групп . Издательство Кембриджского университета . п. 49. ИСБН  0-521-37203-8 .
• Коэн, Дэниел Э. (1989). Комбинаторная теория групп: топологический подход . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34936-2 .
• Ден, Макс (1911). «О бесконечных разрывных группах». Математика . 71 (1): 116–144. дои : 10.1007/BF01456932 . S2CID   123478582 .
• Ден, Макс (1912). «Преобразование кривых на двусторонних поверхностях» . Математика . 72 (3): 413–421. дои : 10.1007/BF01456725 . S2CID   122988176 .
• Ньюман, Б.Б. (1968). «Некоторые результаты о группах с одним отношением» . Бык. амер. Математика. Соц . 74 (3): 568–571. дои : 10.1090/S0002-9904-1968-12012-9 .
• Бридсон, Мартин; Андре Хэфлигер (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-64324-1 .
• Прео, Жан-Филипп (2006). «Проблема сопряженности в группах ориентированных геометризуемых трехмерных многообразий». Топология . 45 (1): 171–208. arXiv : 1308.2888 . дои : 10.1016/j.top.2005.06.002 . S2CID   14602585 .