Проблема Бернсайда

Проблема Бернсайда спрашивает, должна ли конечно порожденная группа , в которой каждый элемент имеет конечный порядок , обязательно быть конечной группой . Он был поставлен Уильямом Бернсайдом в 1902 году, что сделало его одним из старейших вопросов теории групп и оказало влияние на развитие комбинаторной теории групп . Известно, что она в целом имеет отрицательный ответ: в 1964 г. Евгений Голод и Игорь Шафаревич привели контрпример. Задача имеет множество уточнений и вариантов, отличающихся дополнительными условиями, налагаемыми на порядки элементов группы (см. ограниченные и ограничено ниже). Некоторые из этих вариантов до сих пор остаются открытыми вопросами .

Краткая история

Первоначальная работа указала на утвердительный ответ. Например, если группа G конечно порождена и порядок каждого элемента G является делителем 4, то G конечна. Более того, А. И. Кострикину удалось доказать в 1958 г., что среди конечных групп с заданным числом образующих и заданным простым показателем существует наибольшая. Это обеспечивает решение ограниченной проблемы Бернсайда для случая простого показателя. (Позже, в 1989 году, Ефим Зельманов смог решить ограниченную проблему Бернсайда для произвольного показателя.) Иссаи Шур показал в 1911 году, что любая конечно порожденная периодическая группа, которая была подгруппой группы обратимых размера n × n, комплексных матриц была конечной. ; он использовал эту теорему для доказательства теоремы Джордана-Шура .

Тем не менее общий ответ на проблему Бернсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу бернсайдовского типа, не предполагая, что все элементы имеют равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Петр Новиков и Сергей Адян предложили отрицательное решение проблемы ограниченного показателя степени для всех нечетных показателей степени больше 4381, которое позже было улучшено Адяном до нечетного показателя степени больше 665. и лучшее нечетное число, связанное с 101, также принадлежит Адиану. В 1982 году А.Ю. Ольшанский нашел несколько ярких контрпримеров для достаточно больших нечетных показателей (более 10 ¹⁰ ) и предоставил значительно более простое доказательство, основанное на геометрических идеях.

Случай с четными показателями оказался гораздо труднее решить. В 1992 г. С. В. Иванов анонсировал отрицательное решение для достаточно больших четных показателей, кратных большой степени 2 (подробные доказательства были опубликованы в 1994 г. и заняли около 300 страниц). Позже совместная работа Ольшанского и Иванова установила отрицательное решение аналога проблемы Бернсайда для гиперболических групп при условии, что показатель достаточно велик. Напротив, когда показатель степени мал и отличается от 2, 3, 4 и 6, известно очень мало.

Общая проблема Бернсайда

Группа G называется периодической (или периодической), если каждый элемент имеет конечный порядок; другими словами, для каждого g в G существует некоторое натуральное число n такое, что g ^н = 1. Очевидно, каждая конечная группа периодична. Существуют легко определяемые группы, такие как p ^∞ -группы , являющиеся бесконечными периодическими группами; но последняя группа не может быть конечно порождена.

Общая проблема Бернсайда. Если G — конечно порожденная периодическая группа, то обязательно ли G конечна?

На этот вопрос отрицательно ответили в 1964 году Евгений Голод и Игорь Шафаревич , которые привели пример бесконечной p -группы , которая конечно порождена (см. теорему Голода–Шафаревича ). Однако порядки элементов этой группы априори не ограничены одной константой.

Ограниченная задача Бернсайда

Граф Кэли 27-элементной свободной группы Бернсайда ранга 2 и показателя 3.

Частично сложность общей проблемы Бернсайда заключается в том, что требования конечной порожденности и периодичности дают очень мало информации о возможной структуре группы. Поэтому мы предъявляем дополнительные требования к G . Рассмотрим периодическую группу G с тем дополнительным свойством, что существует наименьшее целое число n такое, что для всех g в G , g ^н = 1. Группа с этим свойством называется периодической с ограниченным показателем n или просто группой с показателем n . Проблема Бернсайда для групп с ограниченным показателем спрашивает:

Проблема Бернсайда I. Если G — конечно порожденная группа с показателем n , обязательно ли G конечна?

Оказывается, эту проблему можно переформулировать как вопрос о конечности групп в том или ином семействе. Свободная группа Бернсайда ранга m и показателя n , обозначаемая B( m , n ), представляет собой группу с m выделенными образующими x ₁ , ..., x _m, в которой тождество x ^н = 1 справедливо для всех элементов x и какая «самая большая» группа удовлетворяет этим требованиям. Точнее, характеристическое свойство B( m , n ) состоит в том, что для любой группы G с m образующими g ₁ , ..., g _m и показателя n существует единственный гомоморфизм из B( m , n ) в G который отображает i- й генератор x _i из B( , n ) в i- й генератор gi _из m G. , На языке групповых представлений свободная группа Бернсайда B( m , n ) имеет m образующих x ₁ , ..., x _m и отношения x ^н = 1 для каждого слова x из x ₁ , ..., x _m , и любая группа G с m образующими показателя n получается из нее наложением дополнительных соотношений. Существование свободной группы Бернсайда и ее единственность с точностью до изоморфизма устанавливаются стандартными методами теории групп. Таким образом, если G — любая конечно порожденная группа показателя n , то G — гомоморфный образ B( m , n ), где m — количество образующих G. группы Теперь проблему Бернсайда можно переформулировать следующим образом:

Проблема Бернсайда II. Для каких натуральных чисел m , n свободная группа Бернсайда B( m , n ) конечна?

Полное решение проблемы Бернсайда в этой форме неизвестно. Бернсайд рассмотрел несколько простых случаев в своей оригинальной статье:

• B(1, n ) — циклическая группа порядка n .
• B( m , 2) — прямое произведение m копий циклической группы порядка 2 и, следовательно, конечное.

Известны следующие дополнительные результаты (Бернсайд, Санов, М. Холл ):

• B( m , 3), B( m , 4) и B( m , 6) конечны для всех m .

Частный случай B(2, 5) остается открытым.

Прорыв в решении проблемы Бернсайда был достигнут Петром Новиковым и Сергеем Адяном в 1968 году. Используя сложный комбинаторный аргумент, они продемонстрировали, что для каждого нечетного числа n с n > 4381 существуют бесконечные, конечно порожденные группы показателя n . Позже Адиан улучшил оценку нечетного показателя до 665. Последнее улучшение оценки нечетного показателя степени 101 было получено самим Адианом в 2015 году. Случай четного показателя оказался значительно сложнее. Лишь в 1994 году Сергею Васильевичу Иванову удалось доказать аналог теоремы Новикова–Адиана: для любого m > 1 и четного n ≥ 2 ⁴⁸ , n делится на 2 ⁹ , группа B( m , n ) бесконечна; вместе с теоремой Новикова–Адиана это означает бесконечность для всех m > 1 и n ≥ 2. ⁴⁸ . В 1996 г. это было улучшено И.Г. Лысенком до m > 1 и n ≥ 8000. Новиков–Адьян, Иванов и Лысенок установили значительно более точные результаты о структуре свободных бернсайдовских групп. Показано, что в случае нечетной экспоненты все конечные подгруппы свободных групп Бернсайда являются циклическими группами. В случае четной экспоненты каждая конечная подгруппа содержится в произведении двух групп диэдра и существуют нециклические конечные подгруппы. Более того, слов и сопряженности было показано, что проблемы эффективно разрешимы в B( m , n ) как для случаев нечетных, так и четных показателей n .

Знаменитый класс контрпримеров к проблеме Бернсайда образуют конечно порожденные нециклические бесконечные группы, в которых каждая нетривиальная собственная подгруппа является конечной циклической группой , так называемые монстры Тарского . Первые примеры таких групп были построены А.Ю. Ольшанским в 1979 г. геометрическими методами, утвердительно решив таким образом задачу О.Ю. Проблема Шмидта. В 1982 году Ольшанскому удалось усилить свои результаты и установить существование любого достаточно большого простого числа p (можно взять p > 10 ⁷⁵ ) конечно порожденной бесконечной группы, в которой каждая нетривиальная собственная подгруппа является циклической группой порядка p . В статье, опубликованной в 1996 году, Иванов и Ольшанский решили аналог проблемы Бернсайда в произвольной гиперболической группе для достаточно больших показателей.

Ограниченная проблема Бернсайда

Сформулированный в 1930-х годах, он задает еще один, связанный с этим вопрос:

Ограниченная задача Бернсайда. Если известно, что группа G с m образующими и показателем n конечна, можно ли заключить, что порядок G ограничен некоторой константой, зависящей только от m и n ? Эквивалентно, существует ли только конечное число конечных групп с m образующими показателя n с точностью до изоморфизма ?

Этот вариант проблемы Бернсайда также можно сформулировать в терминах теории категорий: утвердительный ответ для всех m эквивалентен утверждению, что категория конечных групп показателя n имеет все конечные пределы и копределы. Это также можно сформулировать более явно в терминах некоторых универсальных групп с m образующими и показателем n . Согласно основным результатам теории групп, пересечение двух нормальных подгрупп конечного индекса в любой группе само по себе является нормальной подгруппой конечного индекса. Таким образом, пересечение M всех нормальных подгрупп свободной группы Бернсайда B( m , n ), имеющих конечный индекс, является нормальной подгруппой B( m , n ). Поэтому можно определить свободную ограниченную группу Бернсайда B0 ₍ m , n ) как факторгруппу B( m , n )/ M . Каждая конечная группа показателя n с m образующими изоморфна B( m , n )/ N , где N — нормальная подгруппа группы B( m , n ) с конечным индексом. Следовательно, по Третьей теореме об изоморфизме каждая конечная группа показателя n с m образующими изоморфна B ₀ ( m , n )/( N / M ) — другими словами, это гомоморфный образ B ₀ ( m , n ).Тогда ограниченная проблема Бернсайда спрашивает, является ли B ₀ ( m , n ) конечной группой. С точки зрения теории категорий, B ₀ ( m , n ) является копроизведением n циклических групп порядка m в категории конечных групп показателя н .

В случае простого показателя p эта проблема широко изучалась А. И. Кострикиным в 1950-е годы, до отрицательного решения общей проблемы Бернсайда. Его решение, устанавливающее конечность B ₀ ( m , p ), использовало соотношение с глубокими вопросами о тождествах в алгебрах Ли с конечной характеристикой. Случай с произвольным показателем был полностью положительно решен Ефимом Зельмановым , награжденным в 1994 году за свою работу Филдсовской медалью .

Библиография

• С. И. Адян (1979) Проблема Бернсайда и тождества в группах . Перевод с русского Джона Леннокса и Джеймса Вигольда. Результаты по математике и смежным областям , 95. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк. ISBN   3-540-08728-1 .
• S. I. Adian (2015). "New estimates of odd exponents of infinite Burnside groups". Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova (in Russian). 289 : 41–82. doi : 10.1134/S0371968515020041 . Translation in Адиан, С.И. (2015). «Новые оценки нечетных показателей бесконечных групп Бернсайда». Известия Математического института им. Стеклова . 289 (1): 33–71. дои : 10.1134/S0081543815040045 .
• С.В. Иванов (1994). «Свободные бернсайдовские группы достаточно больших показателей». Международный журнал алгебры и вычислений . 04 : 1–308. дои : 10.1142/S0218196794000026 .
• С.В. Иванов; А. Ю. ОльШанский (1996). «Гиперболические группы и их факторы ограниченных показателей» . Труды Американского математического общества . 348 (6): 2091–2138. дои : 10.1090/S0002-9947-96-01510-3 .
• А. И. Кострикин (1990) Вокруг Бернсайда . Перевод с русского и с предисловием Джеймса Вигольда . Результаты по математике и смежным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 20. Springer-Verlag, Берлин. ISBN   3-540-50602-0 .
• I. G. Lysënok (1996). "Infinite Burnside groups of even exponent" . Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (in Russian). 60 (3): 3–224. doi : 10.4213/im77 . Translation in Лысенок, ИГ (1996). «Бесконечные группы Бернсайда четной степени». Известия: Математика . 60 (3): 453–654. Бибкод : 1996ИзМат..60..453Л . дои : 10.1070/IM1996v060n03ABEH000077 . S2CID   250838960 .
• А. Ю. Ольшанский (1989) Геометрия определяющих отношений в группах . Перевод с русского оригинала 1989 года Ю. А. Бахтурин (1991) Математика и ее приложения (советская серия), 70. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN   0-7923-1394-1 .
• E. Zelmanov (1990). "Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent" . Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (in Russian). 54 (1): 42–59, 221. Translation in Зельманов, Е.И. (1991). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп нечетной экспоненты». Математика СССР-Известия . 36 (1): 41–60. Бибкод : 1991ИзМат..36...41З . дои : 10.1070/IM1991v036n01ABEH001946 . S2CID   39623037 .
• Э. Зельманов (1991). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для 2-групп» . Математический сборник . 182 (4): 568–592. Перевод на Зельманов, Е.И. (1992). «Решение ограниченной проблемы Бернсайда для 2-групп». Математика СССР-Сборник . 72 (2): 543–565. Бибкод : 1992SbMat..72..543Z . дои : 10.1070/SM1992v072n02ABEH001272 .

Внешние ссылки

• История проблемы Бернсайда в MacTutor Архив истории математики