Случайная группа

В математике полученные случайные группы — это определенные группы, путем вероятностной конструкции. Их представил Миша Громов , чтобы ответить на такие вопросы, как «Как выглядит типичная группа?»

Так получается, что, как только дано точное определение, случайные группы удовлетворяют некоторым свойствам с очень высокой вероятностью, тогда как другие свойства не выполняются с очень высокой вероятностью. Например, весьма вероятно, что случайные группы являются гиперболическими группами . В этом смысле можно сказать, что «большинство групп гиперболичны».

Определение

Определение случайных групп зависит от вероятностной модели множества возможных групп. Различные такие вероятностные модели дают разные (но связанные) представления о случайных группах.

Любую группу можно определить с помощью группового представления, включающего генераторы и отношения. Например, абелева группа $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ есть презентация с двумя генераторами $a$ и $b$, и отношение $ab=ba$или эквивалентно $aba^{-1}b^{-1}=1$. Основная идея случайных групп состоит в том, чтобы начать с фиксированного количества генераторов групп. $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}$и наложив соотношения вида $r_{1}=1,\,r_{2}=1,\,\ldots ,\,r_{k}=1$ где каждый $r_{j}$ это случайное слово, состоящее из букв $a_{i}$ и их формальные обратные $a_{i}^{-1}$. Определить модель случайных групп — значит указать точный способ, которым $m$, $k$ и случайные отношения $r_{j}$ выбраны.

Как только случайные отношения $r_{k}$ были выбраны, результирующая случайная группа $G$ определяется стандартным образом для групповых презентаций, а именно: $G$ является фактором свободной группы $F_{m}$ с генераторами $a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}$, нормальной подгруппой $R\subset F_{m}$ порожденный отношениями $r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}$ рассматриваться как элементы $F_{m}$:

$G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}\rangle .$

Модель случайных групп

Простейшей моделью случайных групп является модель с несколькими реляторами . В этой модели несколько генераторов $m\geq 2$ и ряд отношений $k\geq 1$ фиксированы. Исправьте дополнительный параметр $\ell$ (длина отношений), которая обычно принимается очень большой.

Тогда модель заключается в выборе отношений $r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}$ случайным образом, равномерно и независимо среди всех возможных сокращенных слов длины не более $\ell$ с участием букв $a_{i}$ и их формальные обратные $a_{i}^{-1}$.

Эта модель особенно интересна, когда длина отношения $\ell$ стремится к бесконечности: с вероятностью, стремящейся к $1$ как $\ell \to \infty$ случайная группа в этой модели является гиперболической и обладает другими приятными свойствами.

Дальнейшие замечания

Были определены более усовершенствованные модели случайных групп.

Например, в модели плотности количество отношений может расти с длиной отношений. Тогда возникает резкий феномен «фазового перехода»: если число отношений превышает некоторый порог, случайная группа «коллапсирует» (поскольку отношения позволяют показать, что любое слово равно любому другому), тогда как ниже порога результирующая случайная группа бесконечна и гиперболична.

Конструкции случайных групп также можно искажать определенным образом для создания групп с определенными свойствами. Например, Громов использовал эту технику для создания новых групп, которые являются контрпримерами расширения гипотезы Баума-Конна .

Ссылки

• Михаил Громов . Гиперболические группы. Очерки теории групп, 75–263, Матем. наук. Рез. Инст. Publ., 8, Спрингер, Нью-Йорк, 1987.
• Михаил Громов . «Случайное блуждание в случайных группах». Геом. Функц. Анальный. , том. 13 (2003), 73–146.