Приговор свободы
В математике Freiheitssatz Freiheit ( нем . «теорема свободы/независимости»: группами + Satz ) является результатом теории представлений групп являются что некоторые подгруппы группы с одним соотношением . свободными , утверждающим ,
Заявление
[ редактировать ]Рассмотрите групповую презентацию
задается n генераторами x i и одним циклически приведенным релятором r . Если x1 , появляется в r то (согласно freiheitssatz) подгруппа G , порожденная x2 , ..., xn , является свободной группой свободно порожденной x2 , ..., xn , . Другими словами, единственные отношения, включающие x 2 , ..., x n, являются тривиальными.
История
[ редактировать ]Результат был предложен немецким математиком Максом Деном и доказан его учеником Вильгельмом Магнусом в докторской диссертации. [1] Хотя Ден ожидал, что Магнус найдет топологическое доказательство, [2] Вместо этого Магнус нашел доказательство, основанное на математической индукции. [3] и объединенные продукты групп. [4] Различные доказательства, основанные на индукции, были даны позже Линдоном (1972) и Вейнбаумом (1972) . [3] [5] [6]
Значение
[ редактировать ]Freiheitssatz стал «краеугольным камнем теории групп с одним соотношением» и послужил мотивом для развития теории объединенных продуктов . В некоммутативной теории групп он также представляет собой аналог некоторых результатов о векторных пространствах и других коммутативных группах. [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Магнус, Вильгельм (1930). «О разрывных группах с определяющим соотношением. (Теорема о свободе)». Дж. Рейн Анжью. Математика . 163 : 141–165.
- ^ Стиллвелл, Джон (1999). «Макс Ден». В Джеймсе, И.М. (ред.). История топологии . Северная Голландия, Амстердам. стр. 965–978. ISBN 0-444-82375-1 . МР 1674906 . См., в частности, стр. 973 .
- ^ Jump up to: а б Линдон, Роджер С .; Шупп, Пол Э. (2001). Комбинаторная теория групп . Классика по математике. Шпрингер-Верлаг, Берлин. п. 152. ИСБН 3-540-41158-5 . МР 1812024 .
- ^ Jump up to: а б В.А. Романьков (2001) [1994], «Freiheitssatz» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- ^ Линдон, Роджер К. (1972). «О Freiheitssatz». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 5 : 95–101. дои : 10.1112/jlms/s2-5.1.95 . hdl : 2027.42/135658 . МР 0294465 .
- ^ Вайнбаум, CM (1972). «О соотношениях и диаграммах для групп с одним определяющим соотношением» . Иллинойсский математический журнал . 16 (2): 308–322. дои : 10.1215/ijm/1256052287 . МР 0297849 .