недвижимость Хаусона

В математическом предмете теории групп свойство Хаусона , также известное как свойство конечно порожденного пересечения (FGIP) , является свойством группы, говорящим, что пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп этой группы снова конечно порождено. Объект назван в честь Альберта Г. Хаусона , который в статье 1954 года установил, что этим имуществом обладают свободные группы . ^[1]

Формальное определение

Группа $G$ Говорят, что она обладает свойством Хаусона , если для каждой конечно порожденной подгруппы $H,K$ из $G$ их пересечение $H\cap K$ снова является конечно порожденной подгруппой $G$ . ^[2]

Примеры и не примеры

Каждая конечная группа обладает свойством Хаусона.
Группа $G=F(a,b)\times \mathbb {Z}$ не имеет свойства Хаусона. В частности, если $t$ является генератором $\mathbb {Z}$ фактор $G$ , то для $H=F(a,b)$ и $K=\langle a,tb\rangle \leq G$ , у одного есть $H\cap K=\operatorname {ncl} _{F(a,b)}(a)$ . Поэтому, $H\cap K$ не является конечно порожденным. ^[3]
Если $\Sigma$ является компактной поверхностью, то фундаментальная группа $\pi _{1}(\Sigma )$ из $\Sigma$ имеет собственность Хаусона. ^[4]
Свободная (бесконечная циклическая группа) $F_{n}\rtimes \mathbb {Z}$ , где $n\geq 2$ , никогда не имеет собственности Хаусона. ^[5]
Ввиду недавнего доказательства гипотезы виртуального Хакена и гипотезы виртуального расслоения для трехмерных многообразий из ранее установленных результатов следует, что если M — замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие, то $\pi _{1}(M)$ не имеет свойства Хаусона. ^[6]
Среди групп трехмерных многообразий есть много примеров, которые обладают или не обладают свойством Хаусона. Группы 3-многообразий со свойством Хаусона включают фундаментальные группы гиперболических 3-многообразий бесконечного объема, группы 3-многообразий, основанные на геометрии Солнца и Нила , а также группы 3-многообразий, полученные с помощью некоторой связной суммы и конструкций разложения JSJ . ^[6]
Для каждого $n\geq 1$ группа Баумслага – Солитара $BS(1,n)=\langle a,t\mid t^{-1}at=a^{n}\rangle$ имеет собственность Хаусона. ^[3]
Если G — группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа нётерова, то G обладает свойством Хаусона. В частности, все абелевы группы и все нильпотентные группы обладают свойством Хаусона.
Любая полициклическая группа обладает свойством Хаусона. ^[7]
Если $A,B$ это группы со собственностью Хаусона, то их бесплатный продукт $A\ast B$ также владеет собственностью Хаусона. ^[8] В более общем смысле, свойство Хаусона сохраняется при использовании объединенных свободных произведений и HNN-расширения групп со свойством Хаусона по конечным подгруппам. ^[9]
В общем, свойство Хаусона весьма чувствительно к объединенным произведениям и расширениям HNN по бесконечным подгруппам. В частности, для свободных групп $F,F'$ и бесконечная циклическая группа $C$ , объединенный бесплатный продукт $F\ast _{C}F'$ обладает свойством Хаусона тогда и только тогда, когда $C$ является максимальной циклической подгруппой в обеих $F$ и $F'$ . ^[10]
Прямоугольная группа Артина $A(\Gamma )$ обладает свойством Хаусона тогда и только тогда, когда каждый компонент связности $\Gamma$ представляет собой полный граф. ^[11]
Группы пределов обладают свойством Хаусона. ^[12]
Неизвестно, является ли $SL(3,\mathbb {Z} )$ имеет собственность Хаусона. ^[13]
Для $n\geq 4$ группа $SL(n,\mathbb {Z} )$ содержит подгруппу, изоморфную $F(a,b)\times F(a,b)$ и не имеет собственности Хаусона. ^[13]
Многие малые группы сокращения и группы Кокстера , удовлетворяющие условию «уменьшения периметра» при их представлении, являются локально квазивыпуклыми словесно-гиперболическими группами и, следовательно, обладают свойством Хаусона. ^[14]^[15]
Группы с одним родственником $G=\langle x_{1},\dots ,x_{k}\mid r^{n}=1\rangle$ , где $n\geq |r|$ также являются локально квазивыпуклыми словесно-гиперболическими группами и поэтому обладают свойством Хаусона. ^[16]
Группа Григорчука G промежуточного роста не обладает свойством Хаусона. ^[17]
Свойство Хаусона не является свойством первого порядка , то есть свойство Хаусона не может быть охарактеризовано набором групповых языковых формул первого порядка. ^[18]
Бесплатная проп-группа $F$ удовлетворяет топологической версии свойства Хаусона: если $H,K$ являются топологически конечно порожденными замкнутыми подгруппами группы $F$ тогда их пересечение $H\cap K$ топологически конечно порождена. ^[19]
Для любых фиксированных целых чисел $m\geq 2,n\geq 1,d\geq 1,$ «универсальный» $m$ -генератор $n$ -группа родственников $G=\langle x_{1},\dots x_{m}|r_{1},\dots ,r_{n}\rangle$ обладает свойством, что для любого $d$ -сгенерированные подгруппы $H,K\leq G$ их пересечение $H\cap K$ снова конечно порождено. ^[20]
Изделие в виде венка $\mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z}$ не имеет свойства Хаусона. ^[21]
группа Томпсона $F$ не имеет свойства Хаусона, поскольку содержит $\mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z}$ . ^[22]

См. также

Гипотеза Ханны Нейман

Ссылки

^ А. Г. Хаусон, О пересечении конечно порожденных свободных групп . Журнал Лондонского математического общества 29 (1954), 428–434.
^ О. Богопольский, Введение в теорию групп . Переведено, переработано и расширено с русского оригинала 2002 года. Учебники EMS по математике. Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8 ; п. 102
^ Jump up to: ^а ^б Д. И. Молдаванский, Пересечение конечно порожденных подгрупп (на русском языке) Сибирский математический журнал 9 (1968), 1422–1426.
^ Л. Гринберг, Дискретные группы движений . Канадский журнал математики 12 (1960), 415–426.
^ Р. Г. Бернс и А. М. Бруннер, Два замечания о групповом свойстве Хаусона , Алгебра и логика 18 (1979), 513–522.
^ Jump up to: ^а ^б Т. Сома, Группы 3-многообразий с конечно порожденным свойством пересечения , Труды Американского математического общества , 331 (1992), вып. 2, 761–769
^ В. Араужо, П. Силва, М. Сикиотис, Результаты о конечности для подгрупп конечных расширений . Журнал алгебры 423 (2015), 592–614.
^ Б. Баумслаг, Пересечения конечно порожденных подгрупп в свободных произведениях . Журнал Лондонского математического общества 41 (1966), 673–679.
^ Д.Е. Коэн, Конечно сгенерированные подгруппы объединенных свободных продуктов и групп HNN . Дж. Аустрал. Математика. Соц. Сер. А 22 (1976), вып. 3, 274–281
^ Р. Г. Бернс, О конечно порожденных подгруппах объединенного произведения двух групп . Труды Американского математического общества 169 (1972), 293–306.
^ Х. Серватиус, К. Дромс, Б. Серватиус , Свойство конечного базисного расширения и группы графов . Топология и комбинаторная теория групп (Ганновер, Нью-Хэмпшир, 1986/1987; Энфилд, Нью-Хэмпшир, 1988), 52–58, Конспект лекций по математике, 1440 г., Springer, Берлин, 1990 г.
^ Ф. Дахмани, Комбинация групп сходимости . Геометрия и топология 7 (2003), 933–963.
^ Jump up to: ^а ^б Д. Д. Лонг и А. В. Рид, Малые подгруппы $SL(3,\mathbb {Z} )$ , Экспериментальная математика , 20(4):412–425, 2011
^ Дж. П. Маккаммонд, Д. Т. Уайз, Когерентность, локальная квазивыпуклость и периметр 2-комплексов . Геометрический и функциональный анализ 15 (2005), вып. 4, 859–927
^ П. Шупп, Группы Коксетера, 2-завершение, уменьшение периметра и разделение подгрупп , Geometriae Dedicata 96 (2003) 179–198
^ Г.Ч. Грушка, Д.Т. Мудрый, Башни, лестницы и орфографическая теорема Б.Б. Ньюмана . Журнал Австралийского математического общества 71 (2001), вып. 1, 53–69
^ А.В. Рожков, Централизаторы элементов в группе древесных автоморфизмов . (на русском языке) Изв. Росс. Акад. Наук Сер. Мат. 57 (1993), вып. 6, 82–105; перевод на: российский акад. наук. Изв. Математика. 43 (1993), вып. 3, 471–492
^ Б. Файн, А. Гальоне, А. Мясников, Г. Розенбергер, Д. Спеллман, Элементарная теория групп. Путеводитель по доказательствам гипотез Тарского. Выставки Де Грюйтера по математике, 60. Де Грюйтер, Берлин, 2014. ISBN 978-3-11-034199-7 ; Теорема 10.4.13 на с. 236
^ Л. Рибес, П. Залесский, Проконечные группы . Второе издание. Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 40. Springer-Verlag, Берлин, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7 ; Теорема 9.1.20 на с. 366
^ Г. Н. Аржанцева, Общие свойства конечно определенных групп и теорема Хаусона . Коммуникации в алгебре 26 (1998), вып. 11, 3783–3792 гг.
^ А. С. Киркинский, Пересечения конечно порожденных подгрупп в метабелевых группах . Алгебра и логика 20 (1981), вып. 1, 37–54; Лемма 3.
^ В. Губа и М. Сапир, О подгруппах группы Р. Томпсона $F$ и другие группы диаграмм . Сборник: Математика 190.8 (1999): 1077-1130; Следствие 20.

[1] А. Г. Хаусон, О пересечении конечно порожденных свободных групп . Журнал Лондонского математического общества 29 (1954), 428–434.

[2] О. Богопольский, Введение в теорию групп . Переведено, переработано и расширено с русского оригинала 2002 года. Учебники EMS по математике. Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8 ; п. 102

[Mol-3] Jump up to: ^а ^б Д. И. Молдаванский, Пересечение конечно порожденных подгрупп (на русском языке) Сибирский математический журнал 9 (1968), 1422–1426.

[4] Л. Гринберг, Дискретные группы движений . Канадский журнал математики 12 (1960), 415–426.

[5] Р. Г. Бернс и А. М. Бруннер, Два замечания о групповом свойстве Хаусона , Алгебра и логика 18 (1979), 513–522.

[Soma-6] Jump up to: ^а ^б Т. Сома, Группы 3-многообразий с конечно порожденным свойством пересечения , Труды Американского математического общества , 331 (1992), вып. 2, 761–769

[ASilSyk-7] В. Араужо, П. Силва, М. Сикиотис, Результаты о конечности для подгрупп конечных расширений . Журнал алгебры 423 (2015), 592–614.

[8] Б. Баумслаг, Пересечения конечно порожденных подгрупп в свободных произведениях . Журнал Лондонского математического общества 41 (1966), 673–679.

[9] Д.Е. Коэн, Конечно сгенерированные подгруппы объединенных свободных продуктов и групп HNN . Дж. Аустрал. Математика. Соц. Сер. А 22 (1976), вып. 3, 274–281

[10] Р. Г. Бернс, О конечно порожденных подгруппах объединенного произведения двух групп . Труды Американского математического общества 169 (1972), 293–306.

[11] Х. Серватиус, К. Дромс, Б. Серватиус , Свойство конечного базисного расширения и группы графов . Топология и комбинаторная теория групп (Ганновер, Нью-Хэмпшир, 1986/1987; Энфилд, Нью-Хэмпшир, 1988), 52–58, Конспект лекций по математике, 1440 г., Springer, Берлин, 1990 г.

[12] Ф. Дахмани, Комбинация групп сходимости . Геометрия и топология 7 (2003), 933–963.

[LR-13] Jump up to: ^а ^б Д. Д. Лонг и А. В. Рид, Малые подгруппы $SL(3,\mathbb {Z} )$ , Экспериментальная математика , 20(4):412–425, 2011

[14] Дж. П. Маккаммонд, Д. Т. Уайз, Когерентность, локальная квазивыпуклость и периметр 2-комплексов . Геометрический и функциональный анализ 15 (2005), вып. 4, 859–927

[15] П. Шупп, Группы Коксетера, 2-завершение, уменьшение периметра и разделение подгрупп , Geometriae Dedicata 96 (2003) 179–198

[16] Г.Ч. Грушка, Д.Т. Мудрый, Башни, лестницы и орфографическая теорема Б.Б. Ньюмана . Журнал Австралийского математического общества 71 (2001), вып. 1, 53–69

[17] А.В. Рожков, Централизаторы элементов в группе древесных автоморфизмов . (на русском языке) Изв. Росс. Акад. Наук Сер. Мат. 57 (1993), вып. 6, 82–105; перевод на: российский акад. наук. Изв. Математика. 43 (1993), вып. 3, 471–492

[18] Б. Файн, А. Гальоне, А. Мясников, Г. Розенбергер, Д. Спеллман, Элементарная теория групп. Путеводитель по доказательствам гипотез Тарского. Выставки Де Грюйтера по математике, 60. Де Грюйтер, Берлин, 2014. ISBN 978-3-11-034199-7 ; Теорема 10.4.13 на с. 236

[19] Л. Рибес, П. Залесский, Проконечные группы . Второе издание. Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 40. Springer-Verlag, Берлин, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7 ; Теорема 9.1.20 на с. 366

[20] Г. Н. Аржанцева, Общие свойства конечно определенных групп и теорема Хаусона . Коммуникации в алгебре 26 (1998), вып. 11, 3783–3792 гг.

[21] А. С. Киркинский, Пересечения конечно порожденных подгрупп в метабелевых группах . Алгебра и логика 20 (1981), вып. 1, 37–54; Лемма 3.

[22] В. Губа и М. Сапир, О подгруппах группы Р. Томпсона $F$ и другие группы диаграмм . Сборник: Математика 190.8 (1999): 1077-1130; Следствие 20.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]