Свободно-циклическая группа

В теории групп , особенно в геометрической теории групп , в качестве важных примеров глубоко изучен класс свободных циклических групп. Группа ​ $G$ называется циклически свободной, если она имеет свободную нормальную подгруппу $F$ такая, что факторгруппа $G/F$ является циклическим . Другими словами, $G$ является свободно-циклическим, если его можно выразить как групповое расширение свободной группы циклической группой (обратите внимание, что для «by» существует два соглашения). Обычно мы предполагаем $F$ конечно порождена, а фактор представляет собой бесконечную циклическую группу. Эквивалентно, мы можем конструктивно определить группу, свободно циклическую: если $\varphi$ является автоморфизмом $F$, полупрямой продукт $F\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z}$ является свободной циклической группой.

Класс изоморфизма свободно-циклической группы определяется внешним автоморфизмом. Если два автоморфизма $\varphi ,\psi$ представляют один и тот же внешний автоморфизм, т. е. $\varphi =\psi \iota$ для некоторого внутреннего автоморфизма $\iota$, свободные циклические группы $F\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z}$ и $F\rtimes _{\psi }\mathbb {Z}$ изоморфны.

Примеры

Класс свободных циклических групп содержит следующие группы:

• Свободно-циклическая группа является гиперболической тогда и только тогда, когда присоединяющее отображение атороидально.
• Некоторые группы, свободно циклические, гиперболичны относительно свободных абелевых подгрупп. В более общем смысле, все циклические группы являются гиперболическими относительно набора подгрупп, которые являются свободными циклическими для автоморфизма полиномиального роста.
• Примечательно, что существует не относящаяся к CAT(0) . свободная циклическая группа,

Ссылки

• А. Мартино и Э. Вентура (2004), Проблема сопряженности для свободных циклических групп. Архивировано 27 сентября 2007 г. в Wayback Machine . Препринт из Центра математических исследований, Барселона, Каталония, Испания.

• Фейн, Марк; Гендель, Майкл Отображающие торы автоморфизмов свободных групп когерентны, Ann. Математика, том 149 (1999), вып. 3

• Гош, П. (2023). Относительная гиперболичность свободно-циклических расширений. Математическая композиция, 159 (1), 153–183.

• Ф. Дахмани и Р. Ли, Относительная гиперболичность автоморфизмов свободных произведений и свободных групп, Журнал топологии и анализа, том. 14, № 01, стр. 55-92 (2022)