Гипотеза о виртуальном расслоении
В математическом подполе трехмерных многообразий , виртуально расслоенная гипотеза сформулированная американским математиком Уильямом Терстоном , утверждает, что каждое замкнутое , неприводимое , тороидальное трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой имеет конечное покрытие , которое представляет собой поверхностное расслоение над кругом .
Говорят, что 3-многообразие, имеющее такое конечное покрытие, практически является слоем . Если M — расслоение Зейферта , то M практически расслояется тогда и только тогда, когда рациональное число Эйлера расслоения Зейферта или ( орбифолдная ) эйлерова характеристика базового пространства равно нулю.
Условиям гипотезы удовлетворяют гиперболические 3-многообразия . Фактически, учитывая, что гипотеза о геометризации теперь решена, единственный случай, который необходимо доказать для гипотезы о виртуальном расслоении, - это случай гиперболических трехмерных многообразий.
Первоначальный интерес к гипотезе виртуального расслоения (а также к ее более слабым родственникам, таким как гипотеза виртуального Хакена Терстона ) возник из-за того факта, что любая из этих гипотез в сочетании с теоремой о гиперболизации подразумевала бы гипотезу геометризации. Однако на практике все известные атаки на «виртуальную» гипотезу принимают геометризацию в качестве гипотезы и полагаются на геометрические и теоретико-групповые свойства гиперболических трехмерных многообразий.
Гипотеза о виртуальном расслоении на самом деле не была выдвинута Терстоном. Скорее, он сформулировал это как вопрос, написав лишь, что «[т] его сомнительно звучащий вопрос, похоже, имеет определенные шансы на положительный ответ». [1]
В конечном итоге эта гипотеза была подтверждена положительно в серии статей, опубликованных с 2009 по 2012 год. В публикации на ArXiv от 25 августа 2009 года: [2] Дэниел Уайз неявно подразумевал (ссылаясь на неопубликованную на тот момент более длинную рукопись), что он доказал гипотезу для случая, когда 3-многообразие замкнуто, гиперболично и Хакена. За этим последовала обзорная статья в журнале Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. [3] Несколько других статей [4] [5] [6] последовали и другие, в том числе вышеупомянутая длинная рукопись Уайза. [7] В марте 2012 года во время конференции в Институте Анри Пуанкаре в Париже Ян Агол объявил, что может доказать виртуальную гипотезу Хакена для замкнутых гиперболических трехмерных многообразий. . [8] В совокупности с результатами Дэниела Уайза из этого следует гипотеза о виртуальном расслоении для всех замкнутых гиперболических трехмерных многообразий.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Терстон 1982 , с. 380.
- ^ Бержерон, Николя; Мудрый, Дэниел Т. (2012). «Граничный критерий кубуляции». Американский журнал математики . 134 (3): 843–859. arXiv : 0908.3609 . дои : 10.1353/ajm.2012.0020 . МР 2931226 .
- ^ Мудрый, Дэниел (2009). «Анонс исследования: Структура групп с квазивыпуклой иерархией» . Электронные объявления о исследованиях по математическим наукам . 16 : 44–55. дои : 10.3934/era.2009.16.44 .
- ^ Хаглунд, Фредерик; Мудрый, Дэниел (2012). «Комбинационная теорема для специальных комплексов кубов» . Анналы математики . 176 (3): 1427–1482. дои : 10.4007/анналы.2012.176.3.2 .
- ^ Кристофер Хруска, GC; Уайз, Дэниел Т. (2014). «Свойства конечности кубулированных групп». Математическая композиция . 150 (3): 453–506. arXiv : 1209.1074 . дои : 10.1112/S0010437X13007112 . S2CID 119341019 .
- ^ Сюй, Тим; Мудрый, Дэниел Т. (2015). «Кукуляция аномальных амальгам». Математические изобретения . 199 (2): 293–331. Бибкод : 2015InMat.199..293H . дои : 10.1007/s00222-014-0513-4 . S2CID 122292998 .
- ^ Уайз, Дэниел Т. Структура групп с квазивыпуклой иерархией (PDF) .
- ^ Агол, Ян (2013). «Виртуальная гипотеза Хакена» . Документа Математика . 18 . С приложением Яна Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга: 1045–1087. arXiv : 1204.2810 . МР 3104553 .
Ссылки
[ редактировать ]- Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . 6 (3): 357–382. CiteSeerX 10.1.1.535.7618 . дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
- Д. Габай, О 3-многообразии, конечно покрытом поверхностными расслоениями , маломерной топологии и клейновских группах (под редакцией: DBA Epstein), Серия лекций Лондонского математического общества, том 112 (1986), стр. 145-155.
- Агол, Ян (2008). «Критерии виртуального оптоволокна». Журнал топологии . 1 (2): 269–284. arXiv : 0707.4522 . дои : 10.1112/jtopol/jtn003 . S2CID 3028314 .