Хуай-Донг Цао

Хуай-Донг Цао
Традиционный китайский	Цао Хуайдун
Упрощенный китайский	Цао Хуайдун
показывать Транскрипции Standard Mandarin Hanyu Pinyin Cáo Huáidōng Wade–Giles Ts'ao2 Huai2-tung1

Хуай-Дун Цао (родился 8 ноября 1959 года в Цзянсу ) — китайско-американский математик. Он является профессором математики имени А. Эверетта Питчера в Университете Лихай . Он известен своим исследовательским вкладом в поток Риччи , тему в области геометрического анализа .

история

Цао получил степень бакалавра в Университете Цинхуа в 1981 году и степень доктора философии. из Принстонского университета в 1986 году под руководством Шинг-Тунг Яу .

Цао — бывший заместитель директора Института чистой и прикладной математики (IPAM) Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Он занимал должности приглашенного профессора в Массачусетском технологическом институте, Гарвардском университете, Институте Исаака Ньютона, Институте Макса Планка, IHES, ETH Zurich и Пизанском университете. Он является главным редактором журнала «Дифференциальная геометрия» с 2003 года. Среди его наград и наград:

• Слоанская исследовательская стипендия (1991–1993 годы)
• Стипендия Гуггенхайма (2004)
• Премия «Выдающемуся зарубежному молодому исследователю», присуждаемая Национальным фондом естественных наук Китая (2005 г.)

вклад

Поток Келера-Риччи

В 1982 году Ричард С. Гамильтон представил поток Риччи , доказав новую драматическую теорему о геометрии трехмерных многообразий . Цао, который только что начал свою докторскую диссертацию. исследования под руководством Шинг-Тунг Яу , начал изучать поток Риччи в условиях кэлеровых многообразий . В своей докторской диссертации В диссертации, опубликованной в 1985 году, он показал, что оценки Яу в разрешении гипотезы Калаби могут быть модифицированы в контексте потока Кэлера-Риччи, чтобы доказать теорему сходимости, аналогичную исходному результату Гамильтона. Яу Это также предоставило параболическую альтернативу методу непрерывности в доказательстве гипотезы Калаби, хотя большая часть технической работы в доказательствах аналогична.

Перельмана о

Следуя предположению Яу о том, что поток Риччи можно использовать для доказательства Уильяма Терстона , гипотезы геометризации Гамильтон развивал эту теорию в течение следующих двух десятилетий. В 2002 и 2003 годах Гриша Перельман две статьи опубликовал в arXiv , в которых утверждал, что представил доказательство гипотезы геометризации с помощью потока Риччи. Кроме того, он опубликовал третью статью, в которой дал сокращение доказательства знаменитой гипотезы Пуанкаре , для которой результаты второй половины второй статьи оказались ненужными. Работы Перельмана были сразу же признаны как давшие заметные новые результаты в теории потока Риччи, хотя многие математики не смогли полностью понять технические детали некоторых необычайно сложных или кратких разделов его работы.

Брюс Кляйнер из Йельского университета и Джон Лотт из Мичиганского университета начали публиковать в сети аннотации к первым двум статьям Перельмана в 2003 году, дополняя и изменяя их в течение следующих нескольких лет. Результаты этой работы были опубликованы в академическом журнале в 2008 году. Цао сотрудничал с Си-Пин Чжу из Университета Чжуншань , опубликовав в 2006 году изложение работ Гамильтона и первых двух статей Перельмана, объясняя их в контексте математической литературы по геометрическому анализу . Джон Морган из Колумбийского университета и Ган Тянь из Принстонского университета опубликовали в 2007 году книгу, посвященную первой и третьей статье Перельмана, а также первой половине второй статьи; Позже они опубликовали вторую книгу, посвященную второй половине второй статьи Перельмана.

В аннотации к статье Цао и Чжу говорится:

В данной статье мы даем полное доказательство гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Эта работа зависит от совокупных работ многих геометрических аналитиков за последние тридцать лет. Это доказательство следует считать высшим достижением теории потока Риччи Гамильтона-Перельмана.

с началом ознакомления

В этой статье мы представим теорию Гамильтона-Перельмана потока Риччи. На его основе мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона. Хотя вся работа представляет собой совокупность усилий многих геометрических аналитиков, главными вкладчиками, несомненно, являются Гамильтон и Перельман.

Некоторые наблюдатели считали, что Цао и Чжу преувеличивают ценность своей статьи. Кроме того, было обнаружено, что несколько страниц статьи Цао и Чжу были похожи на страницы в статье Кляйнера и Лотта, что привело к обвинениям в плагиате. Цао и Чжу заявили, что в 2003 году они сделали заметки к этому разделу работы Перельмана из ранних публикаций Кляйнера и Лотта и что по случайной оплошности они не смогли понять источник заметок при написании своей статьи в 2005 году. В декабре 2006 года они опубликовали исправленную версию своей статьи в arXiv.

Риччи

Градиентный солитон Риччи состоит из риманова многообразия ( M , g ) и функции f на M такой, что Ric ^г + Гесс ^г f является постоянным кратным g . В частном случае, когда M имеет комплексную структуру, g является метрикой Кэлера , а градиент f является голоморфным векторным полем, существует градиентный солитон Кэлера-Риччи . Солитоны Риччи иногда рассматриваются как обобщения метрик Эйнштейна , соответствующие случаю f = 0 . Важность градиентных солитонов Риччи для теории потока Риччи была впервые признана Гамильтоном во влиятельной статье 1995 года. В анализе Перельмана особенно важны градиентные солитоны Риччи, в которых постоянный кратный положителен; они называются градиентно-сжимающими солитонами Риччи . Обзор солитонов Риччи, проведенный Цао в 2010 году, получил широкое цитирование.

В 1996 году Цао изучал градиентные солитоны Кэлера-Риччи под анзацем вращательной симметрии, так что уравнение солитона Риччи сводится к анализу ОДУ . Он показал, что для каждого положительного n существует градиентный устойчивый солитон Кэлера-Риччи на $\mathbb {C} ^{n}$ который является вращательно-симметричным, полным и положительно изогнутым. В случае, когда n равно 1, это восстанавливает сигарный солитон Гамильтона. Као также показал существование градиентных устойчивых солитонов Кэлера-Риччи на всем пространстве канонического расслоения над комплексным проективным пространством , которое является полным, вращательно-симметричным и неотрицательно искривленным. Он построил закрытые примеры градиентного сжатия солитонов Кэлера-Риччи при проективизации некоторых линейных расслоений в комплексном проективном пространстве; эти примеры были рассмотрены независимо Норихито Койсо. Анзац Цао и Койсо получил дальнейшее развитие во влиятельной статье Михаила Фельдмана, Тома Ильманена и Дэна Кнопфа, а примеры Цао, Койсо и Фельдмана-Ильманена-Кнопфа были объединены и расширены в 2011 году Эндрю Дэнсером и Маккензи Ван.

Используя аргумент Перельмана, Цао и Детанг Чжоу показали, что солитоны Риччи с полным градиентным сжатием имеют гауссов характер, поскольку для любой заданной точки p из M функция f должна расти квадратично с функцией расстояния до p . Кроме того, объем геодезических шаров вокруг p может расти не более чем полиномиально с увеличением их радиуса. Эти оценки делают возможным большой объем интегрального анализа, связанного с полным градиентным сжатием солитонов Риччи, в частности позволяя e ^{− ж} использовать в качестве весовой функции.

Основные публикации

• Цао, Хуай Донг (1985). «Деформация кэлеровых метрик в метрики Кэлера – Эйнштейна на компактных кэлеровах многообразиях» . Математические изобретения . 81 (2): 359–372. дои : 10.1007/BF01389058 . МР   0799272 . Збл   0574.53042 .
• Цао, Хуай-Донг (1996). «Существование градиентных солитонов Кэлера-Риччи». В Чоу, Бен; Гулливер, Роберт; Леви, Сильвио; Салливан, Джон (ред.). Эллиптические и параболические методы в геометрии . Семинар состоялся в Университете Миннесоты, Миннеаполис, Миннесота, 23–27 мая 1994 г. Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd., стр. 1–16. arXiv : 1203.4794 . дои : 10.1201/9781439864517 . МР   1417944 . Збл   0868.58047 .
• Цао, Хуай-Донг (2010). «Недавний прогресс в области солитонов Риччи». Ин Ли, Инг-Ин; Лин, Чан-Шоу ; Цуй, Мао-Пей (ред.). Последние достижения геометрического анализа . Международная конференция по геометрическому анализу в Тайваньском университете, Тайбэй (18–22 июня 2007 г.). Продвинутые лекции по математике. Том. 11. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 1–38. arXiv : 0908.2006 . МР   2648937 . Збл   1201.53046 .
• Цао, Хуай-Донг; Чжоу, Детанг (2010). «О полном градиентном сжатии солитонов Риччи» . Журнал дифференциальной геометрии . 85 (2): 175–185. arXiv : 0903.3932 . дои : 10.4310/jdg/1287580963 . МР   2732975 . Збл   1246.53051 .
• Цао, Хуай-Донг; Чжу, Си-Пин (2006). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона – Перельмана потока Риччи» . Азиатский математический журнал . 10 (2): 165–492. дои : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . МР   2233789 . Збл   1200.53057 .
  – – (2006). «Ошибка» . Азиатский математический журнал . 10 (4): 663–664. дои : 10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2 . МР   2282358 .
  – – (2006). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math/0612069 .