Гипотеза Калаби

В математической области дифференциальной геометрии гипотеза Калаби — это гипотеза о существовании определенных видов римановых метрик на некоторых комплексных многообразиях , выдвинутая Эудженио Калаби ( 1954 , 1957 ). Это доказал Шинг-Тунг Яу ( 1977 , 1978 ), получивший медаль Филдса и премию Освальда Веблена отчасти за свое доказательство . Его работа, в основном анализ эллиптического уравнения в частных производных, известного как комплексное уравнение Монжа-Ампера , была влиятельным ранним результатом в области геометрического анализа .

Точнее, гипотеза Калаби утверждает решение предписанной проблемы кривизны Риччи в рамках кэлеровых метрик на замкнутых комплексных многообразиях. Согласно теории Черна–Вейля , форма Риччи любой такой метрики представляет собой замкнутую дифференциальную 2-форму , которая представляет первый класс Черна . Калаби предположил, что для любой такой дифференциальной формы R существует ровно одна метрика Кэлера в каждом классе Кэлера, форма Риччи которого равна R . (Некоторые компактные комплексные многообразия не допускают классов Кэлера, и в этом случае гипотеза бесполезна.)

В частном случае, когда первый класс Чженя исчезает, это означает, что каждый класс Кэлера содержит ровно одну Риччи-плоскую метрику . Их часто называют многообразиями Калаби–Яу . Однако разные авторы часто используют этот термин несколько по-разному - например, некоторые варианты использования могут относиться к комплексному многообразию, в то время как другие могут относиться к комплексному многообразию вместе с определенной Риччи-плоской метрикой Кэлера.

Этот частный случай эквивалентно можно рассматривать как полную теорию существования и единственности метрик Кэлера–Эйнштейна нулевой скалярной кривизны на компактных комплексных многообразиях. Случай ненулевой скалярной кривизны не является частным случаем гипотезы Калаби, поскольку «правая часть» проблемы Кэлера–Эйнштейна зависит от «неизвестной» метрики, тем самым помещая проблему Кэлера–Эйнштейна за пределы области прописывая кривизну Риччи. Однако анализ Яу комплексного уравнения Монжа – Ампера при разрешении гипотезы Калаби был достаточно общим, чтобы также разрешить существование метрик Кэлера – Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны. Третий и последний случай положительной скалярной кривизны был решен в 2010-х годах, частично с использованием гипотезы Калаби.

гипотезы

Калаби преобразовал гипотезу Калаби в нелинейное уравнение в частных производных комплексного типа Монжа – Ампера и показал, что это уравнение имеет не более одного решения, тем самым установив единственность требуемой кэлеровой метрики.

Яу доказал гипотезу Калаби, построив решение этого уравнения методом непрерывности . Это предполагает сначала решение более простого уравнения, а затем демонстрацию того, что решение простого уравнения можно непрерывно деформировать до решения сложного уравнения. Самая сложная часть решения Яу — доказательство некоторых априорных оценок производных решений.

гипотезы Калаби в

Предположим, что $M$ — комплексное компактное многообразие с кэлеровой формой $\omega$.По $\partial {\bar {\partial }}$-лемме любая другая кэлерова форма в том же классе когомологий де Рама имеет вид

$\omega +dd'\varphi$

для некоторой гладкой функции $\varphi$ на $M$, уникальный с точностью до добавления константы. Таким образом, гипотеза Калаби эквивалентна следующей проблеме:

Позволять $F=e^{f}$ — положительная гладкая функция на $M$ со средним значением 1. Тогда существует гладкая действительная функция $\varphi$; с

$(\omega +dd'\varphi )^{m}=e^{f}\omega ^{m}$

и $\varphi$; уникальна с точностью до добавления константы.

Это уравнение комплексного типа Монжа–Ампера для одной функции $\varphi$.Это уравнение в частных производных решить особенно сложно, поскольку оно нелинейно с точки зрения высшего порядка. Ее легко решить, если $f=0$, как $\varphi =0$ это решение. Идея метода непрерывности состоит в том, чтобы показать, что ее можно решить для всех $f$ показав, что множество $f$ задача, для которой она может быть решена, является одновременно открытой и закрытой. Поскольку набор $f$ для которого она может быть решена, непусто и множество всех $f$ связна, это показывает, что ее можно решить для всех $f$.

Отображение от гладких функций к гладким функциям, принимающим $\varphi$ к $F$ определяется

$F=(\omega +dd'\varphi )^{m}/\omega ^{m}$

не является ни инъективным, ни сюръективным. Оно не является инъективным, поскольку добавление константы к $\varphi$ не меняется $F$, и оно не является сюръективным, поскольку $F$ должно быть положительным и иметь среднее значение 1. Поэтому мы рассматриваем отображение, ограниченное функциями $\varphi$ которые нормализованы так, чтобы иметь среднее значение 0, и спросить, является ли это отображение изоморфизмом множества положительных $F=e^{f}$ со средним значением 1. Калаби и Яу доказали, что это действительно изоморфизм. Это делается в несколько этапов, описанных ниже.

Уникальность решения

Доказательство единственности решения предполагает доказательство того, что если

$(\omega +dd'\varphi _{1})^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2})^{m}$

тогда φ ₁ и φ ₂ отличаются на константу(так должно быть одинаково, если они оба нормализованы и имеют среднее значение 0). Калаби доказал это, показав, что среднее значение

$|d(\varphi _{1}-\varphi _{2})|^{2}$

задается выражением, которое равно не более 0. Поскольку оно явно не меньше 0, оно должно быть 0, поэтому

$d(\varphi _{1}-\varphi _{2})=0$

что, в свою очередь, заставляет φ ₁ и φ ₂ различаться на константу.

Набор F открыт

Доказательство того, что множество возможных F что если можно решить уравнение для некоторого F , то можно решить его и для всех достаточно близких F. открыто (в множестве гладких функций со средним значением 1), предполагает показ того , Калаби доказал это, используя теорему о неявной функции для банаховых пространств : чтобы применить это, главный шаг — показать, что линеаризация дифференциального оператора, приведенная выше, обратима.

Набор F закрыт

Это самая трудная часть доказательства, и ее выполнил Яу.Предположим, что F находится в замыкании образа возможныхфункции φ. Это означает, что существует последовательность функции φ ₁ , φ ₂ , ...такие, что соответствующие функции F ₁ , F ₂ ,...сходятся к F , и задача состоит в том, чтобы показать, что некоторая подпоследовательность φs сходится к решению φ. Для этого Яу находит некоторые априорные оценки для функций φ _i и их высших производных.в терминах высших производных log( f _i ). Для нахождения этих границ требуется длинная последовательность точных оценок, каждая из которых немного улучшает предыдущую оценку. Ограничений, полученных Яу, достаточно, чтобы показать, что все функции φ _i лежат в компактном подмножестве подходящего банахова пространства функций, поэтому можно найти сходящую подпоследовательность.Эта подпоследовательность сходится к функции φ с образом F , которая показывает, что множество возможных изображений F замкнуто.

Ссылки

• Тьерри Обен , Нелинейный анализ многообразий, уравнения Монжа – Ампера ISBN   0-387-90704-1 Это дает доказательство гипотезы Калаби и результатов Обина о метриках Кэлера – Эйнштейна.
• Бургиньон, Жан-Пьер (1979), «Первые формы Черна компактных кэлеровых многообразий [по Э. Калаби, Т. Обену и С. Т. Яу]», Семинар Бурбаки, 30-й год (1977/78) , Конспект лекций по математике., полет. 710, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 1–21, номер домена : 10.1007/BFb0069970 , ISBN.  978-3-540-09243-8 , MR   0554212 Это обзор работ Обина и Яу.
• Калаби, Э. (1954). «Пространство метрик Кэлера» (PDF) . Ин Герретсен, Йохан CH; Де Гроот, Йоханнес (ред.). Труды Международного конгресса математиков, 1954. Том II . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 206–207.
• Калаби, Эухенио (1957). «О кэлеровых многообразиях с исчезающим каноническим классом». в Фоксе, Р.Х. ; Спенсер, округ Колумбия ; Такер, AW (ред.). Алгебраическая геометрия и топология . Симпозиум в честь С. Лефшеца. Принстонская математическая серия. Том. 12. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 78–89. дои : 10.1515/9781400879915-006 . ISBN  9781400879915 . МР   0085583 . Збл   0080.15002 .
• Доминик Д. Джойс. Компактные многообразия со специальной голономией (Оксфордские математические монографии) ISBN   0-19-850601-5 Это дает упрощенное доказательство гипотезы Калаби.
• Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS...74.1798 Y , doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , ISSN   0027-8424 , MR   0451180 , PMC   431004 , PMID   16592394
• Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа – Ампера. I», Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10.1002/cpa .3160310304 , МР   0480350

Внешние ссылки

• Яу, Шинг Тунг (2009), «Многообразие Калаби-Яу», Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ...4.6524Y , doi : 10.4249/scholarpedia.6524