Метод непрерывности

В математике банаховых пространств метод непрерывности дает достаточные условия для вывода обратимости одного ограниченного линейного оператора из обратимости другого, родственного оператора.

Формулировка

Пусть B — банахово пространство , V — нормированное векторное пространство и $(L_{t})_{t\in [0,1]}$ непрерывное по норме семейство ограниченных линейных операторов из B в V . Предположим, что существует положительная константа C такая, что для любого $t\in [0,1]$ и каждый $x\in B$

$||x||_{B}\leq C||L_{t}(x)||_{V}.$

Затем $L_{0}$ сюръективно тогда и только тогда, когда $L_{1}$ также сюръективен.

Приложения

Метод непрерывности используется в сочетании с априорными оценками для доказательства существования достаточно регулярных решений эллиптических уравнений в частных производных .

Доказательство

Мы предполагаем, что $L_{0}$ сюръективно и покажем, что $L_{1}$ также сюръективен.

Разбивая интервал [0,1], можно считать, что $||L_{0}-L_{1}||\leq 1/(3C)$. Более того, сюръективность $L_{0}$ следует, что V изоморфно B и, следовательно, является банаховым пространством. Гипотеза подразумевает, что $L_{1}(B)\subseteq V$ является замкнутым подпространством.

Предположим, что $L_{1}(B)\subseteq V$ является собственным подпространством. Лемма Рисса показывает, что существует $y\in V$ такой, что $||y||_{V}\leq 1$ и $\mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3$. Сейчас $y=L_{0}(x)$ для некоторых $x\in B$ и $||x||_{B}\leq C||y||_{V}$ по гипотезе. Поэтому

$||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}\leq ||L_{0}-L_{1}||||x||_{B}\leq 1/3,$

что является противоречием, поскольку $L_{1}(x)\in L_{1}(B)$.

См. также

• Оценки содрогания

Источники

• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7