Оценки содрогания

В математике , а точнее, в функциональном анализе и УЧП , оценки Шаудера представляют собой набор результатов Юлиуша Шаудера ( 1934 , 1937 ), касающихся регулярности решений линейных, равномерно эллиптических уравнений в частных производных . Оценки говорят, что когда уравнение имеет подходящие гладкие члены и подходящие гладкие решения, то нормой Гёльдера решения можно управлять с точки зрения норм Гёльдера для коэффициентов и исходных членов. Поскольку эти оценки по гипотезе предполагают существование решения, их называют априорными оценками .

Существует как внутренний результат, дающий условие Гельдера для решения во внутренних областях вдали от границы, так и граничный результат, дающий условие Гельдера для решения во всей области. Первая граница зависит только от пространственного измерения, уравнения и расстояния до границы; последнее зависит также от гладкости границы.

Оценки Шаудера являются необходимой предпосылкой использования метода непрерывности для доказательства существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических УЧП. Этот результат говорит о том, что когда коэффициенты уравнения и характер граничных условий достаточно гладкие, существует гладкое классическое решение УЧП.

Обозначения

Оценки Шаудера даются через весовые нормы Гёльдера; обозначения будут следовать тем, которые даны в тексте Д. Гилбарга и Нила Трудингера ( 1983 ).

Верхняя норма непрерывной функции $f\in C(\Omega )$ дается

$|f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|$

Для функции, непрерывной по Гельдеру с показателем $\alpha$, то есть $f\in C^{0,\alpha }(\Omega )$, обычная полунорма Гёльдера определяется выражением

$[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Сумма этих двух представляет собой полную норму Гёльдера f

$|f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Для дифференцируемых функций u необходимо рассматривать нормы более высокого порядка, включающие производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными: $C^{k}(\Omega )$, определяется

$|u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|$

где $\beta$ колеблется по всем мультииндексам соответствующих порядков. Для функций с производными k -го порядка, непрерывных по Гельдеру с показателем $\alpha$, соответствующая полунорма определяется выражением

$[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$

что дает полную норму

$|u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Для внутренних оценок нормы взвешиваются по расстоянию до границы

$d_{x}=d(x,\partial \Omega )$

возводятся в ту же степень, что и производная, а полунормы взвешиваются по

$d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})$

возведен в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

$|u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$

Иногда необходимо добавить «лишние» степени веса, обозначаемые

$|u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Формулировка

Формулировки в этом разделе взяты из текста Д. Гилбарга и Нила Трудингера ( 1983 ).

Смета интерьера

Рассмотрим ограниченное решение $u\in C^{2,\alpha }(\Omega )$ в домене $\Omega$ к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

$\sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)$

где исходный термин удовлетворяет $f\in C^{\alpha }(\Omega )$. Если существует константа $\lambda >0$ такой, что $a_{i,j}$ строго эллиптические,

$\sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}$ для всех $x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}$

и все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой $\Lambda$

$|a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .$

Затем взвешенный $C^{2,\alpha }$ норма u контролируется верхней границей u и нормой Гёльдера f :

$|u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).$

Граничные оценки

Позволять $\Omega$ быть $C^{2,\alpha }$ области (т. е. относительно любой точки на границе области граничная гиперповерхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как $C^{2,\alpha }$ функция), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией $\phi (x)$ что тоже как минимум $C^{2,\alpha }$. Тогда при соблюдении аналогичных условий на коэффициенты, как и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера u контролируется невзвешенными нормами исходного члена, граничными данными и супремум-нормой u :

$|u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).$

Если решение u удовлетворяет принципу максимума , первый множитель в правой части можно отбросить.

Источники

• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN  3-540-41160-7
• Шаудер, Юлиуш (1934), «О линейных эллиптических дифференциальных уравнениях второго порядка», Mathematical Journal (на немецком языке), vol. 38, № 1, Берлин, Германия: Springer-Verlag, стр. 257–282, номер документа : 10.1007/BF01170635 , S2CID   120461752 MR. 1545448
• Шаудер, Юлиуш (1937), «Численные оценки в эллиптических линейных дифференциальных уравнениях» (PDF) , Studia Mathematica (на немецком языке), vol. 5, Львов, Польша: Польская академия наук. Институт математики, стр. 34–42.

Дальнейшее чтение

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989), Методы математической физики , том. 2 (1-е изд. на английском языке), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN  0-471-50439-4
• Хан, Цин; Линь, Фанхуа (1997), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных , Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта , ISBN  0-9658703-0-8 , OCLC   38168365 МР 1669352