Оценки содрогания
В математике , а точнее, в функциональном анализе и УЧП , оценки Шаудера представляют собой набор результатов Юлиуша Шаудера ( 1934 , 1937 ), касающихся регулярности решений линейных, равномерно эллиптических уравнений в частных производных . Оценки говорят, что когда уравнение имеет подходящие гладкие члены и подходящие гладкие решения, то нормой Гёльдера решения можно управлять с точки зрения норм Гёльдера для коэффициентов и исходных членов. Поскольку эти оценки по гипотезе предполагают существование решения, их называют априорными оценками .
Существует как внутренний результат, дающий условие Гельдера для решения во внутренних областях вдали от границы, так и граничный результат, дающий условие Гельдера для решения во всей области. Первая граница зависит только от пространственного измерения, уравнения и расстояния до границы; последнее зависит также от гладкости границы.
Оценки Шаудера являются необходимой предпосылкой использования метода непрерывности для доказательства существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических УЧП. Этот результат говорит о том, что когда коэффициенты уравнения и характер граничных условий достаточно гладкие, существует гладкое классическое решение УЧП.
Обозначения [ править ]
Оценки Шаудера даются через весовые нормы Гёльдера; обозначения будут следовать тем, которые даны в тексте Д. Гилбарга и Нила Трудингера ( 1983 ).
Верхняя норма непрерывной функции дается
Для функции, непрерывной по Гельдеру с показателем , то есть , обычная полунорма Гёльдера определяется выражением
Сумма этих двух представляет собой полную норму Гёльдера f
Для дифференцируемых функций u необходимо рассматривать нормы более высокого порядка, включающие производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными: , определяется
где колеблется по всем мультииндексам соответствующих порядков. Для функций с производными k -го порядка, непрерывных по Гельдеру с показателем , соответствующая полунорма определяется выражением
что дает полную норму
Для внутренних оценок нормы взвешиваются по расстоянию до границы
возводятся в ту же степень, что и производная, а полунормы взвешиваются по
возведен в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением
Иногда необходимо добавить «лишние» степени веса, обозначаемые
Формулировка [ править ]
Формулировки в этом разделе взяты из текста Д. Гилбарга и Нила Трудингера ( 1983 ).
Смета интерьера [ править ]
Рассмотрим ограниченное решение в домене к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка
где исходный термин удовлетворяет . Если существует константа такой, что строго эллиптические,
- для всех
и все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой
Затем взвешенный норма u контролируется верхней границей u и нормой Гёльдера f :
Граничные оценки [ править ]
Позволять быть области (т. е. относительно любой точки на границе области граничная гиперповерхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как функция), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией что тоже как минимум . Тогда при соблюдении аналогичных условий на коэффициенты, как и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера u контролируется невзвешенными нормами исходного члена, граничными данными и супремум-нормой u :
Если решение u удовлетворяет принципу максимума , первый множитель в правой части можно отбросить.
Источники [ править ]
- Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7
- Шаудер, Юлиуш (1934), «О линейных эллиптических дифференциальных уравнениях второго порядка», Mathematical Journal (на немецком языке), vol. 38, № 1, Берлин, Германия: Springer-Verlag, стр. 257–282, номер документа : 10.1007/BF01170635 , S2CID 120461752 MR. 1545448
- Шаудер, Юлиуш (1937), «Численные оценки в эллиптических линейных дифференциальных уравнениях» (PDF) , Studia Mathematica (на немецком языке), vol. 5, Львов, Польша: Польская академия наук. Институт математики, стр. 34–42.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989), Методы математической физики , том. 2 (1-е изд. на английском языке), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
- Хан, Цин; Линь, Фанхуа (1997), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных , Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта , ISBN 0-9658703-0-8 , OCLC 38168365 МР 1669352