Многообразие Эйнштейна

В дифференциальной геометрии и математической физике многообразие Эйнштейна — это риманово или псевдориманово дифференцируемое многообразие которого , тензор Риччи пропорционален метрике . Они названы в честь Альберта Эйнштейна, потому что это условие эквивалентно утверждению, что метрика является решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна (с космологической постоянной ), хотя и размерность, и сигнатура метрики могут быть произвольными, поэтому не ограничиваются Лоренцевы многообразия (включая четырехмерные лоренцевы многообразия, обычно изучаемые в общей теории относительности ). Многообразия Эйнштейна в четырех евклидовых измерениях изучаются как гравитационные инстантоны .

Если M — основное n -мерное многообразие , а g — его метрический тензор , то условие Эйнштейна означает, что

$\mathrm {Ric} =kg$

для некоторой константы k обозначает тензор Риччи g , где Ric . Многообразия Эйнштейна с k = 0 называются Риччи-плоскими многообразиями .

Условие Эйнштейна и уравнение Эйнштейна

В локальных координатах условие того, что ( M , g ) является многообразием Эйнштейна, просто

$R_{ab}=kg_{ab}.$

Анализ обеих сторон показывает, что константа пропорциональности k для многообразий Эйнштейна связана со скалярной кривизной R соотношением

$R=nk,$

где n размерность M. —

В общей теории относительности уравнение Эйнштейна с космологической постоянной Λ имеет вид

$R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},$

где κ — гравитационная постоянная Эйнштейна . Тензор энергии-напряжения T _ab определяет содержание материи и энергии лежащего в основе пространства-времени. В вакууме (области пространства-времени, лишенной материи) T _ab = 0 , и уравнение Эйнштейна можно переписать в виде (предполагая, что n > 2 ):

$R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}.$

Следовательно, вакуумные решения уравнения Эйнштейна представляют собой (лоренцевы) многообразия Эйнштейна с k , пропорциональным космологической постоянной.

Примеры

Простые примеры многообразий Эйнштейна включают:

• Все двумерные многообразия тривиально являются многообразиями Эйнштейна. Это результат того, что тензор Римана имеет одну степень свободы.
• Любое многообразие с постоянной секционной кривизной является многообразием Эйнштейна, в частности:
  • Евклидово пространство , которое является плоским, является простым примером Риччи-плоскости, следовательно, метрики Эйнштейна.
  • сфера n - , $S^{n}$, с круглой метрикой – это Эйнштейн с $k=n-1$.
  • Гиперболическое пространство с канонической метрикой — это пространство Эйнштейна с $k=-(n-1)$.
• Комплексное проективное пространство , $\mathbf {CP} ^{n}$, с метрикой Фубини–Студи , имеют $k=n+1.$
• Многообразия Калаби–Яу допускают метрику Эйнштейна, которая также является кэлеровой , с константой Эйнштейна $k=0$. Такие показатели не уникальны, а скорее имеют семейство; в каждом кэлеровом классе существует метрика Калаби–Яу, и эта метрика также зависит от выбора комплексной структуры. Например, на K3 существует семейство таких метрик из 60 параметров , 57 параметров которого порождают метрики Эйнштейна, не связанные изометриями или масштабированием.
• Метрики Кэлера-Эйнштейна существуют на множестве компактных комплексных многообразий благодаря результатам существования Шинга-Тунга Яу и более позднему исследованию K-стабильности, особенно в случае многообразий Фано .
• Геометрия Эйнштейна -Вейля является обобщением многообразия Эйнштейна для связности Вейля конформного класса, а не связности Леви-Чивита метрики.

Необходимым условием того, чтобы ориентированные замкнутые 4 неравенства -многообразия были эйнштейновскими, является выполнение Хитчина-Торпа .

Приложения

Четырехмерные римановы многообразия Эйнштейна также важны в математической физике как гравитационные инстантоны в квантовых теориях гравитации . Термин «гравитационный инстантон» обычно используется только для 4-многообразий Эйнштейна, тензор Вейля которых самодуален, и обычно предполагается, что метрика асимптотична стандартной метрике евклидова 4-пространства (и, следовательно, полна, но не компактный ). В дифференциальной геометрии самодвойственные 4-многообразия Эйнштейна также известны как (4-мерные) гиперкэлеровы многообразия в случае Риччи-плоскости и кватернионные кэлеровы многообразия в противном случае.

Лоренцевы многообразия Эйнштейна многомерности используются в современных теориях гравитации, таких как теория струн , М-теория и супергравитация . Гиперкэлеровы и кватернионные кэлеровы многообразия (которые являются особыми видами многообразий Эйнштейна) также имеют приложения в физике в качестве целевых пространств для нелинейных σ-моделей с суперсимметрией .

Компактные многообразия Эйнштейна хорошо изучены в дифференциальной геометрии, и известно множество примеров, хотя их построение часто является сложной задачей. Компактные Риччи-плоские многообразия найти особенно трудно: в монографии на эту тему автора под псевдонимом Артура Бесса читателям предлагается обед в звездном ресторане в обмен на новый пример.

См. также

• Векторное расслоение Эйнштейна – Эрмитова

Примечания и ссылки

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Классика по математике. Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-74120-8 .