Соединение Вейля

В дифференциальной геометрии связность Вейля (также называемая структурой Вейля ) является обобщением связи Леви-Чивита , которая имеет смысл на конформном многообразии . Они были введены Германом Вейлем ( Weyl 1918 ) в попытке объединить общую теорию относительности и электромагнетизм. Его подход, хотя и не привел к успешной теории, привели к дальнейшему развитию теории конформной геометрии , включая подробное исследование Эли Картана ( Cartan 1943 ). Они также обсуждались у Эйзенхарта (1927) .

Конкретно, пусть $M$ быть гладким многообразием и $[g]$ конформный класс (невырожденных) метрических тензоров на $M$, где $h,g\in [g]$ если только $h=e^{2\gamma }g$ для некоторой гладкой функции $\gamma$ (см. Преобразование Вейля ). Связность Вейля — это аффинная связность без кручения на $M$ такой, что для любого $g\in [g]$, $$\nabla g=\alpha _{g}\otimes g$$где $\alpha _{g}$ является одной формой, зависящей от $g$.

Если $\nabla$ является связностью Вейля и $h=e^{2\gamma }g$, затем ${\textstyle \nabla h=(2\,d\gamma +\alpha _{g})\otimes h}$поэтому одна форма преобразуется ${\textstyle \alpha _{e^{2\gamma }g}=2\,d\gamma +\alpha _{g}.}$Таким образом, понятие связности Вейля конформно инвариантно, а изменение одной формы опосредовано коциклом де Рама .

Примером связности Вейля является связность Леви-Чивита для любой метрики конформного класса. $[g]$, с $\alpha _{g}=0$. Однако это не самый общий случай, поскольку любая такая связность Вейля обладает тем свойством, что одноформенная $\alpha _{h}$ закрыто для всех $h$ принадлежность к конформному классу. В общем, кривизна Риччи связности Вейля не симметрична. Его косая часть — это размерность, умноженная на две формы. $d\alpha _{g}$, который не зависит от $g$ в конформном классе, поскольку разница между двумя $\alpha _{g}$ является коциклом де Рама. Таким образом, по лемме Пуанкаре кривизна Риччи симметрична тогда и только тогда, когда связность Вейля локально является связностью Леви-Чивита некоторого элемента конформного класса.

Первоначальной надеждой Вейля было то, что форма $\alpha _{g}$ может представлять векторный потенциал электромагнетизма (величина, зависящая от калибра), и $d\alpha _{g}$ напряженность поля (калибровочная инвариантная величина). Этот синтез не удался отчасти потому, что калибровочная группа неверна: электромагнетизм связан с $U(1)$ калибровочное поле, а не $\mathbb {R}$ калибровочное поле.

Hall (1993) показал, что аффинная связь является связью Вейля тогда и только тогда, когда ее группа голономии является подгруппой конформной группы . Возможные алгебры голономии в лоренцевой сигнатуре были проанализированы в Дикарёве (2021) .

Многообразие Вейля — это многообразие, допускающее глобальную связность Вейля. Глобальный анализ многообразий Вейля активно изучается. Например, Mason & LeBrun (2008) рассмотрел полные многообразия Вейля, такие, что выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна , геометрию Эйнштейна-Вейля , получив полную характеристику в трех измерениях.

Связи Вейля также имеют современные приложения в теории струн и голографии .

Связности Вейля были обобщены на параболические геометрии , частным случаем которых является конформная геометрия, в работе Чапа и Словака (2003) .

Ссылки

• Бергманн, Питер (1942), Введение в теорию относительности , Прентис-Холл .
• Чап, Андреас; Словак, Ян (2003), «Структуры Вейля для параболической геометрии», Mathematica Scandinavica , 93 (1): 53–90, arXiv : math/0001166 , doi : 10.7146/math.scand.a-14413 , JSTOR   24492421 .
• Картан, Эли (1943), «Об одном классе пространств Вейля», Annales scientifique de l'École Normale Supérieure , 60 (3): 1–16, doi : 10.24033/asens.901 .
• Чамбелли, Лука; Ли, Роберт (2020), «Соединения Вейля и их роль в голографии», Physical Review D , 101 (8): 086020, arXiv : 1905.04339 , doi : 10.1103/PhysRevD.101.086020 , S2CID   152282710
• Дикарев, А. (2021), «О голономии связностей Вейля в лоренцевой сигнатуре», Дифференциальная геометрия и ее приложения , 76 (101759), arXiv : 2005.08166 , doi : 10.1016/j.difgeo.2021.101759 , S2CID   218673884 .
• Эйзенхарт, Лютер (1927), Нериманова геометрия , AMS .
• Фолланд, Джеральд (1970), «Многообразия Вейля», Журнал дифференциальной геометрии , 4 (2): 145–153, doi : 10.4310/jdg/1214429379 .
• Холл, Г. (1992), «Многообразия Вейля и связи», Журнал математической физики , 33 (7): 2633, doi : 10.1063/1.529582 .
• Хига, Тацуо (1993), «Многообразия Вейля и многообразия Эйнштейна – Вейля», Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 42 (2): 143–160 .
• Цзя, В; Каридас, М. (2021), «Тензоры препятствий в геометрии Вейля и голографическая аномалия Вейля» , Physical Review D , 104 (126031): 126031, arXiv : 2109.14014 , doi : 10.1103/PhysRevD.104.126031 , S2CID   238215 186
• Лебрен, Клод ; Мейсон, Лайонел Дж. (2009), «Уравнения Эйнштейна-Вейля, карты рассеяния и голоморфные диски», Mathematical Research Letters , 16 (2): 291–301, arXiv : 0806.3761 , doi : 10.4310/MRL.2009.v16 .n2.a7 .
• Вейль, Герман (1918), «Чистая бесконечно малая геометрия» , Mathematical Journal , 2 (3–4): 384–411, doi : 10.1007/BF01199420 , S2CID   186232500 .

Дальнейшее чтение

• Мацузоэ, Хироши (2001), «Геометрия полу-многообразий Вейля и многообразий Вейля», Kyushu Journal of Mathematics , 55 : 107–117, doi : 10.2206/kyushujm.55.107 .
• Педерсен, Х.; Тод, КП (1993), «Трехмерная геометрия Эйнштейна – Вейля», «Достижения в области математики» , 97 (1): 74–109, doi : 10.1006/aima.1993.1002 .
• Хирика, Юлия; Николеску, Ливиу (2004), «О структурах Вейля», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 53 (3): 390–400, doi : 10.1007/BF02875731 , S2CID   123385518 .
• Хименес, Хосе; Койвисто, Томи (2014), «Расширенная гравитация Гаусса – Бонне в геометрии Вейля», Классическая и квантовая гравитация , 31 (13): 135002, arXiv : 1402.1846 , doi : 10.1088/0264-9381/31/13/135002 , S2CID   118424 219 .
• Чап, Андреас; Меттлер, Томас (2023), «Геометрическая теория структур Вейля», Communications in Contemporary Mathematics , 25 (7): 2250026, arXiv : 1908.10325 , doi : 10.1142/S0219199722500262 , S2CID   201646408 .
• Меттлер, Томас; Патернэн, Габриэль (2020), «Выпуклые проективные поверхности с совместимой связностью Вейля гиперболичны», Analysis & PDE , 13 (4): 1073–1097, arXiv : 1804.04616 , doi : 10.2140/apde.2020.13.1073 , S2CID   119657577 .
• Александров Б; Иванов, С. (2003), «Структуры Вейля с положительным тензором Риччи», Дифференциальная геометрия и ее приложения , 18 (3): 343–350, arXiv : math/9902033 , doi : 10.1016/S0926-2245(03)00010-X , S2CID   119624508 .
• Флорин Белгун; Андрей Морояну (2011), «Параллельные формы Вейля, конформные произведения и многообразия Эйнштейна – Вейля», Asian Journal of Mathematics , 15 (4): 499–520, arXiv : 0901.3647 , doi : 10.4310/AJM.2011.v15. n4.a1 , S2CID   55210918 .

См. также

• Геометрия Эйнштейна – Вейля

Внешние ссылки

• Связность Вейля , Энциклопедия математики