Неравенство Хитчина – Торпа

В дифференциальной геометрии неравенство Хитчина -Торпа — это соотношение, которое ограничивает топологию 4-многообразий , несущих метрику Эйнштейна .

Утверждение неравенства Хитчина – Торпа.

Пусть M — замкнутое ориентированное четырехмерное гладкое многообразие . Если существует риманова метрика на M , которая является метрикой Эйнштейна , то

\chi (M)\geq {\frac {3}{2}}|\tau (M)|,

где $χ(M)$ — характеристика M $,$ а $τ(M)$ — сигнатура M $эйлерова$ .

Это неравенство было впервые сформулировано Джоном Торпом в сноске к статье 1969 года, посвященной многообразиям более высокой размерности. ^{[ 1 ]} Затем Найджел Хитчин заново открыл неравенство и дал полную характеристику случая равенства в 1974 году; ^{[ 2 ]} он обнаружил, что если $(M, g)$ — многообразие Эйнштейна, для которого получено равенство в неравенстве Хитчина-Торпа, то Риччи кривизна $g$ равна нулю; если секционная кривизна не равна тождественно нулю, то $(M, g)$ — многообразие Калаби–Яу которого , универсальным накрытием является поверхность K3 .

Уже в 1961 году Марсель Бергер показал, что эйлерова характеристика всегда неотрицательна. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Доказательство

Пусть $(M, g)$ — четырехмерное гладкое риманово многообразие , являющееся Эйнштейном. Для любой точки $p$ из $M$ существует $g p$ -ортонормированный базис $e 1, e 2, e 3, e 4$ касательного пространства $T p M$ такой, что оператор кривизны $Rm p$ , который является симметричным линейным отображением $\land 2 T p M$ в себя имеет матрицу

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0&\mu _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0&0&\mu _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}&0&0&\mu _{3}\\\mu _{1}&0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&\mu _{2}&0&0&\lambda _{2}&0\\0&0&\mu _{3}&0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}

относительно базиса $е 1 \land е 2, е 1 \land е 3, е 1 \land е 4, е 3 \land е 4, е 4 \land е 2, е 2 \land е 3$ . Имеем, что $1 + µ 2 + µ 3$ равно нулю и что $λ 1 + λ 2 + λ 3$ составляет одну четвертую скалярной кривизны g $µ$ в точке $p$ . Кроме того, при условиях $λ 1 \leq λ 2 \leq λ 3$ и $µ 1 \leq µ 2 \leq µ 3$ каждая из этих шести функций определена однозначно и определяет непрерывную вещественную функцию на $M$ .

Согласно теории Черна-Вейля , если $M$ ориентировано, то эйлерова характеристика и сигнатура $M$ могут быть вычислены по формуле

{\begin{aligned}\chi (M)&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{M}{\big (}\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2}{\big )}\,d\mu _{g}\\\tau (M)&={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\int _{M}{\big (}\lambda _{1}\mu _{1}+\lambda _{2}\mu _{2}+\lambda _{3}\mu _{3}{\big )}\,d\mu _{g}.\end{aligned}}

Вооружившись этими инструментами, неравенство Хитчина-Торпа сводится к элементарному наблюдению.

\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\mu _{1}^{2}+\mu _{2}^{2}+\mu _{3}^{2}=\underbrace {(\lambda _{1}-\mu _{1})^{2}+(\lambda _{2}-\mu _{2})^{2}+(\lambda _{3}-\mu _{3})^{2}} _{\geq 0}+2{\big (}\lambda _{1}\mu _{1}+\lambda _{2}\mu _{2}+\lambda _{3}\mu _{3}{\big )}.

Неудача обратного

Естественный вопрос, который возникает, заключается в том, обеспечивает ли неравенство Хитчина–Торпа достаточное условие существования метрик Эйнштейна. В 1995 году Клод Лебрен и Андреа Самбусетти независимо показал, что ответ отрицательный: существует бесконечно много негомеоморфных компактных, гладких, ориентированных 4-многообразий $M$ , которые не несут никаких метрик Эйнштейна, но, тем не менее, удовлетворяют

\chi (M)>{\frac {3}{2}}|\tau (M)|.

Примеры ЛеБрена на самом деле просто связны, и соответствующее препятствие зависит от гладкой структуры многообразия. ^{[ 5 ]} Напротив, препятствие Самбусетти применимо только к 4-многообразиям с бесконечной фундаментальной группой, но оценка объемной энтропии, которую он использует для доказательства несуществования, зависит только от гомотопического типа многообразия. ^{[ 6 ]}

Сноски

^ Торп, Дж. (1969). «Некоторые замечания по формуле Гаусса-Бонне». Дж. Математика. Мех . 18 (8): 779–786. JSTOR 24893137 .
^ Хитчин, Н. (1974). «Компактные четырехмерные многообразия Эйнштейна» . Дж. Диф. Геом . 9 (3): 435–442. дои : 10.4310/jdg/1214432419 .
^ Бергер, Марсель (1961). «О некоторых компактных многообразиях Эйнштейна» . Анналы чистой и прикладной математики (на французском языке). 53 (1): 89–95. дои : 10.1007/BF02417787 . ISSN 0373-3114 . S2CID 117985766 .
^ Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Классика по математике. Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-74120-8 .
^ ЛеБрун, К. (1996). «Четыре многообразия без метрики Эйнштейна» . Математика. Рез. Летт . 3 (2): 133–147. дои : 10.4310/MRL.1996.v3.n2.a1 .
^ Самбусетти, А. (1996). «Препятствие существованию метрик Эйнштейна на 4-многообразиях». ЧР акад. наук. Париж . 322 (12): 1213–1218. ISSN 0764-4442 .

Ссылки

Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Классика по математике. Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-74120-8 .

[1] Торп, Дж. (1969). «Некоторые замечания по формуле Гаусса-Бонне». Дж. Математика. Мех . 18 (8): 779–786. JSTOR 24893137 .

[2] Хитчин, Н. (1974). «Компактные четырехмерные многообразия Эйнштейна» . Дж. Диф. Геом . 9 (3): 435–442. дои : 10.4310/jdg/1214432419 .

[3] Бергер, Марсель (1961). «О некоторых компактных многообразиях Эйнштейна» . Анналы чистой и прикладной математики (на французском языке). 53 (1): 89–95. дои : 10.1007/BF02417787 . ISSN 0373-3114 . S2CID 117985766 .

[4] Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Классика по математике. Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-74120-8 .

[5] ЛеБрун, К. (1996). «Четыре многообразия без метрики Эйнштейна» . Математика. Рез. Летт . 3 (2): 133–147. дои : 10.4310/MRL.1996.v3.n2.a1 .

[6] Самбусетти, А. (1996). «Препятствие существованию метрик Эйнштейна на 4-многообразиях». ЧР акад. наук. Париж . 322 (12): 1213–1218. ISSN 0764-4442 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]