Гравитационный инстантон

В математической физике и дифференциальной геометрии гравитационный инстантон — это четырёхмерное полное риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна . Они названы так потому, что являются аналогами квантовых теориях гравитации в инстантонов в теории Янга–Миллса . В соответствии с этой аналогией с самодуальными инстантонами Янга – Миллса обычно предполагается, что гравитационные инстантоны выглядят как четырехмерное евклидово пространство на больших расстояниях и имеют самодуальный тензор Римана . Математически это означает, что они являются асимптотически локально евклидовыми (или, возможно, асимптотически локально плоскими) гиперкелеровыми 4-многообразиями , и в этом смысле они являются частными примерами эйнштейновых многообразий . С физической точки зрения гравитационный инстантон представляет собой неособое решение вакуумных уравнений Эйнштейна с положительно определенной , в отличие от лоренцевой , метрикой.

Существует множество возможных обобщений исходной концепции гравитационного инстантона: например, можно позволить гравитационным инстантонам иметь ненулевую космологическую постоянную или тензор Римана, который не является самодуальным. Можно также ослабить граничное условие, согласно которому метрика асимптотически евклидова.

Существует множество методов построения гравитационных инстантонов, включая анзац Гиббонса-Хокинга , твисторную теорию и фактора гиперкэлера конструкцию .

Введение

Гравитационные инстантоны интересны, поскольку они позволяют лучше понять квантование гравитации. Например, необходимы положительно определенные асимптотически локально евклидовы метрики, поскольку они подчиняются гипотезе о положительном действии; действия, которые не ограничены снизу, создают расхождение в квантовом интеграле по путям .

• Четырехмерное Риччи-плоское кэлерово многообразие имеет антиавтодуальный тензор Римана относительно комплексной ориентации.
• Следовательно, односвязный антиавтодуальный гравитационный инстантон представляет собой четырехмерное полное гиперкелерово многообразие .
• Гравитационные инстантоны аналогичны самодуальным инстантонам Янга – Миллса .

В структуре тензора кривизны Римана можно сделать несколько различий , касающихся плоскостности и самодуальности. К ним относятся:

• Эйнштейн (ненулевая космологическая постоянная)
• Плоскость Риччи (исчезающий тензор Риччи)
• Конформная плоскостность (исчезающий тензор Вейля)
• Самодвойственность
• Анти-самодвойственность
• Конформно самодвойственный
• Конформно антисамодуальный

Таксономия

Задавая «граничные условия», т.е. асимптотику метрики «на бесконечности» на некомпактном римановом многообразии, гравитационные инстантоны делятся на несколько классов, таких как асимптотически локально евклидовы пространства (пространства ALE), асимптотически локально плоские пространства (ALF пространства).

Их можно дополнительно охарактеризовать тем, является ли тензор Римана самодвойственным, является ли тензор Вейля самодвойственным или ни тем, ни другим; являются ли они кэлеровыми многообразиями или нет ; и различные характеристические классы , такие как характеристика Эйлера , сигнатура Хирцебруха ( класс Понтрягина ), индекс Рариты-Швингера (индекс спина-3/2) или вообще класс Черна . Способность поддерживать спиновую структуру ( т.е. обеспечивать согласованность спиноров Дирака ) является еще одной привлекательной особенностью.

Список примеров

Эгучи и др. перечислите ряд примеров гравитационных инстантонов. К ним относятся, среди прочего:

• Плоское пространство $\mathbb {R} ^{4}$, тор $\mathbb {T} ^{4}$ и евклидово пространство де Ситтера $\mathbb {S} ^{4}$, т.е. стандартная метрика на 4-сфере .
• Продукт сфер $S^{2}\times S^{2}$.
• Метрика Шварцшильда $\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}$ и метрика Керра $\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}$.
• Инстантон Эгучи – Хэнсона $T^{*}\mathbb {CP} (1)$, приведенный ниже.
• Решение Тауба – NUT , приведенное ниже.
• Метрика Фубини –Студи на комплексной проективной плоскости. $\mathbb {CP} (2).$ Обратите внимание, что комплексная проективная плоскость не поддерживает четко определенные спиноры Дирака . То есть это не спиновая структура . Однако ему можно придать спиновую структуру.
• Пространство страниц — вращающаяся компактная метрика в прямой сумме двух комплексных проективных плоскостей. $\mathbb {CP} (2)\oplus {\overline {\mathbb {CP} }}(2)$.
• Многоцентровые метрики Гиббонса – Хокинга приведены ниже.
• Метрика Тауба -болта $\mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}$ и вращающаяся метрика Тауба-болта. Метрики «болт» имеют координатную особенность цилиндрического типа в начале координат по сравнению с метриками «гайка», имеющими особенность сферической координаты. В обоих случаях сингулярность координат можно устранить, перейдя к евклидовым координатам в начале координат.
• Поверхности К3 .
• Асимптотически локально евклидовы самодуальные многообразия, включая линзовые пространства $L(k+1,1)$, двойные накрытия диэдрических групп , тетраэдрической группы , октаэдрической группы и икосаэдрической группы . Обратите внимание, что $L(2,1)$ соответствует инстантону Эгучи–Хэнсона, а для более k высоких $L(2,1)$ соответствует многоцентровой метрике Гиббонса – Хокинга.

Это неполный список; есть и другие.

Примеры

Ниже будет удобно записать гравитационные инстантонные решения, используя левоинвариантные 1-формы на трехсфере S ³ (рассматривается как группа Sp(1) или SU(2)). Их можно определить через углы Эйлера следующим образом:

${\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&=\cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{aligned}}$

Обратите внимание, что $d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0$ для $i,j,k=1,2,3$ циклический.

Метрика Тауба – NUT

Основная статья: пространство Тауба – NUT

$ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})$

Метрика Эгучи – Хэнсона

Пространство Эгучи–Хэнсона определяется метрикой кокасательное расслоение 2-сферы. $T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}$. Эта метрика

$ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).$

где $r\geq a^{1/4}$. Эта метрика гладкая всюду, если она не имеет конической особенности в точке $r\rightarrow a^{1/4}$, $\theta =0,\pi$. Для $a=0$ это произойдет, если $\psi$ имеет период $4\pi$, что дает плоскую метрику на R ⁴ ; Однако для $a\neq 0$ это произойдет, если $\psi$ имеет период $2\pi$.

Асимптотически (т.е. в пределе $r\rightarrow \infty$) метрика выглядит так

$ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})$

которая наивно кажется плоской метрикой на R ⁴ . Однако для $a\neq 0$, $\psi$ как мы видели, имеет лишь половину обычной периодичности. Таким образом, метрика асимптотически равна R ⁴ с идентификацией $\psi \,{\sim }\,\psi +2\pi$, которая является Z ₂ подгруппой группы SO(4) , группой вращения R ⁴ . Поэтому говорят, что метрика асимптотически Р ⁴ / З ₂ .

Происходит переход в другую систему координат , в которой метрика имеет вид

$ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,$

где $\nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$

(Для а = 0, $V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}$, а новые координаты определяются следующим образом: сначала определяется $\rho =r^{2}/4$ а затем параметризует $\rho$, $\theta$ и $\phi$ по Р ³ координаты $\mathbf {x}$, то есть $\mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )$).

В новых координатах $\psi$ имеет обычную периодичность $\psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .$

Можно заменить V на

$\quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$

Для некоторых n точек $\mathbf {x} _{i}$, я знак равно 1, 2..., п . Это дает многоцентровый гравитационный инстантон Эгучи – Хэнсона, который снова везде гладкий, если угловые координаты имеют обычные периодичности (во избежание конических особенностей ). Асимптотический предел ( $r\rightarrow \infty$) эквивалентно взятию всех $\mathbf {x} _{i}$ до нуля и изменив координаты обратно на r, $\theta$ и $\phi$и переопределение $r\rightarrow r/{\sqrt {n}}$, мы получаем асимптотическую метрику

$ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].$

это Р ⁴ / Z _н = С ² / Z _n , потому что это R ⁴ с угловой координатой $\psi$ заменен на $\psi /n$, который имеет неправильную периодичность ( $4\pi /n$ вместо $4\pi$). Другими словами, это Р. ⁴ определены под $\psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n$, или, что то же самое, C ² идентифицирован под z _i ~ $e^{2\pi ik/n}$ z _i для i = 1, 2.

В заключение следует отметить, что многоцентровая геометрия Эгучи – Хансона представляет собой плоскую геометрию Кэлера Риччи, которая асимптотически является C ² / З _н . Согласно теореме Яу, это единственная геометрия, удовлетворяющая этим свойствам. Следовательно, это также геометрия C ² / Z _n орбифолд в теории струн после того, как его коническая особенность была сглажена его «раздутием» (т. е. деформацией).

Многоцентровые метрики Гиббонса – Хокинга

Многоцентровые метрики Гиббонса – Хокинга имеют вид

$ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,$

где

$\nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$

Здесь, $\epsilon =1$ соответствует мульти-Таубу–НУТ, $\epsilon =0$ и $k=1$ представляет собой плоское пространство, а $\epsilon =0$ и $k=2$ – решение Эгучи–Хэнсона (в разных координатах).

FLRW-метрики как гравитационные инстантоны

В 2021 году было обнаружено что если рассматривать параметр кривизны расслоенного максимально симметричного пространства как непрерывную функцию, гравитационное действие как сумма действия Эйнштейна-Гильберта и граничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка становится действием точечной частицы. Тогда траектория является масштабным фактором , а параметр кривизны рассматривается как потенциал. Для таких ограниченных решений общая теория относительности принимает форму топологической теории Янга – Миллса .

См. также

• Гравитационная аномалия
• Гиперкэлерово многообразие

Ссылки

• Гиббонс, ГВ; Хокинг, Юго-Запад (октябрь 1978 г.). «Гравитационные мультиинстантоны». Буквы по физике Б. 78 (4): 430–432. Бибкод : 1978PhLB...78..430G . дои : 10.1016/0370-2693(78)90478-1 .
• Гиббонс, ГВ; Хокинг, Юго-Запад (октябрь 1979 г.). «Классификация гравитационных инстантонных симметрий» . Связь в математической физике . 66 (3): 291–310. Бибкод : 1979CMaPh..66..291G . дои : 10.1007/BF01197189 . S2CID   123183399 .
• Эгучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж. (апрель 1978 г.). «Асимптотически плоские самодвойственные решения евклидовой гравитации» . Буквы по физике Б. 74 (3): 249–251. Бибкод : 1978PhLB...74..249E . дои : 10.1016/0370-2693(78)90566-X . ОСТИ   1446816 . S2CID   16380482 .
• Эгучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж (июль 1979 г.). «Самодвойственные решения евклидовой гравитации» . Анналы физики . 120 (1): 82–106. Бибкод : 1979АнФиз.120...82Э . дои : 10.1016/0003-4916(79)90282-3 . ОСТИ   1447072 . S2CID   48866858 .
• Эгучи, Тору; Хэнсон, Эндрю Дж. (декабрь 1979 г.). «Гравитационные инстантоны». Общая теория относительности и гравитация . 11 (5): 315–320. Бибкод : 1979GReGr..11..315E . дои : 10.1007/BF00759271 . S2CID   123806150 .
• Кронхаймер, П.Б. (1989). «Построение пространств ALE как гиперкэлеровых факторов» . Журнал дифференциальной геометрии . 29 (3): 665–683. дои : 10.4310/jdg/1214443066 .