Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка

В общей теории относительности — граничный член Гиббонса-Хокинга-Йорка это термин, который необходимо добавить к действию Эйнштейна-Гильберта , когда базовое пространственно-временное многообразие имеет границу.

Действие Эйнштейна-Гильберта является основой самого элементарного вариационного принципа, на основе которого уравнения поля общей теории относительности могут быть определены . Однако использование действия Эйнштейна–Гильберта уместно только тогда, когда основное пространственно-временное многообразие ${\mathcal {M}}$ является замкнутым , т. е. многообразием, одновременно компактным и не имеющим края. В случае, если многообразие имеет границу $\partial {\mathcal {M}}$, действие следует дополнить граничным членом, чтобы вариационный принцип был четко определен.

Необходимость такого граничного термина была впервые осознана Джеймсом У. Йорком , а затем немного уточнена Гэри Гиббонсом и Стивеном Хокингом .

Для незамкнутого многообразия подходящим действием является

${\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }+{\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K,$

где ${\mathcal {S}}_{\mathrm {EH} }$ – действие Эйнштейна–Гильберта, ${\mathcal {S}}_{\mathrm {GHY} }$ – граничный член Гиббонса–Хокинга–Йорка, $h_{ab}$ – индуцированная метрика (см. определения ниже) на границе, $h$ его определитель, $K$ является следом второй фундаментальной формы , $\epsilon$ равно $+1$ где нормально $\partial {\mathcal {M}}$ пространственноподобен и $-1$ где нормально $\partial {\mathcal {M}}$ является времениподобным, и $y^{a}$ — координаты на границе. Варьирование действия по метрике $g_{\alpha \beta }$, при условии

$\delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,$

дает уравнения Эйнштейна ; добавление граничного члена означает, что при выполнении вариации геометрия границы, закодированная в поперечной метрике $h_{ab}$ фиксировано (см. раздел ниже). Сохраняется неоднозначность действия с точностью до произвольного функционала от индуцированной метрики $h_{ab}$.

Граничный член необходим в гравитационном случае потому, что $R$, гравитационная плотность Лагранжа, содержит вторые производные метрического тензора. Это нетипичная особенность теорий поля, которые обычно формулируются в терминах лагранжианов, в которых варьируются только первые производные полей.

Термин GHY является желательным, поскольку он обладает рядом других ключевых особенностей. При переходе к гамильтонову формализму необходимо включить член GHY, чтобы воспроизвести правильную энергию Арновитта-Дезера-Миснера ( энергию ADM ). Этот термин необходим для того, чтобы интеграл по траекториям (а-ля Хокинг) для квантовой гравитации имел правильные свойства состава. При расчете энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода весь вклад вносится термином GHY. Этот термин нашел более позднее применение в петлевой квантовой гравитации при вычислении амплитуд перехода и амплитуд независимого от фона рассеяния.

Чтобы определить конечное значение действия, возможно, придется вычесть поверхностный член для плоского пространства-времени:

$S_{EH}+S_{GHY,0}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}R+{\frac {1}{8\pi }}\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K-{1 \over 8\pi }\int _{\partial {\mathcal {M}}}\mathrm {d} ^{3}y\,\epsilon {\sqrt {h}}K_{0},$

где $K_{0}$ — внешняя кривизна границы вложенного плоского пространства-времени. Как ${\sqrt {h}}$ инвариантен относительно изменений $g_{\alpha \beta }$, этот дополнительный член не влияет на уравнения поля; как таковой, это называется нединамическим термином.

Введение в гиперповерхности

Определение гиперповерхностей

В четырехмерном пространственно-временном многообразии гиперповерхность — это трехмерное подмногообразие , которое может быть времениподобным, пространственноподобным или нулевым.

Особая гиперповерхность $\Sigma$ можно выбрать либо путем наложения ограничения на координаты

$f(x^{\alpha })=0,$

или задав параметрические уравнения,

$x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a}),$

где $y^{a}(a=1,2,3)$ являются координатами, присущими гиперповерхности.

Например, двухсферу в трехмерном евклидовом пространстве можно описать либо формулой

$f(x^{\alpha })=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,$

где $r$ - радиус сферы, или

$x=r\sin \theta \cos \phi ,\quad y=r\sin \theta \sin \phi ,\quad z=r\cos \theta ,$

где $\theta$ и $\phi$ являются внутренними координатами.

Ортогональные векторные поля гиперповерхности

Мы принимаем метрическое соглашение (-,+,...,+). Начнем с семейства гиперповерхностей, заданного формулой

$f(x^{\alpha })=C$

где разные члены семейства соответствуют разным значениям константы $C$. Рассмотрим две соседние точки $P$ и $Q$ с координатами $x^{\alpha }$ и $x^{\alpha }+dx^{\alpha }$соответственно, лежащие в той же гиперповерхности. Тогда нам придется сначала заказать

$C=f(x^{\alpha }+dx^{\alpha })=f(x^{\alpha })+{\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }.$

Вычитание $C=f(x^{\alpha })$ из этого уравнения дает

${\partial f \over \partial x^{\alpha }}dx^{\alpha }=0$

в $P$. Это подразумевает, что $f_{,\alpha }$ нормальна к гиперповерхности. Единица нормальная $n_{\alpha }$ можно ввести в случае, когда гиперповерхность не равна нулю. Это определяется

$n^{\alpha }n_{\alpha }\equiv \epsilon ={\begin{cases}-1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is spacelike}}\\+1&{\text{if }}\Sigma {\text{ is timelike}}\end{cases}}$

и мы требуем этого $n^{\alpha }$ указать в сторону увеличения $f:n^{\alpha }f_{,\alpha }>0$. Тогда можно легко проверить, что $n_{\alpha }$ дается

$n_{\alpha }={\epsilon {\,}f_{,\alpha } \over (\epsilon {\,}g^{\alpha \beta }f_{,\alpha }f_{,\beta })^{1 \over 2}}$

если гиперповерхность пространственноподобна или времениподобна.

Индуцированная и поперечная метрика

Три вектора

$e_{a}^{\alpha }=\left({\partial x^{\alpha } \over \partial y^{a}}\right)_{\partial {\mathcal {M}}}\quad a=1,2,3$

касательны к гиперповерхности.

Индуцированная метрика представляет собой трехтензор $h_{ab}$ определяется

$h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.$

Это действует как метрический тензор на гиперповерхности в $y^{a}$ координаты. Для перемещений, ограниченных гиперповерхностью (так что $x^{\alpha }=x^{\alpha }(y^{a})$)

${\begin{aligned}ds^{2}&=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\\&=g_{\alpha \beta }\left({\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial y^{a}}}dy^{a}\right)\left({\frac {\partial x^{\beta }}{\partial y^{b}}}dy^{b}\right)\\&=\left(g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\right)dy^{a}dy^{b}\\&=h_{ab}dy^{a}dy^{b}\end{aligned}}$

Поскольку три вектора $e_{1}^{\alpha },e_{2}^{\alpha },e_{3}^{\alpha }$ касательны к гиперповерхности,

$n_{\alpha }e_{a}^{\alpha }=0$

где $n_{\alpha }$ — единичный вектор ( $n_{\alpha }n^{\alpha }=\pm 1$) нормально к гиперповерхности.

Введем так называемую поперечную метрику

$h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\epsilon n_{\alpha }n_{\beta }.$

Он изолирует часть метрики, поперечную нормали. $n^{\alpha }$.

Легко видеть, что этот четырехтензорный

${h^{\alpha }}_{\beta }={\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta }$

проецирует часть четырехвекторной поперечной нормали $n^{\alpha }$ как

${h^{\alpha }}_{\beta }n^{\beta }=({\delta ^{\alpha }}_{\beta }-\epsilon n^{\alpha }n_{\beta })n^{\beta }=(n^{\alpha }-\epsilon ^{2}n^{\alpha })=0\quad {\text{and }}\;\mathrm {if} \quad w^{\alpha }n_{\alpha }=0\quad \mathrm {then} \quad {h^{\alpha }}_{\beta }w^{\beta }=w^{\alpha }.$

У нас есть

$h_{ab}=h_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }.$

Если мы определим $h^{ab}$ быть обратным $h_{ab}$, это легко проверить

$h^{\alpha \beta }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$

где

$h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }.$

Заметим, что изменение зависит от условия

$\delta g_{\alpha \beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=0,$

подразумевает, что $h_{ab}=g_{\alpha \beta }e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }$, индуцированная метрика на $\partial {\mathcal {M}}$, остается фиксированным во время изменения. См. также для разъяснений по $\delta h_{\alpha \beta }$ и $\delta n_{\alpha }$ и т. д.

О доказательстве основного результата

В следующих подразделах мы сначала вычислим изменение члена Эйнштейна–Гильберта, а затем изменение граничного члена и покажем, что их сумма приводит к

$\delta S_{TOTAL}=\delta S_{EH}+\delta S_{GHY}={\frac {1}{16\pi }}\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x$

где $G_{\alpha \beta }=R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R$ - это тензор Эйнштейна , который дает правильную левую часть уравнений поля Эйнштейна , без космологического члена , который, однако, тривиально включить, заменив $S_{EH}$ с

${1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}(R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x$

где $\Lambda$ — космологическая постоянная .

В третьем подразделе мы уточняем значение нединамического термина.

Вариант термина Эйнштейна – Гильберта

Мы будем использовать личность

$\delta {\sqrt {-g}}\equiv -{1 \over 2}{\sqrt {-g}}g_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta },$

и личность Палатини :

$\delta R_{\alpha \beta }\equiv \nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu })-\nabla _{\beta }(\delta \Gamma _{\alpha \mu }^{\mu }),$

оба они получены в статье Действие Эйнштейна – Гильберта .

Рассмотрим вариацию члена Эйнштейна–Гильберта:

${\begin{aligned}(16\pi )\delta S_{EH}&=\int _{\mathcal {M}}\delta \left(g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\delta g^{\alpha \beta }+g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\delta {\sqrt {-g}}+{\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }\right)d^{4}x\\&=\int _{\mathcal {M}}\left(R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x+\int _{\mathcal {M}}g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.\end{aligned}}$

Первый член дает нам то, что нам нужно для левой части уравнений поля Эйнштейна. Мы должны учитывать второй член.

По тождеству Палатини

$g^{\alpha \beta }\delta R_{\alpha \beta }=\delta {V^{\mu }}_{;\mu },\qquad \delta V^{\mu }=g^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }.$

Нам понадобится теорема Стокса в виде:

${\begin{aligned}\int _{\mathcal {M}}{A^{\mu }}_{;\mu }{\sqrt {-g}}d^{4}x&=\int _{\mathcal {M}}({\sqrt {-g}}A^{\mu })_{,\mu }d^{4}x\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}A^{\mu }d\Sigma _{\mu }\\&=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon A^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {|h|}}d^{3}y\end{aligned}}$

где $n_{\mu }$ является ли единица нормальной для $\partial _{\mathcal {M}}$ и $\epsilon \equiv n^{\mu }n_{\mu }=\pm 1$, и $y^{a}$ являются координатами на границе. И $d\Sigma _{\mu }=\epsilon n_{\mu }d\Sigma$ где $d\Sigma =|h|^{1 \over 2}d^{3}y$ где $h=\det[h_{ab}]$, — инвариантный элемент трехмерного объема на гиперповерхности. В нашем конкретном случае мы берем $A^{\mu }=\delta V^{\mu }$.

Теперь мы оцениваем $\delta V^{\mu }n_{\mu }$ на границе $\partial {\mathcal {M}}$, имея в виду, что на $\partial {\mathcal {M}},\delta g_{\alpha \beta }=0=\delta g^{\alpha \beta }$. Учитывая это, мы имеем

$\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu }).$

Полезно отметить, что

${\begin{aligned}g^{\alpha \mu }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\beta }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&={1 \over 2}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })\\&={1 \over 2}g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \alpha ,\beta }+\delta g_{\alpha \beta ,\nu }-\delta g_{\nu \beta ,\alpha })\end{aligned}}$

где во второй строке мы поменялись местами $\alpha$ и $\nu$ и использовал, что метрика симметрична. тогда не сложно разобраться $\delta V^{\mu }=g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\nu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\nu })$.

Итак, теперь

${\begin{aligned}\delta V^{\mu }n_{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}&=n^{\mu }g^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta })(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\\&=n^{\mu }h^{\alpha \beta }(\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu })\end{aligned}}$

где во второй строке мы использовали тождество $g^{\alpha \beta }=\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }$, а в третьей строке мы использовали антисимметрию в $\alpha$ и $\mu$. Как $\delta g_{\alpha \beta }$ исчезает всюду на границе $\partial {\mathcal {M}},$ его тангенциальные производные также должны обращаться в нуль: $\delta g_{\alpha \beta ,\gamma }e_{c}^{\gamma }=0$. Отсюда следует, что $h^{\alpha \beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=h^{ab}e_{a}^{\alpha }e_{b}^{\beta }\delta g_{\mu \beta ,\alpha }=0$. Итак, наконец-то у нас есть

$n_{\mu }\delta V^{\mu }{\big |}_{\partial {\mathcal {M}}}=-h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }.$

Собрав результаты, мы получаем

$(16\pi )\delta S_{EH}=\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x-\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y\quad Eq1.$

Далее мы покажем, что указанный выше граничный член будет сокращен из-за изменения $S_{GHY}$.

Изменение граничного члена

Теперь обратимся к вариациям $S_{GHY}$ срок. Поскольку индуцированная метрика фиксирована на $\partial {\mathcal {M}},$ единственная величина, которую следует варьировать, это $K$ является следом внешней кривизны .

У нас есть

${\begin{aligned}K&={n^{\alpha }}_{;\alpha }\\&=g^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=\left(\epsilon n^{\alpha }n^{\beta }+h^{\alpha \beta }\right)n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }n_{\alpha ;\beta }\\&=h^{\alpha \beta }(n_{\alpha ,\beta }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma })\end{aligned}}$

где мы это использовали $0=(n^{\alpha }n_{\alpha })_{;\beta }$ подразумевает $n^{\alpha }n_{\alpha ;\beta }=0.$ Итак, вариация $K$ является

${\begin{aligned}\delta K&=-h^{\alpha \beta }\delta \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }n_{\gamma }\\&=-h^{\alpha \beta }n_{\gamma }{\frac {1}{2}}g^{\gamma \sigma }\left(\delta g_{\sigma \alpha ,\beta }+\delta g_{\sigma \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\sigma }\right)\\&=-{1 \over 2}h^{\alpha \beta }\left(\delta g_{\mu \alpha ,\beta }+\delta g_{\mu \beta ,\alpha }-\delta g_{\alpha \beta ,\mu }\right)n^{\mu }\\&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }\end{aligned}}$

где мы воспользовались тем фактом, что тангенциальные производные $\delta g_{\alpha \beta }$ исчезнуть $\partial {\mathcal {M}}.$ Мы получили

$(16\pi )\delta S_{GHY}=\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon h^{\alpha \beta }\delta g_{\alpha \beta ,\mu }n^{\mu }{\sqrt {h}}d^{3}y$

что отменяет второй интеграл в правой части уравнения. 1. Полная вариация гравитационного воздействия равна:

$\delta S_{TOTAL}={1 \over 16\pi }\int _{\mathcal {M}}G_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}d^{4}x.$

Это дает правильную левую часть уравнений Эйнштейна. Это доказывает основной результат.

Этот результат был обобщен на теории гравитации четвертого порядка на многообразиях с границами в 1983 году. и опубликовано в 1985 г.

Нединамический термин

Мы подробно остановимся на роли

$S_{0}={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K_{0}|h|^{1 \over 2}d^{3}y$

в гравитационном действии. Как уже говорилось выше, поскольку этот срок зависит только от $h_{ab}$, ее изменение относительно $g_{\alpha \beta }$ дает ноль и поэтому не влияет на уравнения поля, его цель - изменить числовое значение действия. Поэтому мы будем называть его нединамическим термином.

Предположим, что $g_{\alpha \beta }$ является решением уравнений вакуумного поля, и в этом случае скаляр Риччи $R$ исчезает. Тогда численное значение гравитационного воздействия равно

$S={1 \over 8\pi }\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y,$

где мы на данный момент игнорируем нединамический термин. Давайте оценим это для плоского пространства-времени. Выберите границу $\partial {\mathcal {M}}$ состоять из двух гиперповерхностей с постоянным значением времени $t=t_{1},t_{2}$ и большой трехцилиндровый двигатель $r=r_{0}$ (т. е. произведение конечного интервала и трехсферы радиуса $r_{0}$). У нас есть $K=0$ на гиперповерхностях постоянного времени. На трехцилиндрах в координатах, присущих гиперповерхности, линейный элемент равен

${\begin{aligned}ds^{2}&=-dt^{2}+r_{0}^{2}d\Omega ^{2}\\&=-dt^{2}+r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\end{aligned}}$

означает, что индуцированная метрика равна

$h_{ab}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&r_{0}^{2}&0\\0&0&r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

так что $|h|^{1 \over 2}=r_{0}^{2}\sin \theta$. Нормальная единица измерения $n_{\alpha }=\partial _{\alpha }r$, так $K={n^{\alpha }}_{;\alpha }=2/r_{0}$. Затем

$\oint _{\partial {\mathcal {M}}}\epsilon K|h|^{1 \over 2}d^{3}y=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \left({2 \over r_{0}}\right)(r_{0}^{2}\sin \theta )=8\pi r_{0}(t_{2}-t_{1})$

и расходится как $r_{0}\to \infty$, то есть когда пространственная граница отодвинута до бесконечности, даже если ${\mathcal {M}}$ ограничено двумя гиперповерхностями постоянного времени. Можно было бы ожидать, что та же проблема возникнет и в искривленном пространстве-времени, которое асимптотически плоское (проблемы нет, если пространство-время компактно). Эту проблему решает нединамический член. Разница $S_{GHY}-S_{0}$ будет четко определен в пределе $r_{0}\to \infty$.

Изменение терминов модифицированной гравитации

Основная статья: Альтернативы общей теории относительности

Существует множество теорий, которые пытаются модифицировать общую теорию относительности разными способами, например, гравитация f(R) заменяет R, скаляр Риччи в действии Эйнштейна-Гильберта, на функцию f(R). Гуарнизо и др. нашел граничный член общей теории f(R). Они обнаружили, что «модифицированное действие в метрическом формализме гравитации f (R) плюс граничный член, подобный Гиббонсу – Йорку – Хокингу, должно быть записано как:»

$S_{mod}={\frac {1}{2\kappa }}\int _{V}d^{4}x{\sqrt {-g}}f(R)+2\int _{\partial V}d^{3}y\epsilon |h|f'(R)K$

где $f'(R)\equiv {\frac {df(R)}{dR}}$.

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 г. Deruelle et al. нашел метод нахождения граничного члена для «теорий гравитации, лагранжиан которых является произвольной функцией тензора Римана». Этот метод можно использовать для нахождения граничных членов GHY для бесконечной производной гравитации .

Интегральный по путям подход к квантовой гравитации

Как упоминалось вначале, член GHY необходим для обеспечения правильного состава интеграла по путям (а-ля Хокинг и др.) для квантовой гравитации.

Этот старый подход к квантовой гравитации с интегралом по траекториям имел ряд трудностей и нерешенных проблем. Отправной точкой этого подхода является идея Фейнмана о том, что можно представить амплитуду

$\langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle$

выйти из состояния с метрикой $g_{1}$ и поля материи $\phi _{1}$ на поверхности $\Sigma _{1}$ в состояние с метрикой $g_{2}$ и поля материи $\phi _{2}$ на поверхности $\Sigma _{2}$, как сумма по всем конфигурациям полей $g$ и $\phi$ которые принимают граничные значения полей на поверхностях $\Sigma _{1}$ и $\Sigma _{2}$. Мы пишем

$\langle g_{2},\phi _{2},\Sigma _{2}|g_{1},\phi _{1},\Sigma _{1}\rangle =\int {\mathcal {D}}[g,\phi ]\exp(iS[g,\phi ])$

где ${\mathcal {D}}[g,\phi ]$ является мерой в пространстве всех конфигураций поля $g$ и $\phi$, $S[g,\phi ]$ — действие полей, а интеграл берется по всем полям, имеющим заданные значения на $\Sigma _{1}$ и $\Sigma _{2}$.

Утверждается, что достаточно указать только трехмерную индуцированную метрику $h$ на границе.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда осуществляется переход от метрики $h_{1}$, на поверхности $\Sigma _{1}$, к метрике $h_{2}$, на поверхности $\Sigma _{2}$ а затем переходим к метрике $h_{3}$ на более поздней поверхности $\Sigma _{3}$

Хотелось бы иметь обычное правило композиции

$\langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle =\sum _{h_{2}}\langle h_{3},\Sigma _{3}|h_{2},\Sigma _{2}\rangle \langle h_{2},\Sigma _{2}|h_{1},\Sigma _{1}\rangle$

выражающее, что амплитуда перехода от начального к конечному состоянию должна быть получена путем суммирования по всем состояниям на промежуточной поверхности $\Sigma _{2}$.

Позволять $g_{1}$ быть метрикой между $\Sigma _{1}$ и $\Sigma _{2}$ и $g_{2}$ быть метрикой между $\Sigma _{2}$ и $\Sigma _{3}$. Хотя индуцированная метрика $g_{1}$ и $g_{2}$ согласится на $\Sigma _{2}$, нормальная производная $g_{1}$ в $\Sigma _{2}$ вообще говоря, не будет равен значению $g_{2}$ в $\Sigma _{2}$. Принимая во внимание последствия этого, можно затем показать, что правило композиции будет выполняться тогда и только тогда, когда мы включим граничный член GHY.

В следующем разделе будет продемонстрировано, как этот подход к квантовой гравитации с использованием интеграла по траекториям приводит к концепции температуры черной дыры и собственной квантовомеханической энтропии.

Расчет энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода

Основная статья: Евклидова квантовая гравитация

Применение в петлевой квантовой гравитации

Основная статья: Петлевая квантовая гравитация

Амплитуды перехода и главная функция Гамильтона

В квантовой теории объектом, соответствующим главной функции Гамильтона, является амплитуда перехода . Рассмотрим гравитацию, определенную в компактной области пространства-времени с топологией четырехмерного шара. Границей этой области является трехмерное пространство с топологией трехсферы, которую мы называем $\Sigma$. В чистой гравитации без космологической постоянной, поскольку скаляр Риччи обращается в нуль при решениях уравнений Эйнштейна, объемное действие исчезает, и главная функция Гамильтона полностью задается через граничный член:

$S[q]=\int _{\Sigma }K^{ab}[q]q_{ab}{\sqrt {q}}\;d^{3}\sigma$

где $K^{ab}$ - внешняя кривизна границы, $q_{ab}$ – трехметрика, индуцированная на границе, а $\sigma$ являются координатами на границе.

Функционал $S[q]$ является весьма нетривиальным для вычисления функционалом; это потому, что внешняя кривизна $K^{ab}[q]$ определяется объемным решением, выделяемым внутренней геометрией границы. Как таковой $K^{ab}[q]$ является нелокальным. Зная общую зависимость $K^{ab}$ от $q_{ab}$ эквивалентно знанию общего решения уравнений Эйнштейна.

Независимые от фона амплитуды рассеяния

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а, скорее, создается самими состояниями теории – однако амплитуды рассеяния выводятся из $n$-точечные функции ( Корреляционная функция (квантовая теория поля) ) и они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фонового пространства-времени. Связь между независимым от фона формализмом и традиционным формализмом квантовой теории поля в данном пространстве-времени далеко не очевидна, и далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полностью независимой от фона теории. Хотелось бы вывести $n$-точечные функции теории из независимого от фона формализма, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным расширением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный низкоэнергетический предел.

Была предложена стратегия решения этой проблемы; идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду или амплитуду перехода компактной области пространства-времени, а именно интеграл по траектории по конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функция граничного значения поля. В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда четко определена. и кодирует физическую информацию теории; то же самое происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимо от фона. Общековариантное определение $n$-точечные функции могут тогда быть основаны на идее, что расстояние между физическими точками – аргументами $n$-точечная функция определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени.

Ключевое наблюдение заключается в том, что в гравитации данные о границах включают гравитационное поле, следовательно, геометрию границы и, следовательно, все соответствующие относительные расстояния и временные различия. Другими словами, формулировка границы очень элегантно реализует в квантовом контексте полную идентификацию геометрии пространства-времени и динамических полей.

См. также

• Теорема Борда–Гута–Виленкина

Ссылки

• Йорк, JW (1972). «Роль конформной трехгеометрии в динамике гравитации». Письма о физических отзывах . 28 (16): 1082. Бибкод : 1972PhRvL..28.1082Y . doi : 10.1103/PhysRevLett.28.1082 .
• Гиббонс, Джорджия ; Хокинг, Юго-Запад (1977). «Интегралы действия и статистические суммы в квантовой гравитации». Физический обзор D . 15 (10): 2752. Бибкод : 1977PhRvD..15.2752G . дои : 10.1103/PhysRevD.15.2752 .
• Хокинг, Юго-Запад; Горовиц, Гэри Т (1 июня 1996 г.). «Гравитационный гамильтониан, действие, энтропия и поверхностные члены». Классическая и квантовая гравитация . 13 (6): 1487–1498. arXiv : gr-qc/9501014 . Бибкод : 1996CQGra..13.1487H . дои : 10.1088/0264-9381/13/6/017 . ISSN   0264-9381 . S2CID   12720010 .
• Браун, Дж. Дэвид; Йорк, Джеймс В. (15 февраля 1993 г.). «Микроканонический функциональный интеграл гравитационного поля». Физический обзор D . 47 (4). Американское физическое общество (APS): 1420–1431. arXiv : gr-qc/9209014 . Бибкод : 1993PhRvD..47.1420B . дои : 10.1103/physrevd.47.1420 . ISSN   0556-2821 . ПМИД   10015718 . S2CID   25039417 .

Внешние ссылки

• «Почему эта Вселенная? Новые расчеты показывают, что наш космос типичен» . Журнал Кванта . 17.11.2022.