Индуцированная метрика

В математике и теоретической физике индуцированная метрика — это метрический тензор, определенный на подмногообразии , который индуцируется из метрического тензора на многообразии , в которое подмногообразие вложено, посредством обратного образа . Его можно определить с помощью следующей формулы (с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании ), которая является компонентной формой операции обратного отката:

$g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }\$

Здесь $a$, $b$ описать индексы координат $\xi ^{a}$ подмногообразия, а функции $X^{\mu }(\xi ^{a})$ закодируйте вложение в многомерное многообразие, касательные индексы которого обозначаются $\mu$, $\nu$.

Пример – кривая в 3D

Позволять

$\Pi \colon {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} ^{3},\ \tau \mapsto {\begin{cases}{\begin{aligned}x^{1}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}&=b\sin(n\cdot \tau ).\end{aligned}}\end{cases}}$

быть отображением области определения кривой ${\mathcal {C}}$ с параметром $\tau$ в евклидово многообразие $\mathbb {R} ^{3}$. Здесь $a,b,m,n\in \mathbb {R}$ являются константами.

Тогда существует метрика, заданная на $\mathbb {R} ^{3}$ как

$g=\sum \limits _{\mu ,\nu }g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }\quad {\text{with}}\quad g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

и мы вычисляем

$g_{\tau \tau }=\sum \limits _{\mu ,\nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}\underbrace {g_{\mu \nu }} _{\delta _{\mu \nu }}=\sum \limits _{\mu }\left({\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}=m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2}$

Поэтому $g_{\mathcal {C}}=(m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2})\,\mathrm {d} \tau \otimes \mathrm {d} \tau$

См. также

• Первая фундаментальная форма