Постоянная кривизна

В математике . постоянная кривизна это понятие из дифференциальной геометрии — Здесь кривизна относится к секционной кривизне пространства (точнее, многообразия ) и представляет собой одно число, определяющее его локальную геометрию. ^{[ 1 ]} Секционная кривизна называется постоянной, если она имеет одно и то же значение в каждой точке и для каждой двумерной касательной плоскости в этой точке. Например, сфера — это поверхность постоянной положительной кривизны.

Классификация

Римановы многообразия постоянной кривизны можно разделить на следующие три случая:

Эллиптическая геометрия – постоянная положительная кривизна сечения.
Евклидова геометрия - постоянная исчезающая кривизна сечения.
Гиперболическая геометрия – постоянная отрицательная кривизна сечения.

Характеристики

Каждое пространство постоянной кривизны локально симметрично е. его тензор кривизны параллелен , т . $\nabla \mathrm {R} =0$ .
Всякое пространство постоянной кривизны локально максимально симметрично , т. е. имеет ${\frac {1}{2}}n(n+1)$ число локальных изометрий , где $n$ это его размерность.
И наоборот, существует аналогичное, но более сильное утверждение: каждое максимально симметричное пространство, т. е. пространство, имеющее ${\frac {1}{2}}n(n+1)$ (глобальные) изометрии , имеет постоянную кривизну.
( Теорема Киллинга – Хопфа ) Универсальное накрытие многообразия постоянной секционной кривизны является одним из модельных пространств:
- сфера (положительная кривизна сечения)
- плоскость (нулевая кривизна сечения)
- гиперболическое многообразие (отрицательная кривизна сечения)
Пространство постоянной кривизны, геодезически полное, называется пространственной формой , и изучение пространственных форм тесно связано с обобщенной кристаллографией ( см. В статье о пространственной форме ). подробнее
Две пространственные формы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность, их метрики имеют одинаковую сигнатуру и их секционные кривизны равны.