Теорема Бертрана – Диге – Пюизо

В математическом исследовании дифференциальной геометрии поверхностей теорема Бертрана -Диге-Пюизо выражает гауссову кривизну поверхности через длину окружности геодезического круга или площадь геодезического диска. Теорема названа в честь Жозефа Бертрана , Виктора Пюизо и Шарля Франсуа Диге.

Пусть p точка на гладкой поверхности M. — Геодезическая окружность радиуса r с центром в точке p представляет собой совокупность всех точек, геодезическое расстояние которых от p равно r . Пусть C ( r ) обозначает длину окружности этого круга, а A ( r ) обозначает площадь диска, заключенного внутри круга. Теорема Бертрана – Диге – Пюизо утверждает, что

$K(p)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}.$

Теорема тесно связана с теоремой Гаусса–Бонне .

Ссылки

• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии , Springer-Verlag, ISBN  3-540-65317-1
• Бертран, Дж; Диге, CF; Пюизо, V (1848), «Демонстрация теоремы Гаусса» (PDF) , Journal of Mathematics , 13 : 80–90
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Том II , Publish or Perish Press, ISBN  0-914098-71-3