Скаляр Кречмана

В теории лоренцевых многообразий , особенно в контексте приложений к общей теории относительности , скаляр Кречмана является квадратичным скалярным инвариантом . Его представил Эрих Кречманн .

Определение

Кречманн инвариантен

$K=R_{abcd}\,R^{abcd}$

где $R^{a}{}_{bcd}=\partial _{c}\Gamma ^{a}{}_{db}-\partial _{d}\Gamma ^{a}{}_{cb}+\Gamma ^{a}{}_{ce}\Gamma ^{e}{}_{db}-\Gamma ^{a}{}_{de}\Gamma ^{e}{}_{cb}$ – тензор кривизны Римана и $\Gamma$ — символ Кристоффеля . Поскольку это сумма квадратов компонентов тензора, это квадратичный инвариант.

Соглашение Эйнштейна о суммировании с повышенными и пониженными индексами используется выше и на протяжении всей статьи. Явное выражение суммирования:

$K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,$

Примеры

Для черной дыры Шварцшильда массы $M$, скаляр Кречмана равен

$K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.$

где $G$ гравитационная постоянная.

Для общего пространства-времени FRW с метрикой

$ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),$

скаляр Кречмана

$K={\frac {12\left[a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right]}{a(t)^{4}}}.$

Связь с другими инвариантами

Другой возможный инвариант (который использовался, например, при написании гравитационного члена лагранжиана для некоторых гравитации более высокого порядка теорий ) - это

$C_{abcd}\,C^{abcd}$

где $C_{abcd}$ — тензор Вейля , тензор конформной кривизны, который также является полностью бесследовой частью тензора Римана. В $d$ измерений это связано с инвариантом Кречмана соотношением

$R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}$

где $R^{ab}$ – тензор кривизны Риччи и $R$ Риччи — скалярная кривизна (полученная последовательными следами тензора Римана). Тензор Риччи исчезает в вакуумном пространстве-времени (например, в упомянутом выше решении Шварцшильда), и, следовательно, здесь тензор Римана и тензор Вейля совпадают, как и их инварианты.

Инварианты калибровочной теории

Скаляр Кречмана и скаляр Черна-Понтрягина

$R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}$

где ${{}^{\star }R}^{abcd}$ является левым двойственным тензору Римана, математически аналогичны (в некоторой степени физически аналогичны) известным инвариантам тензора электромагнитного поля

$F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}.$

Обобщая из $U(1)$ калибровочной теории электромагнетизма в общую неабелеву калибровочную теорию, первый из этих инвариантов есть

${\text{Tr}}(F_{ab}F^{ab})$,

выражение, пропорциональное лагранжиану Янга-Миллса . Здесь $F_{ab}$ — кривизна ковариантной производной , и ${\text{Tr}}$ это форма следа . Скаляр Кречмана возникает из-за того, что связность находится в расслоении фреймов .

См. также

• Инварианты Карминати-Макленагана для набора инвариантов
• Классификация электромагнитных полей , подробнее об инвариантах тензора электромагнитного поля.
• Инвариант кривизны для инвариантов кривизны в римановой и псевдоримановой геометрии в целом.
• Инвариант кривизны (общая теория относительности)
• Разложение Риччи , подробнее о тензоре Римана и Вейля

Дальнейшее чтение

• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-69199-2
• Б. Ф. Шютц (2009), Первый курс общей теории относительности (второе издание) , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88705-2
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0