Инвариант кривизны (общая теория относительности)

В общей теории относительности инварианты кривизны представляют собой набор скаляров, образованных из тензоров Римана , Вейля и Риччи , которые представляют кривизну (отсюда и название), и, возможно, операций над ними, таких как сжатие , ковариантное дифференцирование и дуализация .

Определенные инварианты, образованные из этих тензоров кривизны, играют важную роль в классификации пространства-времени . Инварианты на самом деле менее эффективны для различения локально неизометричных лоренцевых многообразий , чем для различения римановых многообразий . Это означает, что они более ограничены в своих приложениях, чем многообразия, наделенные положительно определенным метрическим тензором .

Главные инварианты [ править ]

Главными инвариантами тензоров Римана и Вейля являются некоторые квадратичные полиномиальные инварианты (т. е. суммы квадратов компонент).

Главными инвариантами тензора Римана четырехмерного лоренцева многообразия являются

Кречмана скаляр $K_{1}=R_{abcd}\,R^{abcd}$
the Chern–Pontryagin scalar $K_{2}={{}^{\star }R}_{abcd}\,R^{abcd}$
Эйлера скаляр $K_{3}={{}^{\star }R^{\star }}_{abcd}\,R^{abcd}$

Это квадратичные полиномиальные инварианты (суммы квадратов компонент). (Некоторые авторы определяют скаляр Черна – Понтрягина, используя правый дуальный вместо левого дуального .)

Первый из них был представлен Эрихом Кречманном . Вторые два названия несколько анахроничны, но, поскольку интегралы последних двух связаны соответственно с инстантонным числом и эйлеровой характеристикой , они имеют некоторое оправдание.

Главные инварианты тензора Вейля :

$I_{1}=C_{abcd}\,C^{abcd}$
$I_{2}={{}^{\star }C}_{abcd}\,C^{abcd}$

(Потому что ${{}^{\star }C^{\star }}_{abcd}=-C_{abcd}$ , нет необходимости определять третий главный инвариант тензора Вейля.)

с разложением Связь Риччи

Как и следовало ожидать из разложения Риччи тензора Римана в тензор Вейля плюс суммы тензоров четвертого ранга, построенных из тензора Риччи второго ранга и скаляра Риччи , эти два набора инвариантов связаны (в d = 4) :

K_{1}=I_{1}+2\,R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac {1}{3}}\,R^{2}

K_{3}=-I_{1}+2\,R_{ab}\,R^{ab}-{\tfrac {2}{3}}\,R^{2}

с разложением Связь Бела

В четырех измерениях разложение Бела тензора Римана по времениподобному единичному векторному полю ${\vec {X}}$ , не обязательно геодезическая или ортогональная гиперповерхность, состоит из трех частей

электрогравитационный тензор $E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$
магнитогравитационный тензор $B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$
тензор топогравитации $L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$

Поскольку все они трансверсальны (т.е. проецируются на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные нашему времениподобному полю единичных векторов), их можно представить как линейные операторы на трехмерных векторах или как вещественные матрицы размером три на три. Они соответственно симметричны, бесследны и симметричны (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E , B , L соответственно, главные инварианты тензора Римана получатся следующим образом:

$K_{1}/4$ это след E ² + Л ² - 2 Б Б ^Т,
$-K_{2}/8$ — след B ( E — L ),
$K_{3}/8$ это след E L - B ².

в формализме Ньюмана - Выражение Пенроуза

В терминах скаляров Вейля в формализме Ньюмана-Пенроуза главные инварианты тензора Вейля можно получить, взяв действительную и мнимую части выражения

I_{1}-i\,I_{2}=16\,\left(3\Psi _{2}^{2}+\Psi _{0}\,\Psi _{4}-4\,\Psi _{1}\Psi _{3}\right)

(Но обратите внимание на знак минус!)

Главный квадратичный инвариант Риччи тензора $R_{ab}\,R^{ab}$ , может быть получено как более сложное выражение, включающее скаляры Риччи (см. цитируемую ниже статью Керубини и др.).

многообразий Различение лоренцевых

Важный вопрос, связанный с инвариантами кривизны, заключается в том, когда набор полиномиальных инвариантов кривизны можно использовать для (локального) различения многообразий. Чтобы это сделать, необходимо включить инварианты более высокого порядка, включая производные тензора Римана, но в лоренцевом случае известно, что существуют пространства-времени, которые невозможно различить; например, пространство-время VSI, для которого все такие инварианты кривизны исчезают и, следовательно, неотличимы от плоского пространства. Эта неспособность различать лоренцевы многообразия связана с тем, что группа Лоренца некомпактна.

Есть еще примеры случаев, когда мы можем различать лоренцевы многообразия, используя их инварианты. Примерами таких являются полностью общие пространства-времени Петрова типа I без векторов Киллинга, см. Coley et al. ниже. Действительно, здесь было обнаружено, что все пространства-времени, не отличающиеся набором инвариантов кривизны, являются пространствами-временями Кундта .

См. также [ править ]

Тензор Баха , иногда полезный тензор, генерируемый $I_{2}$ по вариационному принципу.
Инварианты Карминати-Макленагана для набора полиномиальных инвариантов тензора Римана четырехмерного лоренцева многообразия, которое, как известно, является полным при некоторых обстоятельствах.
Инвариант кривизны для инвариантов кривизны в более общем контексте.

Ссылки [ править ]

Керубини, К.; Бини, Д.; Капоцциелло, С.; Руффини Р. (2002). «Скалярные инварианты второго порядка тензора Римана: приложения к пространству-времени черных дыр». Межд. Дж. Мод. Физ. Д. 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095 . Бибкод : 2002IJMPD..11..827C . дои : 10.1142/S0218271802002037 . S2CID 14587539 . См. также версию для электронной печати .
Коли, А.; Хервик, С.; Пелавас, Н. (2009). «Пространства-времени, характеризующиеся своими инвариантами скалярной кривизны». Сорт. Квантовая гравитация . 26 (2): 025013. arXiv : 0901.0791 . Бибкод : 2009CQGra..26b5013C . дои : 10.1088/0264-9381/26/2/025013 . S2CID 14678572 .