Инварианты Карминати – Макленагана

В общей теории относительности инварианты Карминати -Макленагана или скаляры CM представляют собой набор из 16 скалярных инвариантов кривизны для тензора Римана . Этот набор обычно дополняется как минимум двумя дополнительными инвариантами.

Математическое определение

Инварианты CM состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных скаляров, что в общей сложности составляет 16 инвариантов. Они определяются через тензор Вейля $C_{abcd}$ и его правый (или левый) двойственный ${{}^{\star }C}_{ijkl}=(1/2)\epsilon _{klmn}C_{ij}{}^{mn}$, тензор Риччи $R_{ab}$и бесследовый тензор Риччи

$S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,R\,g_{ab}$

В дальнейшем будет полезно отметить, что если мы рассмотрим ${S^{a}}_{b}$ как матрица, то ${S^{a}}_{m}\,{S^{m}}_{b}$ является квадратом этой матрицы, поэтому след квадрата равен ${S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{a}$и так далее.

Реальные скаляры CM:

1. $R={R^{m}}_{m}$ (след тензора Риччи )
2. $R_{1}={\frac {1}{4}}\,{S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{a}$
3. $R_{2}=-{\frac {1}{8}}\,{S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{c}\,{S^{c}}_{a}$
4. $R_{3}={\frac {1}{16}}\,{S^{a}}_{b}\,{S^{b}}_{c}\,{S^{c}}_{d}\,{S^{d}}_{a}$
5. $M_{3}={\frac {1}{16}}\,S^{bc}\,S_{ef}\left(C_{abcd}\,C^{aefd}+{{}^{\star }C}_{abcd}\,{{}^{\star }C}^{aefd}\right)$
6. $M_{4}=-{\frac {1}{32}}\,S^{ag}\,S^{ef}\,{S^{c}}_{d}\,\left({C_{ac}}^{db}\,C_{befg}+{{{}^{\star }C}_{ac}}^{db}\,{{}^{\star }C}_{befg}\right)$

Комплексные скаляры CM:

1. $W_{1}={\frac {1}{8}}\,\left(C_{abcd}+i\,{{}^{\star }C}_{abcd}\right)\,C^{abcd}$
2. $W_{2}=-{\frac {1}{16}}\,\left({C_{ab}}^{cd}+i\,{{{}^{\star }C}_{ab}}^{cd}\right)\,{C_{cd}}^{ef}\,{C_{ef}}^{ab}$
3. $M_{1}={\frac {1}{8}}\,S^{ab}\,S^{cd}\,\left(C_{acdb}+i\,{{}^{\star }C}_{acdb}\right)$
4. $M_{2}={\frac {1}{16}}\,S^{bc}\,S_{ef}\,\left(C_{abcd}\,C^{aefd}-{{}^{\star }C}_{abcd}\,{{}^{\star }C}^{aefd}\right)+{\frac {1}{8}}\,i\,S^{bc}\,S_{ef}\,{{}^{\star }C}_{abcd}\,C^{aefd}$
5. $M_{5}={\frac {1}{32}}\,S^{cd}\,S^{ef}\,\left(C^{aghb}+i\,{{}^{\star }C}^{aghb}\right)\,\left(C_{acdb}\,C_{gefh}+{{}^{\star }C}_{acdb}\,{{}^{\star }C}_{gefh}\right)$

Скаляры CM имеют следующие степени :

1. $R$ является линейным,
2. $R_{1},\,W_{1}$ квадратичны,
3. $R_{2},\,W_{2},\,M_{1}$ кубические,
4. $R_{3},\,M_{2},\,M_{3}$ являются четвертичными,
5. $M_{4},\,M_{5}$ являются квинтиками.

Все они могут быть выражены непосредственно через спиноры Риччи и спиноры Вейля , используя формализм Ньюмана-Пенроуза ; см. ссылку ниже.

Полные наборы инвариантов

В случае сферически-симметричного пространства-времени или планарно-симметричного пространства-времени известно, что

$R,\,R_{1},\,R_{2},\,R_{3},\,\Re (W_{1}),\,\Re (M_{1}),\,\Re (M_{2})$

${\frac {1}{32}}\,S^{cd}\,S^{ef}\,C^{aghb}\,C_{acdb}\,C_{gefh}$

содержат полный набор инвариантов тензора Римана. В случае вакуумных растворов , электровакуумных растворов и растворов идеальных жидкостей скаляры КМ составляют полный набор. Дополнительные инварианты могут потребоваться для более общего пространства-времени; определение точного числа (и возможных сизигий среди различных инвариантов) является открытой проблемой.

См. также

• Инвариант кривизны , чтобы узнать больше об инвариантах кривизны в (полу)римановой геометрии в целом.
• Инвариант кривизны (общая теория относительности) для других инвариантов кривизны, которые полезны в общей теории относительности.

Ссылки

• Карминати Дж.; Макленаган, Р.Г. (1991). «Алгебраические инварианты тензора Римана в четырехмерном лоренцевом пространстве» . Дж. Математика. Физ . 32 (11): 3135–3140. Бибкод : 1991JMP....32.3135C . дои : 10.1063/1.529470 .

Внешние ссылки

• Веб-сайт GRTensor II, заархивированный 14 сентября 2002 г. в веб-архивах Библиотеки Конгресса , включает руководство с определениями и обсуждениями скаляров CM.
• Реализация в системе компьютерной алгебры Maxima