Калибровочная теория гравитации

Калибровочная теория гравитации ( ГТГ ) — это теория гравитации, изложенная на математическом языке геометрической алгебры . Тем, кто знаком с общей теорией относительности , она очень напоминает тетрадный формализм, хотя существуют существенные концептуальные различия. В частности, фон в GTG плоский, пространство-время Минковского . Принцип эквивалентности не предполагается, но вместо этого следует из того факта, что калибровочная ковариантная производная связана минимально . Как и в общей теории относительности, уравнения, структурно идентичные уравнениям поля Эйнштейна, выводятся из вариационного принципа . Тензор спина также можно поддерживать способом, аналогичным теории Эйнштейна-Картана-Скиамы-Киббл . GTG был впервые предложен Ласенби, Дораном и Галлом в 1998 году. как реализация частичных результатов, представленных в 1993 году. Теория не получила широкого распространения среди остального физического сообщества, которое в основном предпочитало подходы дифференциальной геометрии, такие как подход связанной с ней калибровочной теории гравитации .

Математическая основа

В основе GTG лежат два принципа. Во-первых, позиционно-калибровочная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные смещения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля. Во-вторых, калибровочная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные вращения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля. Эти принципы приводят к введению новой пары линейных функций: поля датчика положения и поля датчика вращения. Смещение на некоторую произвольную функцию f

$x\mapsto x'=f(x)$

порождает позиционно-калибровочное поле, определяемое отображением на его сопряженном,

${\bar {\mathsf {h}}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}(f^{-1}(a),f(x)),$

который линеен по своему первому аргументу и является постоянным вектором. Аналогично, вращение некоторого произвольного ротора R приводит к возникновению калибровочного поля вращения

${\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)R^{\dagger }-2a\cdot \nabla RR^{\dagger }.$

Мы можем определить две разные ковариантные производные по направлению.

$a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))$

$a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))\times$

или с указанием системы координат

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\Omega _{\mu }$

${\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }\times ,$

где × обозначает произведение коммутатора.

Первая из этих производных лучше подходит для работы непосредственно со спинорами , тогда как вторая лучше подходит для наблюдаемых . ГТГ-аналог тензора Римана строится на основе правил коммутации этих производных.

$[D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R}}_{\mu \nu }\psi$

${\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R}}({\mathsf {h}}(a\wedge b))$

Уравнения поля

Уравнения поля выводятся путем постулирования действия Эйнштейна – Гильберта, управляющего эволюцией калибровочных полей, т.е.

$S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.$

Минимизация вариации действия по отношению к двум калибровочным полям приводит к уравнениям поля

${\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)$

${\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(a),$

где ${\mathcal {T}}$ – ковариантный тензор энергии-импульса и ${\mathcal {S}}$ — ковариантный тензор спина . Важно отметить, что эти уравнения не дают эволюционирующей кривизны пространства-времени, а просто дают эволюцию калибровочных полей в плоском пространстве-времени.

Связь с общей теорией относительности

Для тех, кто более знаком с общей теорией относительности, можно определить метрический тензор из поля датчика положения аналогично тетрадам. В формализме тетрад набор из четырех векторов $\{{e_{(a)}}^{\mu }\}$ вводятся. Греческий индекс μ повышается или понижается путем умножения и сжатия на метрический тензор пространства-времени. Латинский индекс в скобках (а) — это метка каждой из четырех тетрад, которая поднимается и опускается так, как если бы она была умножена и сжата с отдельным метрическим тензором Минковского. ГТГ, грубо говоря, меняет роли этих индексов. При выборе алгебры пространства-времени неявно предполагается, что метрика Минковского . Информация, содержащаяся в другом наборе индексов, учитывается поведением калибровочных полей.

Мы можем создавать ассоциации

$g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })$

$g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })$

для ковариантного вектора и контравариантного вектора в искривленном пространстве-времени, где теперь единичные векторы $\{e_{\mu }\}$ – выбранный координатный базис. Они могут определить метрику, используя правило

$g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.$

Следуя этой процедуре, можно показать, что по большей части наблюдаемые предсказания ГТГ согласуются с теорией Эйнштейна-Картана-Скиамы-Киббл для неисчезающего спина и сводятся к общей теории относительности для исчезающего спина. Однако GTG делает разные прогнозы относительно глобальных решений. Например, при изучении точечной массы выбор «ньютоновской калибровки» дает решение, подобное метрике Шварцшильда в координатах Гулстранда – Пенлеве . Общая теория относительности допускает расширение, известное как координаты Крускала – Секереса . GTG, с другой стороны, запрещает любое такое продление.

Внешние ссылки

• Дэвид Хестенс: Исчисление пространства-времени для теории гравитации. Архивировано 11 октября 2017 г. в Wayback Machine - отчет о математическом формализме, явно адресованный GTG.