Скалярные теории гравитации

Скалярные теории гравитации — это теории поля гравитации , в которых гравитационное поле описывается с помощью скалярного поля , которое должно удовлетворять некоторому уравнению поля.

Примечание. Эта статья посвящена релятивистским классическим полевым теориям гравитации. Самая известная релятивистская классическая теория поля гравитации, общая теория относительности , представляет собой тензорную теорию, в которой гравитационное взаимодействие описывается с помощью тензорного поля.

Ньютоновская гравитация

Прототипом скалярной теории гравитации является ньютоновская гравитация . В этой теории гравитационное взаимодействие полностью описывается потенциалом $\Phi$, что необходимо для удовлетворения уравнения Пуассона (при этом плотность массы выступает в качестве источника поля). А именно:

$\Delta \Phi =4\pi G\rho$, где

• G — гравитационная постоянная и
• $\rho$ это массовая плотность.

Эта формулировка теории поля ведет непосредственно к знакомому закону всемирного тяготения: $F=m_{1}m_{2}G/r^{2}$.

Теории гравитации Нордстрема

Первые попытки представить релятивистскую (классическую) полевую теорию гравитации также были скалярными теориями. Гуннар Нордстрем создал две такие теории.

Первая идея Нордстрема (1912 г.) заключалась в том, чтобы просто заменить оператор дивергенции в полевом уравнении ньютоновской гравитации оператором . Даламбера $\square =\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}$. Это дает уравнение поля

$\square \Phi =-4\pi G\rho$.

Однако быстро возникло несколько теоретических трудностей с этой теорией, и Нордстрем отказался от нее.

Год спустя Нордстрём повторил попытку, представив уравнение поля

$\Phi \square \Phi =-4\pi GT$,

где $T$ – след тензора энергии-импульса .

Решения второй теории Нордстрема представляют собой конформно плоское лоренцево пространство-время. То есть метрический тензор можно записать как $g_{\mu \nu }=A\eta _{\mu \nu }$, где

• η _µν — метрика Минковского , а
• $A$ — скаляр, который является функцией положения.

Это предположение означает, что инерционная масса должна зависеть от скалярного поля.

Вторая теория Нордстрема удовлетворяет слабому принципу эквивалентности . Однако:

• Теория не может предсказать какое-либо отклонение света, проходящего вблизи массивного тела (вопреки наблюдениям).
• Теория предсказывает аномальную перигелия прецессию Меркурия , но она не согласуется ни по знаку , ни по величине с наблюдаемой аномальной прецессией (той частью, которую нельзя объяснить с помощью ньютоновской гравитации).

Несмотря на эти неутешительные результаты, критика Эйнштейном второй теории Нордстрема сыграла важную роль в развитии им общей теории относительности.

Скалярная теория Эйнштейна

В 1913 году Эйнштейн (ошибочно) на основе своего аргумента дыры пришел к выводу , что общая ковариация нежизнеспособна. Вдохновленный работой Нордстрема, он предложил свою собственную скалярную теорию. В этой теории используется безмассовое скалярное поле, связанное с тензором энергии-импульса, который представляет собой сумму двух слагаемых. Первый,

$T_{g}^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi G}}\left[\partial ^{\mu }\phi \,\partial ^{\nu }\phi \,-{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\lambda }\phi \,\partial ^{\lambda }\phi \right]$

представляет собой напряжение-импульс-энергию самого скалярного поля. Второй представляет собой энергию напряжения-импульса любой материи, которая может присутствовать:

$T_{m}^{\mu \nu }=\rho \phi u^{\mu }u^{\nu }$

где $u^{\mu }$ — вектор скорости наблюдателя или касательный вектор к мировой линии наблюдателя. (Эйнштейн не предпринял в этой теории попыток учесть возможные гравитационные эффекты энергии электромагнитного поля .)

К сожалению, эта теория не является ковариантной по диффеоморфизмам . Это важное условие непротиворечивости, поэтому Эйнштейн отказался от этой теории в конце 1914 года. Связывание скалярного поля с метрикой приводит к более поздним выводам Эйнштейна о том, что теория гравитации, которую он искал, не могла быть скалярной теорией. Действительно, теория, к которой он наконец пришел в 1915 году, общая теория относительности , представляет собой тензорную теорию, а не скалярную теорию, с 2-тензором, метрикой, в качестве потенциала. В отличие от его скалярной теории 1913 года, она в целом ковариантна и учитывает энергию-импульс-напряжение электромагнитного поля (или любого другого негравитационного поля).

Дополнительные варианты

• Теория Калуцы – Клейна предполагает использование скалярного гравитационного поля в дополнение к электромагнитного поля. потенциалу $A^{\mu }$ в попытке создать пятимерное объединение гравитации и электромагнетизма. Его обобщение с 5-й переменной составляющей метрики, приводящей к переменной гравитационной постоянной, было впервые дано Паскуалем Джорданом .
• Теория Бранса-Дикке представляет собой скалярно-тензорную теорию, а не скалярную теорию, что означает, что она представляет гравитационное взаимодействие с использованием как скалярного, так и тензорного поля. Мы упоминаем об этом здесь потому, что одно из уравнений поля этой теории включает в себя только скалярное поле и след тензора энергии-импульса, как и в теории Нордстрема. Более того, теория Бранса-Дикке равна независимо выведенной теории Джордана (поэтому ее часто называют теорией Джордана-Бранса-Дикке или JBD-теорией). Теория Бранса-Дикке связывает скалярное поле с кривизной пространства-времени и является самосогласованной, и, принимая подходящие значения для настраиваемой константы, эта теория не была исключена наблюдениями. Теорию Бранса-Дикке обычно считают главным конкурентом общей теории относительности, которая является чистой тензорной теорией. Однако теория Бранса-Дике, похоже, нуждается в слишком высоком параметре, что благоприятствует общей теории относительности).
• Зи объединил идею теории BD с механизмом нарушения симметрии Хиггса для генерации массы, что привело к скалярно-тензорной теории с полем Хиггса в качестве скалярного поля, в которой скалярное поле является массивным (короткодействующим). Пример этой теории был предложен Х. Дененом и Х. Фроммертом в 1991 году, исходя из природы поля Хиггса, взаимодействующего гравитационно и юкавски (дальнодействующе) с частицами, которые через него получают массу.
• Теория Уотта – Миснера (1999) является недавним примером скалярной теории гравитации. Она задумана не как жизнеспособная теория гравитации (поскольку, как указывают Уотт и Миснер, она не согласуется с наблюдениями), а как игрушечная теория, которая может быть полезна при проверке схем численной теории относительности. Это имеет и педагогическое значение.

См. также

• Теория гравитации Нордстрема

Внешние ссылки

• Гённер, Хуберт Ф.М., «К истории единых теорий поля»; Живой преподобный Относитель. 7 (2) , 2004, лрр-2004-2 . Проверено 10 августа 2005 г.
• Равндал, Финн (2004). «Скалярная гравитация и дополнительные измерения». arXiv : gr-qc/0405030 .
• П. Джордан, Гравитация и космос , Vieweg (Брауншвейг), 1955.