Гравитация Гаусса – Бонне

Не путать с теоремой Гаусса–Бонне .

В относительности общей теории гравитация Гаусса-Бонне , также называемая гравитацией Эйнштейна-Гаусса-Бонне , представляет собой модификацию действия Эйнштейна–Гильберта , включающую член Гаусса–Бонне. (назван в честь Карла Фридриха Гаусса и Пьера Оссиана Бонне )

$\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\,G$,

где

$G=R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }$.

Этот термин нетривиален только в 4+1D или больше и, как таковой, применим только к многомерным моделям. В 3+1D он сводится к топологическому поверхностному члену . Это следует из обобщенной теоремы Гаусса–Бонне о 4D-многообразии.

${\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,G=\chi (M)$.

В низших измерениях оно тождественно исчезает.

) квадратичен Несмотря на то, что тензор Римана (и тензор Риччи , члены, содержащие более двух частных производных метрики , сокращаются, что делает уравнения Эйлера-Лагранжа производных второго порядка квазилинейными дифференциальными уравнениями в частных в метрике. Следовательно, не существует дополнительных динамических степеней свободы, как, скажем, в гравитации f(R) .

Также было показано, что гравитация Гаусса – Бонне связана с классической электродинамикой посредством полной калибровочной инвариантности относительно теоремы Нётер .

В более общем плане мы можем рассмотреть

$\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\,f\left(G\right)$

термин для некоторой функции f . Нелинейности в f делают эту связь нетривиальной даже в 3+1D. Следовательно, вместе с нелинейностями снова появляются члены четвертого порядка.

См. также

• Действие Эйнштейна – Гильберта
• f(R, G, T) или f(R, T, G) гравитация
• f(R) гравитация
• Лавлок гравитация