Тензор Ланцоша

Тензор Ланцоша или потенциал Ланцоша — это тензор 3-го ранга в общей теории относительности , который порождает тензор Вейля . Впервые он был представлен Корнелиусом Ланцосом в 1949 году. Теоретическое значение тензора Ланцоша состоит в том, что он служит калибровочным полем для гравитационного поля точно так же, как, по аналогии, электромагнитный четырехпотенциал порождает электромагнитное поле .

Определение

Тензор Ланцоша можно определить несколькими способами. Наиболее распространенное современное определение дается с помощью уравнений Вейля – Ланцоша, которые демонстрируют создание тензора Вейля из тензора Ланцоша. Эти уравнения, представленные ниже, были даны Такено в 1964 году. Изначально Ланцош ввел тензор как множитель Лагранжа. на условиях ограничений, изучаемых в вариационном подходе к общей теории относительности . При любом определении тензор Ланцоша H демонстрирует следующие симметрии:

$H_{abc}+H_{bac}=0,\,$

$H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.$

Тензор Ланцоша всегда существует в четырех измерениях. но не распространяется на более высокие измерения. Это подчеркивает особенность четырех измерений . Отметим далее, что полный тензор Римана, вообще говоря, не может быть получен только из производных потенциала Ланцоша. Уравнения поля Эйнштейна должны обеспечивать тензор Риччи для завершения компонентов разложения Риччи .

Поле Куртрайта имеет динамику калибровочного преобразования, аналогичную динамике тензора Ланцоша. Но поле Куртрайта существует в произвольных измерениях > 4D.

Уравнения Вейля – Ланцоша

Уравнения Вейля – Ланцоша полностью выражают тензор Вейля как производные от тензора Ланцоша:

${\begin{aligned}C_{abcd}&=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{ac}\\&\quad -(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a|e|}{}^{e}{}_{;d)})g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b|e|}{}^{e}{}_{;c)})g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{}_{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})\end{aligned}}$

где $C_{abcd}$ — тензор Вейля, точка с запятой обозначает ковариантную производную , а скобки с индексом указывают на симметризацию . Хотя приведенные выше уравнения можно использовать для определения тензора Ланцоша, они также показывают, что он не уникален, а скорее имеет калибровочную свободу в аффинной группе . Если $\Phi ^{a}$ — произвольное векторное поле , то уравнения Вейля–Ланцоша инвариантны относительно калибровочного преобразования

$H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a}g_{b]c}$

где нижние скобки указывают на антисимметризацию . Часто удобным выбором является алгебраическая калибровка Ланцоша, $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},$ который устанавливает $H'_{ab}{}^{b}=0.$ Манометр можно дополнительно ограничить с помощью дифференциального манометра Ланцоша. $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$. Такой выбор калибровки сводит уравнения Вейля – Ланцоша к более простой форме

$C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}{}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}{}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}.$

Волновое уравнение

Тензор потенциала Ланцоша удовлетворяет волновому уравнению

${\begin{aligned}\Box H_{abc}=&\;J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\right)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}$

где $\Box$ – оператор Даламбера и

$J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}}\left(g_{ca}R_{;b}-g_{cb}R_{;a}\right)$

известен как тензор Коттона . Поскольку тензор Коттона зависит только от ковариантных производных тензора Риччи , его, возможно, можно интерпретировать как своего рода ток материи. Дополнительные члены самосвязи не имеют прямого электромагнитного эквивалента. Однако эти члены самосвязи не влияют на вакуумные решения , где тензор Риччи обращается в нуль, а кривизна полностью описывается тензором Вейля. Таким образом, в вакууме уравнения поля Эйнштейна эквивалентны однородному волновому уравнению $\Box H_{abc}=0,$ в полной аналогии с уравнением вакуумной волны $\Box A_{a}=0$ электромагнитного четырехпотенциала. Это показывает формальное сходство между гравитационными и электромагнитными волнами , при этом тензор Ланцоша хорошо подходит для изучения гравитационных волн.

В приближении слабого поля, где $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$, удобная форма тензора Ланцоша в калибровке Ланцоша имеет вид

$4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6}}(\eta _{ac}{h^{d}}_{d,b}-\eta _{bc}{h^{d}}_{d,a}).$

Пример

Самый основной нетривиальный случай выражения тензора Ланцоша, конечно, относится к метрике Шварцшильда . Простейшее явное представление компонент в натуральных единицах тензора Ланцоша в этом случае:

$H_{trt}={\frac {GM}{r^{2}}}$

при этом все остальные компоненты исчезают с точностью до симметрий. Однако этой формы нет в калибровке Ланцоша. Ненулевые члены тензора Ланцоша в калибровке Ланцоша равны

$H_{trt}={\frac {2GM}{3r^{2}}}$

$H_{r\theta \theta }={\frac {-GM}{3(1-2GM/r)}}$

$H_{r\phi \phi }={\frac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}}$

Далее можно показать, даже в этом простом случае, что тензор Ланцоша, вообще говоря, не может быть сведен к линейной комбинации спиновых коэффициентов формализма Ньюмана-Пенроуза , что свидетельствует о фундаментальной природе тензора Ланцоша. Подобные расчеты были использованы для построения произвольных Петрова типа D. решений

См. также

• Тензор Баха
• Фигурное исчисление
• Тензор Схоутена
• тетрадное действие Палатини
• Самодвойственное действие Палатини

Внешние ссылки

• Питер О'Доннелл, Введение в 2-спиноры в общей теории относительности . Всемирный научный , 2003.