Тетрадное действие Палатини

Основная статья: Поля фрейма в общей теории относительности

Действие Эйнштейна–Гильберта для общей теории относительности было впервые сформулировано исключительно в терминах метрики пространства-времени. Принять метрику и аффинную связность как независимые переменные в принципе действия впервые предложил Палатини . Это называется формулировкой первого порядка, поскольку переменные, которые подлежат изменению, включают в действие только первые производные и поэтому не усложняют уравнения Эйлера-Лагранжа с членами более высоких производных. Тетрадное действие Палатини — это еще одна формулировка действия Эйнштейна-Гильберта первого порядка в терминах другой пары независимых переменных, известных как поля системы отсчета и спиновая связь . Использование полей системы отсчета и спиновых связей имеет важное значение для формулировки общековариантного фермионного действия ( см. в статье «Спиновая связь более подробное обсуждение этого вопроса »), которое связывает фермионы с гравитацией при добавлении к тетрадному действию Палатини.

Это не только необходимо для связи фермионов с гравитацией и делает тетрадное действие каким-то образом более фундаментальным для метрической версии, действие Палатини также является ступенькой к более интересным действиям, таким как самодвойственное действие Палатини , которое можно рассматривать как лагранжев базис. для формулировки Аштекара канонической гравитации (см. Переменные Аштекара ) или действия Холста , которое является основой версии теории Аштекара с действительными переменными. Еще одним важным действием является действие Плебанского (см. статью о модели Барретта – Крейна ), и доказательство того, что оно дает общую теорию относительности при определенных условиях, предполагает доказательство того, что оно сводится к действию Палатини в этих условиях.

Здесь мы представляем определения и подробно вычисляем уравнения Эйнштейна на основе действия Палатини. Эти расчеты можно легко модифицировать для самодвойственного действия Палатини и действия Холста.

Некоторые определения

Сначала нам нужно ввести понятие тетрад. Тетрада — это ортонормированный векторный базис, в котором метрика пространства-времени выглядит локально плоской.

$g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}$

где $\eta _{IJ}={\text{diag}}(-1,1,1,1)$ – метрика Минковского. Тетрады кодируют информацию о метрике пространства-времени и будут приняты как одна из независимых переменных в принципе действия.

Теперь, если кто-то собирается работать с объектами, имеющими внутренние индексы, необходимо ввести соответствующую производную (ковариантную производную). Введем произвольную ковариантную производную через

${\mathcal {D}}_{\alpha }V_{I}=\partial _{\alpha }V_{I}+{\omega _{\alpha I}}^{J}V_{J}.$

Где ${\omega _{\alpha I}}^{J}$ является одной формой спиновой (лоренцевой) связности (производная аннулирует метрику Минковского $\eta _{IJ}$). Мы определяем кривизну через

${\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha })V_{I}$

Мы получаем

${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=2\partial _{[\alpha }{\omega _{\beta ]}}^{IJ}+2{\omega _{[\alpha }}^{IK}{\omega _{\beta ]K}}^{J}$.

Введем ковариантную производную, аннулирующую тетраду:

$\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0$.

Связь полностью определяется тетрадой. Действие этого на обобщенный тензор $V_{\beta }^{I}$ дается

$\nabla _{\alpha }V_{\beta }^{I}=\partial _{\alpha }V_{\beta }^{I}-\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }V_{\gamma }^{I}+{\omega _{\alpha J}}^{I}V_{\beta }^{J}.$

Определим кривизну ${R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ к

${R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{I}.$

Это легко связано с обычной кривизной, определяемой формулой

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V_{\gamma }$

путем замены $V_{\gamma }=V_{I}e_{\gamma }^{I}$ в это выражение (подробнее см. ниже). Получается,

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta },\quad R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }$

для тензора Римана , тензора Риччи и скаляра Риччи соответственно.

Тетрадное действие Палатини

Скаляр Риччи этой кривизны можно выразить как $e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}.$ Действие можно записать

$S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$

где $e={\sqrt {-g}}$ но сейчас $g$ является функцией поля кадра.

Уравнения Эйнштейна выведем, варьируя это действие относительно тетрады и спиновой связи как независимых величин.

Для упрощения выполнения вычислений введем связь, совместимую с тетрадой: $\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0.$ Связь, связанная с этой ковариантной производной, полностью определяется тетрадой. Разницей между двумя введенными нами связями является поле ${C_{\alpha I}}^{J}$ определяется

${C_{\alpha I}}^{J}V_{J}=\left(D_{\alpha }-\nabla _{\alpha }\right)V_{I}.$

Мы можем вычислить разницу между кривизной этих двух ковариантных производных (подробности см. Ниже):

${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{R_{\alpha \beta }}^{IJ}=\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}$

Причина этого промежуточного расчета в том, что вариацию легче вычислить, повторно выразив действие в терминах $\nabla$ и ${C_{\alpha }}^{IJ}$ и отмечая, что вариация по отношению к ${\omega _{\alpha }}^{IJ}$ то же самое, что и вариация по отношению к ${C_{\alpha }}^{IJ}$ (при сохранении тетрады фиксированной). Действие становится

$S_{H-P}=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\left({R_{\alpha \beta }}^{IJ}+\nabla _{[\alpha }{C_{\beta ]}}^{IJ}+{C_{[\alpha }}^{IM}{C_{\beta ]M}}^{J}\right)$

Сначала мы различаемся по ${C_{\alpha }}^{IJ}$. Первое слагаемое не зависит от ${C_{\alpha }}^{IJ}$ так что это не способствует. Второе слагаемое представляет собой полную производную. Последний член дает

$e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{bK}}^{N}=0.$

Ниже мы покажем, что из этого следует, что ${C_{\alpha }}^{IJ}=0$ в качестве префактора $e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}$ является невырожденным. Это говорит нам о том, что $\nabla$ совпадает с $D$ при воздействии на объекты только с внутренними индексами. Таким образом, связь $D$ полностью определяется тетрадой и $\Omega$ совпадает с $R$. Чтобы вычислить вариацию относительно тетрады, нам нужна вариация $e=\det e_{\alpha }^{I}$. По стандартной формуле

$\delta \det(a)=\det(a)\left(a^{-1}\right)_{ji}\delta a_{ij}$

у нас есть $\delta e=ee_{I}^{\alpha }\delta e_{\alpha }^{I}$. Или при использовании $\delta \left(e_{\alpha }^{I}e_{I}^{\alpha }\right)=0$, это становится $\delta e=-ee_{\alpha }^{I}\delta e_{I}^{\alpha }$. Второе уравнение вычисляем, варьируя относительно тетрады:

${\begin{aligned}\delta S_{H-P}&=\int d^{4}x\;e\left(\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}+e_{I}^{\alpha }\left(\delta e_{J}^{\beta }\right){\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-e_{\gamma }^{K}\left(\delta e_{K}^{\gamma }\right)e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}\right)\\&=2\int d^{4}x\;e\left(e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}-{1 \over 2}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}{\Omega _{\gamma \delta }}^{MN}\right)\left(\delta e_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}$

После замены получим ${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$ для ${R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ как указано в предыдущем уравнении движения,

$e_{J}^{\gamma }{R_{\alpha \gamma }}^{IJ}-{1 \over 2}{R_{\gamma \delta }}^{MN}e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\delta }e_{\alpha }^{I}=0$

который после умножения на $e_{I\beta }$ просто говорит нам, что тензор Эйнштейна $R_{\alpha \beta }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\alpha \beta }$ метрики, определяемой тетрадами, обращается в нуль. Таким образом, мы доказали, что вариация Палатини действия в тетрадной форме дает обычные уравнения Эйнштейна .

Обобщения действия Палатини

Основные статьи: действие Холста , самодвойственное действие Палатини , параметр Барберо-Иммирци и действие Плебанского.

Изменяем действие, добавляя термин

$-{1 \over 2\gamma }ee_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}[\omega ]{\epsilon ^{IJ}}_{MN}$

Это изменяет действие Палатини на

$S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{P^{IJ}}_{MN}{\Omega _{\alpha \beta }}^{MN}$

где

${P^{IJ}}_{MN}=\delta _{M}^{[I}\delta _{N}^{J]}-{1 \over 2\gamma }{\epsilon ^{IJ}}_{MN}.$

Это действие, приведенное выше, является действием Холста, введенным Холстом. и $\gamma$ – параметр Барберо-Иммирзи, роль которого была признана Барберо и Иммиризи. Самодвойственная формулировка соответствует выбору $\gamma =-i$.

Легко показать, что эти действия дают одни и те же уравнения. Однако случай, соответствующий $\gamma =\pm i$ необходимо делать отдельно (см. статью Самодвойственное Палатини действие ). Предполагать $\gamma \not =\pm i$, затем ${P^{IJ}}_{MN}$ имеет обратную величину, определяемую выражением

${(P^{-1})_{IJ}}^{MN}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+1}}\left(\delta _{I}^{[M}\delta _{J}^{N]}+{\frac {1}{2\gamma }}{\epsilon _{IJ}}^{MN}\right).$

(обратите внимание, что это расходится для $\gamma =\pm i$). Поскольку этот обратный существует, обобщение префактора $e_{M}^{[a}e_{N}^{b]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}$ также будет невырожденным и, следовательно, эквивалентные условия получаются из вариации по связности. Мы снова получаем ${C_{\alpha }}^{IJ}=0$. В то время как вариация по отношению к тетраде дает уравнение Эйнштейна плюс дополнительный член. Однако этот дополнительный член исчезает из-за симметрии тензора Римана.

Детали расчета

Связь обычной кривизны со смешанной кривизной

Обычный тензор кривизны Римана ${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }$ определяется

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }.$

Чтобы найти связь со смешанным тензором индексной кривизны, подставим $V_{\gamma }=e_{\gamma }^{I}V_{I}$

${\begin{aligned}{R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }V_{\delta }&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{\gamma }\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)\left(e_{\gamma }^{I}V_{I}\right)\\&=e_{\gamma }^{I}\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}\\&=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }V_{\delta }\end{aligned}}$

где мы использовали $\nabla _{\alpha }e_{\beta }^{I}=0$. Поскольку это справедливо для всех $V_{\delta }$ мы получаем

${R_{\alpha \beta \gamma }}^{\delta }=e_{\gamma }^{I}{R_{\alpha \beta I}}^{J}e_{J}^{\delta }$.

Используя это выражение, находим

$R_{\alpha \beta }={R_{\alpha \gamma \beta }}^{\gamma }={R_{\alpha \gamma I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma }.$

Заключение контракта $\alpha$ и $\beta$ позволяет нам написать скаляр Риччи

$R={R_{\alpha \beta }}^{IJ}e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }.$

Разница между кривизной

Производная, определяемая $D_{\alpha }V_{I}$ знает только, как действовать на внутренние индексы. Однако мы считаем удобным рассмотреть расширение без кручения индексов пространства-времени. Все расчеты будут независимы от этого выбора расширения. Применение ${\mathcal {D}}_{a}$ дважды $V_{I}$,

${\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }V_{I}={\mathcal {D}}_{\alpha }(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J})=\nabla _{\alpha }\left(\nabla _{\beta }V_{I}+{C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\left(\nabla _{b}V_{K}+{C_{\beta K}}^{J}V_{J}\right)+{\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }\left(\nabla _{\gamma }V_{I}+{C_{\gamma I}}^{J}V_{J}\right)$

где ${\overline {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\gamma }$ несущественно, достаточно лишь заметить, что оно симметрично относительно $\alpha$ и $\beta$ так как он без скручивания. Затем

${\begin{aligned}{\Omega _{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}&=\left({\mathcal {D}}_{\alpha }{\mathcal {D}}_{\beta }-{\mathcal {D}}_{\beta }{\mathcal {D}}_{\alpha }\right)V_{I}\\&=\left(\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha }\right)V_{I}+\nabla _{\alpha }\left({C_{\beta I}}^{J}V_{J}\right)-\nabla _{\beta }\left({C_{\alpha I}}^{J}V_{J}\right)+{C_{\alpha I}}^{K}\nabla _{\beta }V_{K}-{C_{\beta I}}^{K}\nabla _{\alpha }V_{K}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}V_{J}-{C_{\beta I}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}V_{J}\\&={R_{\alpha \beta I}}^{J}V_{J}+\left(\nabla _{\alpha }{C_{\beta I}}^{J}-\nabla _{\beta }{C_{\alpha I}}^{J}+{C_{\alpha I}}^{K}{C_{\beta K}}^{J}-{C_{\beta _{I}}}^{K}{C_{\alpha K}}^{J}\right)V_{J}\end{aligned}}$

Следовательно:

${\Omega _{ab}}^{IJ}-{R_{ab}}^{IJ}=2\nabla _{[a}{C_{b]}}^{IJ}+2{C_{[a}}^{IK}{C_{b]K}}^{J}$

Варьирование действия относительно поля ${C_{\alpha }}^{IJ}$

Мы ожидаем $\nabla _{a}$ чтобы также уничтожить метрику Минковского $\eta _{IJ}=e_{\beta I}e_{J}^{\beta }$. Если мы также предположим, что ковариантная производная ${\mathcal {D}}_{\alpha }$ аннулирует метрику Минковского (тогда называемую метрикой без кручения), мы имеем:

$0=({\mathcal {D}}_{\alpha }-\nabla _{\alpha })\eta _{IJ}={C_{\alpha I}}^{K}\eta _{KJ}+{C_{aJ}}^{K}\eta _{IK}=C_{\alpha IJ}+C_{\alpha JI}.$

подразумевая

$C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}.$

С последнего члена действия мы имеем от изменения по ${C_{\alpha I}}^{J},$

${\begin{aligned}\delta S_{EH}&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{\gamma }e_{N}^{\beta }{C_{[\gamma }}^{MK}{C_{\beta ]K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e_{M}^{[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma }}^{MK}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\delta \int d^{4}x\;e\;e^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}{C_{\gamma M}}^{K}{C_{\beta K}}^{N}\\&=\int d^{4}x\;ee^{M[\gamma }e_{N}^{\beta ]}\left(\delta _{\gamma }^{\alpha }\delta _{M}^{I}\delta _{J}^{K}{C_{\beta K}}^{N}+{C_{\gamma M}}^{K}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{K}^{I}\delta _{J}^{N}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\\&=\int d^{4}x\;e\left(e^{I[\alpha }e_{N}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{N}+e^{M[\beta }e_{J}^{\alpha ]}{C_{\beta M}}^{I}\right)\delta {C_{\alpha I}}^{J}\end{aligned}}$

или

$e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}{C_{\beta J}}^{K}+e^{K[\beta }e_{J}^{\alpha ]}C_{\beta KI}=0$

или

${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0.$

где мы использовали $C_{\beta KI}=-C_{\beta IK}$. Это можно записать более компактно как

$e_{M}^{[\alpha }e_{N}^{\beta ]}\delta _{[I}^{M}\delta _{J]}^{K}{C_{\beta K}}^{N}=0.$

Исчезновение ${C_{\alpha }}^{IJ}$

Мы покажем после ссылки «Геометродинамика против динамики связей». что

${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{[\alpha }e_{J}^{\beta ]}+{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{[\alpha }e_{K}^{\beta ]}=0\quad Eq.1$

подразумевает ${C_{\alpha I}}^{J}=0.$ Сначала мы определяем поле тензора пространства-времени как

$S_{\alpha \beta \gamma }:=C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}.$

Тогда условие $C_{\alpha IJ}=C_{\alpha [IJ]}$ эквивалентно $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}$. Сокращение уравнения. 1 с $e_{\alpha }^{I}e_{\gamma }^{J}$ человек подсчитывает, что

${C_{\beta J}}^{I}e_{\gamma }^{J}e_{I}^{\beta }=0.$

Как ${S_{\alpha \beta }}^{\gamma }={C_{\alpha I}}^{J}e_{\beta }^{I}e_{J}^{\gamma },$ у нас есть ${S_{\beta \gamma }}^{\beta }=0.$ Мы пишем это как

$({C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta })e_{\gamma }^{I}=0,$

и как $e_{\alpha }^{I}$ обратимы, это подразумевает

${C_{\beta I}}^{J}e_{J}^{\beta }=0.$

Таким образом, условия ${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\beta }e_{J}^{\alpha },$ и ${C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\alpha }e_{K}^{\beta }$ уравнения 1 оба исчезают, а уравнение 1 сводится к

${C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }=0.$

Если мы теперь свяжем это с $e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}$, мы получаем

${\begin{aligned}0&=\left({C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{J}^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}e_{I}^{\beta }e_{K}^{\alpha }\right)e_{\gamma }^{I}e_{\delta }^{J}\\&={C_{\beta I}}^{K}e_{K}^{\alpha }e_{\gamma }^{I}\delta _{\delta }^{\beta }-{C_{\beta J}}^{K}\delta _{\gamma }^{\beta }e_{K}^{\alpha }e_{\delta }^{J}\\&={C_{\delta I}}^{K}e_{\gamma }^{I}e_{K}^{\alpha }-{C_{\gamma J}}^{K}e_{\delta }^{J}e_{K}^{\alpha }\end{aligned}}$

или

${S_{\gamma \delta }}^{\alpha }={S_{(\gamma \delta )}}^{\alpha }.$

Поскольку у нас есть $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\alpha [\beta \gamma ]}$ и $S_{\alpha \beta \gamma }=S_{(\alpha \beta )\gamma }$, мы можем последовательно поменять местами первые два, а затем два последних индекса с соответствующей сменой знака каждый раз, чтобы получить:

$S_{\alpha \beta \gamma }=S_{\beta \alpha \gamma }=-S_{\beta \gamma \alpha }=-S_{\gamma \beta \alpha }=S_{\gamma \alpha \beta }=S_{\alpha \gamma \beta }=-S_{\alpha \beta \gamma }$

подразумевая

$S_{\alpha \beta \gamma }=0,$

или

$C_{\alpha IJ}e_{\beta }^{I}e_{\gamma }^{J}=0,$

и поскольку $e_{\alpha }^{I}$ обратимы, мы получаем $C_{\alpha IJ}=0$. Это желаемый результат.

См. также

• Натяжитель Ланцос
• Тензор Вейля