Самодвойственное действие Палатини

Переменные Аштекара , которые были новым каноническим формализмом общей теории относительности , породили новые надежды на каноническое квантование общей теории относительности и в конечном итоге привели к петлевой квантовой гравитации . Смолин и другие независимо обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассматривая самодвойственную формулировку тетрадного принципа действия Палатини общей теории относительности. Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Гольдбергом. и в терминах тетрад Henneaux et al.

Иск Палатини

Основные статьи: действие Эйнштейна – Гильберта , поля репера в общей теории относительности , спиновая связь и тетрадическое действие Палатини.

Действие Палатини в общей теории относительности имеет в качестве независимых переменных тетраду $e_{I}^{\alpha }$ и спиновое соединение ${\omega _{\alpha }}^{IJ}$. Гораздо больше подробностей и выводов можно найти в статье тетрадное действие Палатини . Спиновая связь определяет ковариантную производную $D_{\alpha }$. Метрика пространства-времени восстанавливается из тетрады по формуле $g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}.$ Мы определяем "кривизну" как

${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{\omega _{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{\omega _{\alpha }}^{IJ}+\omega _{\alpha }^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta }^{IK}{\omega _{\alpha K}}^{J}\qquad Eq.1.$

Скаляр Риччи этой кривизны определяется выражением $e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$. Действие Палатини для общей теории относительности гласит:

$S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}[\omega ]$

где $e={\sqrt {-g}}$. Вариация относительно спинового соединения ${\omega _{\alpha }}^{IJ}$ подразумевает, что спиновая связь определяется условием совместности $D_{\alpha }e_{I}^{\beta }=0$ и, следовательно, становится обычной ковариантной производной $\nabla _{\alpha }$. Следовательно, связь становится функцией тетрад и кривизны. ${\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}$ заменяется кривизной ${R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ из $\nabla _{\alpha }$. Затем $e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{R_{\alpha \beta }}^{IJ}$ настоящий скаляр Риччи $R$. Вариация по тетраде дает уравнение Эйнштейна

$R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R=0.$

Самодуальные переменные

(Анти-)самодвойственные части тензора

Нам понадобится так называемый тензор полной антисимметрии или символ Леви-Чивита , $\varepsilon _{IJKL}$, который равен либо +1, либо −1 в зависимости от того, $IJKL$ является либо четной, либо нечетной перестановкой $0123$соответственно, и ноль, если любые два индекса принимают одно и то же значение. Внутренние индексы $\varepsilon _{IJKL}$ возводятся с помощью метрики Минковского $\eta ^{IJ}$.

Теперь, учитывая любой антисимметричный тензор $T^{IJ}$, мы определяем его двойственный как

$*T^{IJ}={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}.$

Самодуальная часть любого тензора $T^{IJ}$ определяется как

${}^{+}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)$

с антисамодуальной частью, определяемой как

${}^{-}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)$

(появление мнимой единицы $i$ связано с подписью Минковского , как мы увидим ниже).

Тензорное разложение

Теперь, учитывая любой антисимметричный тензор $T^{IJ}$, мы можем разложить его как

$T^{IJ}={\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}-{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}$

где ${}^{+}T^{IJ}$ и ${}^{-}T^{IJ}$ являются самодвойственной и антисамодвойственной частями $T^{IJ}$ соответственно. Определим проектор на (анти)самодуальную часть любого тензора как

$P^{(\pm )}={1 \over 2}(1\mp i*).$

Смысл этих проекторов можно объяснить. Давайте сосредоточимся на $P^{+}$,

$\left(P^{+}T\right)^{IJ}=\left({1 \over 2}(1-i*)T\right)^{IJ}={1 \over 2}\left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right)T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}.$

Затем

${}^{\pm }T^{IJ}=\left(P^{(\pm )}T\right)^{IJ}.$

Скобка Лжи

Важным объектом является скобка Ли, определяемая формулой

$[F,G]^{IJ}:=F^{IK}{G_{K}}^{J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},$

он появляется в тензоре кривизны (см. два последних члена уравнения 1), а также определяет алгебраическую структуру. У нас есть результаты (доказанные ниже):

$P^{(\pm )}[F,G]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Eq.2$

и

$[F,G]=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]+\left[P^{-}F,P^{-}G\right].$

То есть скобка Ли, определяющая алгебру, распадается на две отдельные независимые части. Мы пишем

${\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }={\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{+}+{\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{-}$

где ${\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{\pm }$ содержит только самодвойственные (антисамодвойственные) элементы ${\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }.$

Самодвойственное действие Палатини

Определим самодвойственную часть, ${A_{\alpha }}^{IJ}$, о связи ${\omega _{\alpha }}^{IJ}$ как

${A_{\alpha }}^{IJ}={1 \over 2}\left({\omega _{\alpha }}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha }}^{KL}\right),$

что можно записать более компактно

${A_{\alpha }}^{IJ}=\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}.$

Определять ${F_{\alpha \beta }}^{IJ}$ как кривизна самодвойственной связи

${F_{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{A_{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{A_{\alpha }}^{IJ}+{A_{\alpha }}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta }}^{IK}{A_{\alpha K}}^{J}.$

Используя уравнение 2 легко видеть, что кривизна самодвойственной связи есть самодвойственная часть кривизны связи,

${\begin{aligned}{F_{\alpha \beta }}^{IJ}&=\partial _{\alpha }\left(P^{+}\omega _{\beta }\right)^{IJ}-\partial _{\beta }\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha },P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\partial _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right)^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha },\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+}\Omega _{\alpha \beta }\right)^{IJ}\end{aligned}}$

Самодвойственное действие – это

$S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{F_{\alpha \beta }}^{IJ}.$

Поскольку связь сложна, мы имеем дело со сложной общей теорией относительности, и для восстановления реальной теории необходимо указать соответствующие условия. Можно повторить те же вычисления, что и для действия Палатини, но теперь применительно к самодвойственной связи. ${A_{\alpha }}^{IJ}$. Варьируя поле тетрады, получаем самодуальный аналог уравнения Эйнштейна:

${}^{+}R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }{}^{+}R=0.$

То, что кривизна самодуальной связности является самодвойственной частью кривизны связности, помогает упростить формализм 3+1 (подробности разложения на формализм 3+1 будут приведены ниже). Получающийся в результате гамильтонов формализм напоминает калибровочную теорию Янга-Миллса (чего не происходит с формализмом Палатини 3+1, который по сути сводится к обычному формализму ADM).

Вывод основных результатов для самодвойственных переменных

Результаты выполненных здесь расчетов можно найти в главе 3 заметок Аштекар «Переменные в классической теории относительности». Метод доказательства следует методу, изложенному в разделе II «Гамильтониана Аштекара для общей теории относительности» . Нам необходимо установить некоторые результаты для (анти)автодуальных лоренцевых тензоров.

Тождества для полностью антисимметричного тензора

С $\eta _{IJ}$ есть подпись $(-,+,+,+)$, отсюда следует, что

$\varepsilon ^{IJKL}=-\varepsilon _{IJKL}.$

чтобы увидеть это, подумайте,

$\varepsilon ^{0123}=\eta ^{0I}\eta ^{1J}\eta ^{2K}\eta ^{3L}\varepsilon _{IJKL}=(-1)(1)(1)(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.$

С помощью этого определения можно получить следующие тождества:

${\begin{aligned}\varepsilon ^{IJKO}\varepsilon _{LMNO}&=-6\delta _{[L}^{I}\delta _{M}^{J}\delta _{N]}^{K}&&{\text{Eq. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Eq. 4}}\end{aligned}}$

(квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам).

Определение самодвойственного тензора

Это следует из уравнения. 4, что квадрат оператора двойственности минус единица,

$**T^{IJ}={1 \over 4}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}$

Знак минус здесь обусловлен знаком минус в уравнении. 4, что, в свою очередь, связано с подписью Минковского. Если бы мы использовали евклидову подпись, т.е. $(+,+,+,+)$, вместо этого был бы положительный знак. Мы определяем $S^{IJ}$ быть самодвойственным тогда и только тогда, когда

$*S^{IJ}=iS^{IJ}.$

(с евклидовой сигнатурой условие самодвойственности было бы $*S^{IJ}=S^{IJ}$). Сказать $S^{IJ}$ самодвойственен, запишите его как действительную и мнимую часть,

$S^{IJ}={1 \over 2}T^{IJ}+{\frac {i}{2}}U^{IJ}.$

Запишите самодвойственное условие в терминах $U$ и $V$,

$*\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right)={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\left(T^{KL}+iU^{KL}\right)=i\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right).$

Приравнивая реальные части, которые мы считываем

$U^{IJ}=-{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}$

и так

$S^{IJ}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)$

где $T^{IJ}$ это реальная часть $2S^{IJ}$.

Важный длительный расчет

Доказательство уравнения. 2 в прямом порядке. Начнем с получения первоначального результата. Из него легко следуют все остальные важные формулы. Из определения скобки Ли и с использованием основного тождества (ур. 3 у нас есть

${\begin{aligned}*[F,*G]^{IJ}&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}-{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \over 4}\left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^{K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^{J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K}G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K}G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^{IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{aligned}}$

Это дает формулу

$*[F,*G]^{IJ}=-[F,G]^{IJ}\qquad Eq.5.$

Получение важных результатов

Теперь используя уравнение 5 в сочетании с $**=-1$ мы получаем

$*(-[F,G]^{IJ})=*(*[F,*G]^{IJ})=**[F,*G]^{IJ}=-[F,*G]^{IJ}.$

Итак, у нас есть

$*[F,G]^{IJ}=[F,*G]^{IJ}\qquad Eq.6.$

Учитывать

$*[F,G]^{IJ}=-*[G,F]^{IJ}=-[G,*F]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}.$

где на первом этапе мы использовали антисимметрию скобки Ли для замены $F$ и $G$, на втором этапе мы использовали $Eq.6$ и на последнем шаге мы снова использовали антисимметрию скобки Ли. Итак, у нас есть

$*[F,G]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}\qquad Eq.7.$

Затем

${\begin{aligned}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Eq. 8}}\end{aligned}}$

где мы использовали уравнение. 6, переходя от первой строки ко второй строке. Аналогично у нас есть

$\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9$

используя уравнение 7. Теперь, когда $P^{(\pm )}$ это проекция, которая удовлетворяет $(P^{(\pm )})^{2}=P^{(\pm )}$, что легко проверить непосредственным вычислением:

${\begin{aligned}{}(P^{(\pm )})^{2}&={1 \over 4}(1\mp i*)(1\mp i*)\\{}&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{aligned}}$

Применяя это в сочетании с уравнением. 8 и уравнение. 9 получаем

${\begin{aligned}{}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&=\left((P^{(\pm )})^{2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ}\\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Eq.10.\end{aligned}}$

Из уравнения. 10 и уравнение. 9 у нас есть

$\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}+\left[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\right]^{IJ}$

где мы использовали это любое $G$ можно записать в виде суммы его самодуальной и антисамодвойственной частей, т.е. $G=P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G$. Это подразумевает:

${\begin{aligned}{}\left[P^{+}F,P^{-}G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{aligned}}$

Краткое изложение основных результатов

Всего у нас есть,

$\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}$

что является нашим основным результатом, уже сформулированным выше в виде уравнения. 2. Также известно, что любая скобка распадается как

$[F,G]^{IJ}=\left[P^{+}F+P^{-}F,P^{+}G+P^{-}F\right]^{IJ}=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]^{IJ}+\left[P^{-}F,P^{-}G\right]^{IJ}.$

на часть, которая зависит только от самодуальных лоренцевых тензоров и сама является самодвойственной частью $[F,G]^{IJ},$ и часть, зависящая только от антисамодуальных лоренцевых тензоров и являющаяся антиавтодуальной частью $[F,G]^{IJ}.$

Вывод формализма Аштекара из самодвойственного действия

Приведенное здесь доказательство следует доказательству, данному в лекциях Хорхе Пуллина.

Палатини Иск

$S(e,\omega )=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11$

где тензор Риччи, ${\Omega _{ab}}^{IJ}$, считается построенным исключительно из связи $\omega _{a}^{IJ}$, не используя поле кадра. Вариация по тетраде дает уравнения Эйнштейна, записанные в терминах тетрад, но для тензора Риччи, построенного из связи, не имеющей априорной связи с тетрадой. Изменения в отношении соединения говорят нам, что соединение удовлетворяет обычному условию совместимости.

$D_{b}e_{a}^{I}=0.$

Это определяет связь в терминах тетрады и мы восстанавливаем обычный тензор Риччи.

Самодвойственное действие для общей теории относительности приведено выше.

$S(e,A)=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]$

где $F$ это кривизна $A$, самодуальная часть $\omega$,

$A_{a}^{IJ}={1 \over 2}\left(\omega _{a}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}\omega _{a}^{MN}\right).$

Было показано, что $F[A]$ является самодвойственной частью $\Omega [\omega ].$

Позволять $q_{b}^{a}=\delta _{b}^{a}+n^{a}n_{b}$ быть проектором на три поверхности и определять векторные поля

$E_{I}^{a}=q_{b}^{a}e_{I}^{b},$

которые ортогональны $n^{a}$.

Письмо

$E_{I}^{a}=\left(\delta _{b}^{a}+n_{b}n^{a}\right)e_{I}^{b}$

тогда мы сможем написать

${\begin{aligned}\int &d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left(e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{aligned}}$

где мы использовали ${F_{ab}}^{IJ}={F_{ba}}^{JI}$ и $n^{a}n^{b}F_{ab}^{i}=0$.

Таким образом, действие можно записать

$S(E,A)=\int d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Eq.12$

У нас есть $e=N{\sqrt {q}}$. Теперь мы определяем

${\tilde {E}}_{I}^{a}={\sqrt {q}}E_{I}^{a}$

Внутренний тензор $S^{IJ}$ является самодвойственным тогда и только тогда, когда

$*S^{IJ}:={1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}S^{MN}=iS^{IJ}$

и учитывая кривизну ${F_{ab}}^{IJ}$ является самодвойственным, у нас есть

${F_{ab}}^{IJ}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}$

Подставив это в действие (уравнение 12), мы получим:

$S(E,A)=\int d^{4}x\left(-i{\frac {1}{2}}\left({\frac {N}{\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)$

где мы обозначили $n_{J}=e_{J}^{d}n_{d}$. Мы выбираем калибр ${\tilde {E}}_{0}^{a}=0$ и $n^{I}=\delta _{0}^{I}$ (это означает $n_{I}=\eta _{IJ}n^{J}=\eta _{00}\delta _{0}^{I}=-\delta _{0}^{I}$). Письмо $\varepsilon _{IJKL}n^{L}=\varepsilon _{IJK}$, что в этой калибровке $\varepsilon _{IJK0}=\varepsilon _{IJK}$. Поэтому,

${\begin{aligned}S(E,A)&=\int d^{4}x\left(-i{1 \over 2}\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{aligned}}$

Индексы $I,J,M$ диапазон более $1,2,3$ и мы сразу обозначим их строчными буквами. По самодвойственности $A_{a}^{IJ}$,

$A_{a}^{i0}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i0}}_{jk}A_{a}^{jk}=i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.$

где мы использовали

${\varepsilon ^{i0}}_{jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{0jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk0}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk}.$

Это подразумевает

${\begin{aligned}{F_{ab}}^{i0}&=\partial _{a}A_{b}^{i0}-\partial _{b}A_{a}^{i0}+A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak}\right)\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{aligned}}$

Заменяем во втором члене действия $Nn^{b}$ к $t^{b}-n^{b}$. Нам нужен

${\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}=t^{a}\partial _{a}A_{b}^{i}+A_{a}^{i}\partial _{b}t^{a}$

и

${\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=\partial _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}\left(t^{a}A_{a}^{k}\right)$

чтобы получить

${\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=t^{a}\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.$

Действие становится

${\begin{aligned}S&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tilde {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}+2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{aligned}}$

где мы поменяли местами фиктивные переменные $a$ и $b$ во втором члене первой линии. Интегрируя по частям по второму члену,

${\begin{aligned}\int d^{4}x{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tilde {E}}_{i}^{b}\left(\partial _{b}(t^{a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\partial _{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i}{\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}\end{aligned}}$

где мы отбросили граничный член и использовали формулу для ковариантной производной векторной плотности ${\tilde {V}}_{i}^{b}$:

${\mathcal {D}}_{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}=\partial _{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {V}}_{k}^{b}.$

Окончательная форма требуемого нам действия такова:

$S=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-2i\left(t^{a}A_{a}^{i}\right){\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}+\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)$

Существует термин вида " $p{\dot {q}}$«таким образом, количество ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ представляет собой сопряженный импульс $A_{a}^{i}$. Следовательно, мы можем сразу написать

$\left\{A_{a}^{i}(x),{\tilde {E}}_{j}^{b}(y)\right\}={i \over 2}\delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).$

Изменение действия по отношению к нединамическим величинам $(t^{a}A_{a}^{i})$, то есть временная составляющая четырехсвязности, функция сдвига $N^{b}$, и функция задержки $N$ дать ограничения

${\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0,$

$F_{ab}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{b}=0,$

$\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0\qquad Eq.13.$

Варьируется по отношению $N$ фактически дает последнее ограничение в уравнении. 13 разделить на ${\sqrt {q}}$, оно было изменено, чтобы сделать ограничение полиномиальным по фундаментальным переменным. Связь $A_{a}^{i}$ можно написать

$A_{a}^{i}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _{a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\omega _{a}^{0i}$

и

$E_{ci}\omega _{a}^{0i}=-q_{a}^{b}E_{ci}\omega _{b}^{i0}=-q_{a}^{b}E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d}=K_{ac}$

где мы использовали

$e_{d}^{0}=\eta ^{0I}g_{dc}e_{I}^{c}=-g_{dc}e_{0}^{c}=-n_{d},$

поэтому $\omega _{a}^{0i}=K_{a}^{i}$. Итак, связь читается

$A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}.$

Это так называемая киральная спиновая связь.

Условия реальности

Поскольку переменные Аштекара сложны, это приводит к сложной общей теории относительности. Чтобы восстановить реальную теорию, необходимо наложить так называемые условия реальности. Для этого требуется, чтобы уплотненная триада была реальной и чтобы действительная часть связи Аштекар равнялась совместимой спиновой связи.

Подробнее об этом будет сказано позже.

См. также

• Алгебра Ли
• Плебанский иск
• Модель БФ