Теорема о расщеплении

В математической области дифференциальной геометрии существуют различные теоремы расщепления о том, когда псевдориманово многообразие может быть задано как метрическое произведение. Наиболее известной является теорема о расщеплении Чигера-Громолла для римановых многообразий, хотя также проводились исследования расщепления лоренцевых многообразий .

Теорема о римановом расщеплении Чигера и Громолла

Любое связное риманово многообразие M имеет базовую структуру метрического пространства , и это позволяет определить геодезическую линию как отображение c : ℝ → M такое, что расстояние от c ( s ) до c ( t ) равно | т - с | для произвольных s и t . Это означает, что ограничение c на любой ограниченный интервал представляет собой кривую минимальной длины, соединяющую его концы.

В 1971 году Джефф Чигер и Детлеф Громолл доказали, что если геодезически полное и связное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи содержит любую геодезическую линию, то оно должно изометрически расщепляться как произведение полного риманова многообразия с ℝ . Позже доказательство было упрощено Йостом Эшенбургом и Эрнстом Хайнце. В 1936 году Стефан Кон-Воссен первоначально сформулировал и доказал теорему в случае двумерных многообразий, а Виктор Топоногов расширил работу Кон-Воссена на более высокие измерения при особом условии неотрицательной секционной кривизны .

Доказательство можно резюмировать следующим образом. Условие геодезической линии позволяет две функции Буземана определить . Их можно рассматривать как нормализованную функцию риманова расстояния до двух конечных точек линии. Согласно фундаментальной теореме сравнения Лапласа, доказанной ранее Эухенио Калаби , обе эти функции являются супергармоничными в соответствии с предположением о кривизне Риччи. Любая из этих функций может быть отрицательной в некоторых точках, но неравенство треугольника подразумевает, что их сумма неотрицательна. Сильный принцип максимума подразумевает, что сумма тождественно равна нулю и, следовательно, каждая функция Буземана фактически (слабо) является гармонической функцией . Из леммы Вейля следует бесконечная дифференцируемость функций Буземана. Затем доказательство можно завершить, используя формулу Бохнера для построения параллельных векторных полей , установив теорему о разложении де Рама . к теории римановых погружений . Альтернативно можно обратиться

В результате своей теоремы о расщеплении Чигер и Громолл смогли доказать, что универсальное покрытие любого замкнутого многообразия неотрицательной кривизны Риччи должно изометрически расщепляться как произведение замкнутого многообразия на евклидово пространство . Если универсальное накрытие топологически стягиваемо , то из этого следует, что все задействованные метрики должны быть плоскими .

Теорема лоренцева расщепления

В 1982 году Шинг-Тунг Яу предположил, что должна выполняться определенная лоренцева версия теоремы Чигера и Громолла. Доказательства различного уровня общности были найдены Йостом Эшенбургом, Грегори Галлоуэем и Ричардом Ньюманом. В этих результатах роль геодезической полноты заменяется либо условием глобальной гиперболичности , либо временемподобной геодезической полноты. Неотрицательность кривизны Риччи заменяется условием времениподобной сходимости , согласно которому кривизна Риччи неотрицательна во всех времениподобных направлениях. Геодезическая линия должна быть времениподобной.

Ссылки

Примечания.

Исторические статьи.

• Чигер, Джефф ; Громолл, Детлеф (1971). «Теорема расщепления многообразий неотрицательной кривизны Риччи» . Журнал дифференциальной геометрии . 6 (1): 119–128. дои : 10.4310/jdg/1214430220 . МР   0303460 . Збл   0223.53033 .
• Кон-Воссен, С. (1936). «Полная кривизна и геодезические линии на односвязных открытых полных поверхностях» . Математический сборник . 43 (2): 139–163. ЖФМ   62.0862.01 . Например,   0014.27601 .
• Топоногов В.А. (1964). «Римановы пространства, содержащие прямые линии». Переводы Американского математического общества . Вторая серия. 37 (Двадцать две статьи по алгебре, теории чисел и дифференциальной геометрии). Перевод Робинсона А.: 287–290. дои : 10.1090/trans2/037 . Збл   0138.42902 .
• Топоногов В.А. (1968). «Метрическая структура римановых пространств неотрицательной кривизны, содержащих прямые линии». Переводы Американского математического общества . Вторая серия. 70 (Тридцать одно приглашенное выступление (восемь реферативных) на Международном конгрессе математиков в Москве, 1966 г.). Перевод Уэста А.: 225–239. дои : 10.1090/trans2/070 . Збл   0187.43801 .
• Яу, Шинг Тунг (1982). «Проблемный раздел». В Яу, Шинг-Тунг (ред.). Семинар по дифференциальной геометрии . Анналы математических исследований. Том. 102. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 669–706. дои : 10.1515/9781400881918-035 . МР   0645762 . Збл   0479.53001 . Перепечатано в Schoen & Yau (1994) .

Учебники.

• Бим, Джон К.; Эрлих, Пол Э.; Исли, Кевин Л. (1996). Глобальная лоренцева геометрия . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. Том. 202 (Второе издание оригинальной редакции 1981 г.). Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc. doi : 10.1201/9780203753125 . ISBN  0-8247-9324-2 . МР   1384756 . Збл   0846.53001 .
• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN  3-540-15279-2 . МР   0867684 . Збл   0613.53001 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN  978-3-319-26652-7 . МР   3469435 . Збл   1417.53001 .
• Шон, Р .; Яу, С.-Т. (1994). Лекции по дифференциальной геометрии . Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии. Том. 1. Перевод Дин, Вэй Юэ; Ченг, С.Ю. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-012-8 . МР   1333601 . Збл   0830.53001 .