Конформная геометрия

В математике — конформная геометрия это изучение набора сохраняющих угол ( конформных ) преобразований в пространстве.

В реальном двумерном пространстве конформная геометрия — это в точности геометрия римановых поверхностей . В пространстве выше двух измерений конформная геометрия может относиться либо к изучению конформных преобразований так называемых «плоских пространств» (таких как евклидовы пространства или сферы ), либо к изучению конформных многообразий , которые являются римановыми или псевдоримановыми многообразиями. с классом метрик , которые определены в масштабе. Изучение плоских структур иногда называют геометрией Мёбиуса и является разновидностью геометрии Клейна .

Конформные многообразия

Конформное многообразие — это псевдориманово многообразие, снабженное классом эквивалентности метрических тензоров , в котором две метрики g и h эквивалентны тогда и только тогда, когда

$h=\lambda ^{2}g,$

где λ — вещественная гладкая функция, определенная на многообразии и называемая конформным фактором . Класс эквивалентности таких метрик известен как конформная метрика или конформный класс . Таким образом, конформную метрику можно рассматривать как метрику, которая определяется только «до масштаба». Часто конформные метрики обрабатываются путем выбора метрики из конформного класса и применения к выбранной метрике только «конформно-инвариантных» конструкций.

Конформная метрика является конформно плоской, если существует представляющая ее метрика, которая является плоской в ​​обычном смысле, когда тензор кривизны Римана обращается в нуль. В конформном классе можно найти только метрику, плоскую в открытой окрестности каждой точки. При необходимости различать эти случаи последний называют локально конформно плоским , хотя часто в литературе никакого различия не выдерживают. -сфера n — это локально конформно плоское многообразие, которое не является глобально конформно плоским в этом смысле, тогда как евклидово пространство, тор или любое конформное многообразие, покрытое открытым подмножеством евклидова пространства, является (глобально) конформно плоским в этом смысле. смысл. Локально конформно плоское многообразие локально конформно геометрии Мёбиуса , что означает, что существует угол, сохраняющий локальный диффеоморфизм многообразия в геометрию Мёбиуса. В двух измерениях каждая конформная метрика локально конформно плоская. В размерности n > 3 конформная метрика является локально конформно плоской тогда и только тогда, когда ее Тензор Вейля исчезает; в размерности n = 3 тогда и только тогда, когда тензор Коттона обращается в нуль.

Конформная геометрия имеет ряд особенностей, отличающих ее от (псевдо)римановой геометрии. Во-первых, хотя в (псевдо)римановой геометрии в каждой точке имеется четко определенная метрика, в конформной геометрии существует только класс метрик. Таким образом, длину касательного вектора определить невозможно, но угол между двумя векторами можно определить. Другой особенностью является отсутствие связи Леви-Чивита , поскольку если g и λ ² g — два представителя конформной структуры, то Кристоффеля g λ и символы ² г не согласился бы. Связанные с λ ² g будет включать производные функции λ, тогда как те, которые связаны с g, не будут.

Несмотря на эти различия, конформная геометрия по-прежнему доступна. Связность Леви-Чивита и тензор кривизны , хотя и определяются только после того, как был выделен конкретный представитель конформной структуры, все же удовлетворяют определенным законам преобразования, включающим λ и его производные, когда выбирается другой представитель. В частности, (в размерности выше 3) тензор Вейля оказывается не зависящим от λ и, следовательно, является конформным инвариантом . Более того, даже несмотря на то, что на конформном многообразии нет соединения Леви-Чивита, вместо этого можно работать с конформным соединением , которое можно рассматривать либо как тип соединения Картана, смоделированного на соответствующей геометрии Мёбиуса, либо как соединение Вейля . Это позволяет определить конформную кривизну и другие инварианты конформной структуры.

геометрия Мёбиуса

Геометрия Мёбиуса — это изучение « евклидова пространства с добавленной на бесконечности точкой» или « пространства Минковского (или псевдоевклидова) с добавленным на бесконечности нулевым конусом ». То есть сеттинг представляет собой компактификацию привычного пространства; геометрия . связана с последствиями сохранения углов

На абстрактном уровне евклидово и псевдоевклидово пространство можно обрабатывать практически одинаково, за исключением случая второго измерения. Компактифицированная двумерная плоскость Минковского демонстрирует обширную конформную симметрию . Формально его группа конформных преобразований бесконечномерна. Напротив, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости всего лишь 6-мерна.

Два измерения

Самолет Минковского

Конформная группа для квадратичной формы Минковского q ( x , y ) = 2 xy на плоскости является абелевой группой Ли.

$\operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},$

с алгеброй Ли cso (1, 1), состоящей из всех вещественных диагональных размера 2 × 2 матриц .

Рассмотрим теперь плоскость Минковского: $\mathbb {R} ^{2}$ оснащен метрической системой

$g=2\,dx\,dy~.$

Однопараметрическая группа конформных преобразований порождает векторное поле X со свойством, что производная Ли от g вдоль X пропорциональна g . Символически,

L _Икс g знак равно λg для некоторого λ .

В частности, используя приведенное выше описание алгебры Ли cso (1, 1) , отсюда следует, что

1. L _Икс   dx знак равно а ( x ) dx
2. L _Икс   dy знак равно б ( y ) dy

для некоторых действительных функций a и b , зависящих соответственно от x и y .

И наоборот, для любой такой пары вещественных функций существует векторное поле X, удовлетворяющее условиям 1 и 2. Следовательно, алгебра Ли инфинитезимальных симметрий конформной структуры, алгебра Витта , бесконечномерна .

Конформная компактификация плоскости Минковского представляет собой декартово произведение двух окружностей S ¹ × С ¹ . На универсальном накрытии нет препятствий для интегрирования бесконечно малых симметрий, поэтому группа конформных преобразований представляет собой бесконечномерную группу Ли

$(\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),$

где Diff( S ¹ ) — группа диффеоморфизмов окружности.

Конформная группа CSO(1, 1) и ее алгебра Ли представляют современный интерес в двумерной конформной теории поля .

Смотрите также: алгебра Вирасоро

Евклидово пространство

Координатная сетка до преобразования Мёбиуса

Та же сетка после преобразования Мёбиуса

Группа конформных симметрий квадратичной формы

$q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}$

есть группа GL ₁ ( C ) = C ^× , мультипликативная группа комплексных чисел. Его алгебра Ли — gl ₁ ( C ) = C .

Рассмотрим (евклидову) комплексную плоскость, снабженную метрикой

$g=dz\,d{\bar {z}}.$

Инфинитезимальные конформные симметрии удовлетворяют

1. $\mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz$
2. $\mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},$

где f удовлетворяет уравнению Коши–Римана и поэтому голоморфна в своей области определения. (См. «Алгебра Витта» .)

Таким образом, конформные изометрии области состоят из голоморфных автоотображений. В частности, на конформной компактификации – сфере Римана – конформные преобразования задаются преобразованиями Мёбиуса

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$

где ad − bc не равно нулю.

Высшие измерения

В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть достаточно большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Сравнительная недостаточная жесткость двумерного случая по сравнению с случаем более высоких измерений обусловлена ​​аналитическим фактом, что асимптотические развития бесконечно малых автоморфизмов структуры относительно неограничены. В лоренцевой сигнатуре свобода находится в паре вещественнозначных функций. В евклидовом языке свобода заключена в одной голоморфной функции.

В случае более высоких размерностей асимптотические развития бесконечно малых симметрий представляют собой не более чем квадратичные полиномы. В частности, они образуют конечномерную алгебру Ли . Поточечные инфинитезимальные конформные симметрии многообразия могут быть проинтегрированы именно тогда, когда многообразие представляет собой определенное модельное конформно плоское пространство ( с точностью до взятия универсальных накрытий и дискретных групповых факторов).

Общая теория конформной геометрии аналогична, хотя и с некоторыми различиями, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатур. В любом случае существует несколько способов введения модельного пространства конформно плоской геометрии. Если иное не ясно из контекста, в этой статье рассматривается случай евклидовой конформной геометрии с пониманием того, что она также применима, mutatis mutandis , к псевдоевклидовой ситуации.

Инверсивная модель

Инверсивная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований евклидова пространства E ^н порождается инверсией сфер. По теореме Лиувилля любое локальное (конформное) преобразование, сохраняющее угол, имеет такой вид. С этой точки зрения, свойства преобразования плоского конформного пространства аналогичны свойствам инверсной геометрии .

Проективная модель

Проективная модель отождествляет конформную сферу с некоторой квадрикой в ​​проективном пространстве . Обозначим через q лоренцеву квадратичную форму на R ^{п +2} определяется

$q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.$

В проективном пространстве P ( R ^{п +2} ), пусть S будет местом q = 0 . Тогда S — проективная (или Мёбиуса) модель конформной геометрии. Конформное преобразование на S — это линейное преобразование P R ( проективное ^{п +2} ), что оставляет квадрику инвариантной.

В родственной конструкции квадрика S рассматривается как небесная сфера на бесконечности нулевого конуса в пространстве Минковского R. ^{п +1,1} , который снабжен квадратичной формой q, как указано выше. Нулевой конус определяется формулой

$N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.$

аффинный конус над проективной квадрикой S. Это Пусть N ⁺ быть будущей частью нулевого конуса (с удаленным началом координат). Тогда тавтологическая проекция R ^{п +1,1} \ {0} → P ( R ^{п +2} ) ограничивается проекцией N ⁺ → С . Это дает Н ⁺ структура линейного расслоения над S . на S индуцируются ортохронными преобразованиями Лоренца R Конформные преобразования ^{п +1,1} , поскольку это однородные линейные преобразования, сохраняющие будущий нулевой конус.

Евклидова сфера

Интуитивно понятно, что конформно-плоская геометрия сферы менее жесткая, чем риманова геометрия сферы. Конформные симметрии сферы порождаются инверсией во всех ее гиперсферах . С другой стороны, римановы изометрии сферы порождены инверсиями в геодезических гиперсферах (см. теорему Картана – Дьедонне ). Евклидова сфера может быть отображена в конформную сферу каноническим образом, но не наоборот.

Евклидова единичная сфера - это место в R ^{п +1}

$z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.$

Это можно отобразить в пространстве Минковского R. ^{п +1,1} позволяя

$x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.$

Легко видеть, что образ сферы при таком преобразовании равен нулю в пространстве Минковского и, следовательно, лежит на конусе N ⁺ . Следовательно, он определяет сечение линейного расслоения N ⁺ → С .

Тем не менее выбор был произвольный. Если κ ( x функция от x = ( z , x0 _, , ..., ) _xn ) — любая положительная то назначение

$x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}$

также дает отображение в N ⁺ . Функция κ представляет собой произвольный выбор конформной шкалы .

Репрезентативные показатели

Представительная риманова метрика на сфере — это метрика, пропорциональная стандартной метрике сферы. Это дает реализацию сферы как конформного многообразия . Стандартная метрика сферы — это ограничение евклидовой метрики на R ^{п +1}

$g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}$

в сферу

$z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.$

Конформным представителем g является метрика вида λ ² g , где λ — положительная функция на сфере. Конформный класс g , обозначаемый [ g ], представляет собой совокупность всех таких представителей:

$[g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.$

Вложение евклидовой сферы в N ⁺ , как и в предыдущем разделе, определяет конформную шкалу на S . И наоборот, любая конформная шкала на S задается таким вложением. Таким образом, линейное расслоение N ⁺ → S отождествляется с пучком конформных шкал на S : дать сечение этого расслоения равносильно указанию метрики в конформном классе [ g ].

Модель показателей окружающей среды

См. Также: Окружающее строительство.

Другой способ реализовать репрезентативные метрики — использовать специальную систему координат на R. ^{п +1, 1} . Предположим, что евклидова n -сфера S несет в себе стереографическую систему координат . Это состоит из следующей карты R ^н → С ⊂ Р ^{п +1} :

$\mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.$

В терминах этих стереографических координат можно задать систему координат на нулевом конусе N ⁺ в пространстве Минковского. Используя приведенное выше вложение, представительное метрическое сечение нулевого конуса равно

$x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.$

Введем новую переменную t, соответствующую расширениям вверх N ⁺ , так что нулевой конус координируется

$x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.$

Наконец, пусть ρ — следующая определяющая функция N ⁺ :

$\rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.$

В координатах t , ρ , y на R ^{п +1,1} , метрика Минковского принимает вид:

$t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,$

где g _ij — метрика на сфере.

В этих терминах сечение расслоения N ⁺ состоит из указания значения переменной t = t ( y ^я ) как функция y ^я вдоль нулевого конуса ρ = 0 . Это дает следующего представителя конформной метрики на S :

$t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.$

Кляйнианская модель

Рассмотрим сначала случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. n + -мерная модель представляет собой небесную сферу пространства ( n 2) -мерного лоренцева R ^{п +1,1} . Здесь модель представляет собой геометрию Клейна : однородное пространство G / H, где G = SO( n + 1, 1) , действующее на ( n + 2) -мерное лоренцево пространство R. ^{п +1,1} H — группа изотропии фиксированного нулевого луча в световом конусе . Таким образом, конформно плоские модели являются пространствами инверсной геометрии . Для псевдоевклидова метрической сигнатуры ( p , q ) плоская геометрия модели определяется аналогично однородному пространству O( p + 1, q + 1)/ H , где H снова принимается как стабилизатор нулевой линии. Обратите внимание, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельные пространства компактны .

Конформные алгебры Ли

Чтобы описать группы и алгебры, участвующие в плоском модельном пространстве, зафиксируйте на R следующую форму: ^{р +1, д +1} :

$Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

где J — квадратичная форма подписи ( p , q ) . Тогда G = O( p +1, q +1) состоит из ( n +2)×( n +2) матриц, стабилизирующих Q : ^т MQM = Q. ​Алгебра Ли допускает разложение Картана

$\mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}$

где

$\mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}$

$\mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.$

Альтернативно, это разложение согласуется с естественной структурой алгебры Ли, определенной на R ^н ⊕ cso ( п , q ) ⊕ ( р ^н ) ^∗ .

Стабилизатор нулевого луча, направленного вверх по последнему координатному вектору, задается борелевской подалгеброй

час знак равно г ₀ ⊕ г ₁ .

См. также

• Конформная геометрическая алгебра
• Конформная гравитация
• Конформное уравнение Киллинга
• Эрлангенская программа
• план Мёбиуса

Ссылки

• Кобаяши, Шошичи (1970). Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Первое изд.). Спрингер. ISBN  3-540-05848-6 .
• Словак, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях . Конспект исследовательских лекций, Венский университет (Диссертация).
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии . Нью-Йорк: Челси. ISBN  0-8284-0316-3 .

Внешние ссылки

• Г. В. Бушманова (2001) [1994], «Конформная геометрия» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm