Конформное векторное поле Киллинга

В конформной геометрии — конформное векторное поле Киллинга на многообразии размерности n . с (псевдо)римановой метрикой $g$ (также называемый конформным вектором Киллинга, CKV или конформной колинеацией), представляет собой векторное поле $X$ чей (локально определенный) поток определяет конформные преобразования , то есть сохраняет $g$ до масштаба и сохранить конформную структуру. Несколько эквивалентных формулировок, называемых конформным уравнением Киллинга , существуют в терминах производной Ли потока, например ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ для какой-то функции $\lambda$ на коллекторе. Для $n\neq 2$ существует конечное число решений, определяющих конформную симметрию этого пространства, но в двух измерениях существует бесконечное число решений . Имя Киллинг относится к Вильгельму Киллингу , который первым исследовал векторные поля Киллинга .

Уплотненный метрический тензор и конформные векторы Киллинга

Векторное поле $X$ является векторным полем Киллинга тогда и только тогда, когда его поток сохраняет метрический тензор $g$ (строго говоря, для каждого компактного подмножества многообразия поток необходимо определить только для конечного времени). Сформулировано математически, $X$ убивает тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет

${\mathcal {L}}_{X}g=0.$

где ${\mathcal {L}}_{X}$ является производной Ли.

В более общем смысле, определите векторное поле w -Киллинга. $X$ как векторное поле, (локальный) поток которого сохраняет уплотненную метрику $g\mu _{g}^{w}$, где $\mu _{g}$ объемная плотность, определяемая формулой $g$ (т.е. локально $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$) и $w\in \mathbf {R}$ это его вес. Обратите внимание, что векторное поле Киллинга сохраняет $\mu _{g}$ и поэтому автоматически удовлетворяет этому более общему уравнению. Также обратите внимание, что $w=-2/n$ это уникальный вес, который делает комбинацию $g\mu _{g}^{w}$ инвариант относительно масштабирования метрики. Поэтому в данном случае условие зависит только от конформной структуры . Сейчас $X$ является векторным полем w -Киллинга тогда и только тогда, когда

${\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.$

С ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ это эквивалентно

${\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.$

Проследив обе стороны, делаем вывод $2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)$. Следовательно, для $w\neq -2/n$, обязательно $\operatorname {div} (X)=0$ а векторное поле w -Киллинга — это просто нормальное векторное поле Киллинга, поток которого сохраняет метрику. Однако для $w=-2/n$, поток $X$ должно сохранять только конформную структуру и по определению является конформным векторным полем Киллинга .

Эквивалентные составы

Следующие действия эквивалентны

1. $X$ — конформное векторное поле Киллинга,
2. (локально определенный) поток $X$ сохраняет конформную структуру,
3. ${\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,$
4. ${\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,$
5. ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ для какой-то функции $\lambda .$

Приведенное выше обсуждение доказывает эквивалентность всех форм, кроме, казалось бы, более общей последней формы. Однако две последние формы также эквивалентны: взятие следов показывает, что обязательно $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$.

Последняя форма ясно показывает, что любой вектор Киллинга также является конформным вектором Киллинга, причем $\lambda \cong 0.$

Конформное уравнение Киллинга

Используя это ${\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }$ где $\nabla$ является производной Levi Civita от $g$ (также известная как ковариантная производная) и $X^{\flat }=g(X,\cdot )$ это двойственная форма 1 $X$ (он же связанный ковариантный вектор, он же вектор с пониженными индексами) и ${}^{\mathrm {symm} }$ является проекцией на симметричную часть, конформное уравнение Киллинга можно записать в абстрактных индексных обозначениях как

$\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.$

Еще одно индексное обозначение для записи конформных уравнений Киллинга:

$X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.$

Примеры

Плоское пространство

В $n$-мерное плоское пространство, то есть евклидово пространство или псевдоевклидово пространство , существуют глобально плоские координаты, в которых мы имеем постоянную метрику $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$ где в космосе с подписью $(p,q)$, у нас есть компоненты $(\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)$. В этих координатах компоненты связности обращаются в нуль, поэтому ковариантная производная является координатной производной. Конформное уравнение Киллинга в плоском пространстве имеет вид $$\partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.$$Решения конформного уравнения Киллинга в плоском пространстве включают решения уравнения Киллинга в плоском пространстве, обсуждаемые в статье о векторных полях Киллинга. Они порождают группу Пуанкаре изометрий плоского пространства. Учитывая анзац $X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },$, удалим антисимметричную часть $M^{\mu \nu }$ поскольку это соответствует известным решениям, и мы ищем новые решения. Затем $M^{\mu \nu }$ является симметричным. Отсюда следует, что это расширение , причем $M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }$ серьезно $\lambda$и соответствующий вектор Киллинга $X^{\mu }=\lambda x^{\mu }$.

Из общего решения есть $n$ больше генераторов, известных как специальные конформные преобразования , заданные формулой

$X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },$

где бесследная часть $c_{\mu \nu \rho }$ над $\mu ,\nu$ исчезает, следовательно, может быть параметризовано выражением $c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }$.

showОбщее решение конформного уравнения Киллинга (в более чем двух измерениях)

For convenience we rewrite the conformal Killing equation as$$\partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }=f(\mathbf {x} )g_{\mu \nu }.$$(By taking traces we can recover $f(\mathbf {x} )={\frac {2}{n}}\partial _{\rho }X^{\rho }.$) Applying an extra derivative, relabelling indices and taking a linear combination of the resulting equations gives$$2\partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=\eta _{\mu \rho }\partial _{\nu }f+\eta _{\nu \rho }\partial _{\mu }f-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }f.$$Contracting on $\mu ,\nu$ gives$$2\partial ^{2}X_{\rho }=(2-n)\partial _{\rho }f.$$A combination of derivatives of this and the original conformal Killing equation gives$$(2-n)\partial _{\mu }\partial _{\nu }f=\eta _{\mu \nu }\partial ^{2}f,$$and contracting gives$$(d-1)\partial ^{2}f=0.$$Now focussing on the case $d\geq 3$, the two previous equations together show $\partial _{\mu }\partial _{\nu }f=0$, so $f$ isat most linear in the coordinates. Substituting into an earlier equation gives that $\partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }$ is constant, so $X_{\mu }$is at most quadratic in coordinates, with general form$$X_{\mu }=a_{\mu }+b_{\mu \nu }x^{\nu }+c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho }.$$

Вместе $n$ переводы, $n(n-1)/2$ преобразования Лоренца, $1$ расширение и $n$ специальные конформные преобразования составляют конформную алгебру, порождающую конформную группу псевдоевклидова пространства.

См. также

• Аффинное векторное поле
• Конформный тензор Киллинга
• Коллинеация кривизны
• Многообразие Эйнштейна
• Гомотетическое векторное поле
• Инвариантный дифференциальный оператор
• Убийственное векторное поле
• Коллинеация материи
• Симметрии пространства-времени

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Уолд, Р.М. (1984). Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета.