Инвариантный дифференциальный оператор

В математике и теоретической физике инвариантный дифференциальный оператор — это своего рода математическое отображение некоторых объектов на объект аналогичного типа. Эти объекты обычно функциями являются $\mathbb {R} ^{n}$, функции на многообразии , векторные функции, векторные поля или, в более общем плане, секции векторного расслоения .

В инвариантном дифференциальном операторе $D$термин дифференциальный оператор указывает, что значение $Df$ карты зависит только от $f(x)$ и производные от $f$ в $x$. Слово инвариант указывает на то, что оператор обладает некоторой симметрией . Это означает, что существует группа $G$ с групповым действием на функции (или другие рассматриваемые объекты), и это действие сохраняется оператором:

$D(g\cdot f)=g\cdot (Df).$

Обычно действие группы имеет смысл изменения координат (смены наблюдателя), а инвариантность означает, что оператор имеет одно и то же выражение во всех допустимых координатах.

Инвариантность на однородных пространствах

Пусть M = G / H — однородное пространство для группы Ли G и подгруппы Ли H. Каждое представление $\rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )$ дает начало векторному расслоению

$V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{where}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{and}}\;v\in \mathbb {V} .$

Разделы $\varphi \in \Gamma (V)$ можно отождествить с

$\Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.$

В этой форме группа G действует на сечениях через

$(\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').$

Теперь пусть V и W два векторных расслоения над M. — Тогда дифференциальный оператор

$d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)$

который отображает сечения V в сечения W, называется инвариантным, если

$d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).$

для всех разделов $\varphi$ в $\Gamma (V)$ и элементы g в G . Все линейные инвариантные дифференциальные операторы в однородных параболических геометриях , т. е. когда G полупроста и H — параболическая подгруппа, задаются двойственно гомоморфизмами обобщенных модулей Вермы .

Инвариантность с точки

Учитывая две связи $\nabla$ и ${\hat {\nabla }}$ и одна форма $\omega$, у нас есть

$\nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}$

для некоторого тензора $Q_{ab}{}^{c}$. Учитывая класс эквивалентности связностей $[\nabla ]$, мы говорим, что оператор инвариантен, если форма оператора не меняется при переходе от одной связи класса эквивалентности к другой. Например, если рассматривать класс эквивалентности всех связностей без кручения , то тензор Q симметричен по своим нижним индексам, т.е. $Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}$. Поэтому мы можем вычислить

$\nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},$

где скобки обозначают косую симметризацию. Это показывает инвариантность внешней производной при воздействии на одну форму.Классы эквивалентности связностей естественным образом возникают в дифференциальной геометрии, например:

• в конформной геометрии класс эквивалентности связностей задается связностями Леви Чивиты всех метрик конформного класса;
• в проективной геометрии класс эквивалентности связности задается всеми связностями, имеющими одни и те же геодезические ;
• в CR-геометрии класс эквивалентности связностей задается связностями Танаки-Вебстера для каждого выбора псевдоэрмитовой структуры.

Примеры

1. Обычный градиента оператор $\nabla$ действие на вещественные функции в евклидовом пространстве инвариантно относительно всех евклидовых преобразований .
2. Дифференциал , действующий на функции на многообразии со значениями в 1-формах (его выражение:
        $d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}$
   в любых локальных координатах) инвариантен относительно всех гладких преобразований многообразия (действие преобразования на дифференциальные формы — это всего лишь обратный образ ).
3. В более общем смысле, внешняя производная
        $d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)$
   действующее на n -формах любого гладкого многообразия M, инвариантно относительно всех гладких преобразований. Можно показать, что внешняя производная является единственным линейным инвариантным дифференциальным оператором между этими расслоениями.
4. Оператор Дирака в физике инвариантен относительно группы Пуанкаре (если мы выберем правильное действие группы Пуанкаре на спинорнозначные функции. Однако это тонкий вопрос, и если мы хотим сделать его математически строгим, мы должны сказать что она инвариантна относительно группы, являющейся двойным накрытием группы Пуанкаре)
5. Конформное уравнение Киллинга
        $X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}$
   — конформно-инвариантный линейный дифференциальный оператор между векторными полями и симметричными бесследовыми тензорами.

Конформная инвариантность

• 
  Сфера (здесь показана красным кружком) как конформное однородное многообразие.

Учитывая метрику

$g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}$

на $\mathbb {R} ^{n+2}$, мы можем написать сферу $S^{n}$ как пространство образующих нулевого конуса

$S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.$

Таким образом, плоской моделью конформной геометрии является сфера. $S^{n}=G/P$ с $G=SO_{0}(n+1,1)$ и P стабилизатор точки в $\mathbb {R} ^{n+2}$. Известна классификация всех линейных конформно-инвариантных дифференциальных операторов на сфере (Иствуд, Райс, 1987).

См. также

• Дифференциальные операторы
• Инвариант Лапласа
• Инвариантная факторизация LPDO

Ссылки

• Словак, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях . Конспект исследовательских лекций, Венский университет (Диссертация).
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993). Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) . Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк. Архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. Проверено 5 января 2011 г.
• Иствуд, Миннесота; Райс, JW (1987). «Конформно-инвариантные дифференциальные операторы в пространстве Минковского и их искривленные аналоги» . Коммун. Математика. Физ . 109 (2): 207–228. Бибкод : 1987CMaPh.109..207E . дои : 10.1007/BF01215221 . S2CID   121161256 .
• Кроеске, Йенс (2008). «Инвариантные билинейные дифференциальные пары в параболических геометриях». Докторская диссертация Университета Аделаиды . arXiv : 0904.3311 . Бибкод : 2009PhDT.......274K .