Компактификация (математика)

В математике , в общей топологии , компактификация — это процесс или результат превращения топологического пространства в компактное . ^[1] Компакт — это пространство, в котором каждое открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Методы компактификации различны, но каждый из них представляет собой способ предотвращения «ухода точек на бесконечность» путем добавления каким-либо образом «точек на бесконечности» или предотвращения такого «убегания».

Пример

Рассмотрим реальную линию с ее обычной топологией. Это пространство не компактно; в некотором смысле точки могут уходить в бесконечность влево или вправо. Реальную линию можно превратить в компакт, добавив одну «бесконечную точку», которую мы обозначим через ∞. Полученная компактификация гомеоморфна окружности на плоскости (которая, как замкнутое и ограниченное подмножество евклидовой плоскости, компактна). Каждая последовательность, устремившаяся на бесконечность в вещественной прямой, затем будет сходиться к ∞ в этой компактификации. Направление, в котором число приближается к бесконечности на числовой прямой (либо в направлении -, либо в направлении +), по-прежнему сохраняется на окружности; ибо если число приближается к бесконечности со стороны - на числовой прямой, то соответствующая точка на круге может приближаться к ∞, например, слева. Тогда, если число приближается к бесконечности со стороны + на числовой прямой, то соответствующая точка на окружности может приближаться к ∞ справа.

Интуитивно процесс можно изобразить следующим образом: сначала сжать действительную линию до открытого интервала (− $π$ , $π$ ) на оси x ; затем согните концы этого интервала вверх (в положительном направлении y ) и перемещайте их навстречу друг другу, пока не получите круг, в котором отсутствует одна точка (самая верхняя). Эта точка — наша новая точка ∞ «на бесконечности»; добавление его завершает компактный круг.

Немного более формально: мы обозначаем точку на единичной окружности ее углом в радианах , от - $π$ до $π$ для простоты. Отождествите каждую такую точку θ на окружности с соответствующей точкой на вещественной прямой tan ( θ /2). Эта функция не определена в точке $π$ , поскольку tan( $π$ /2) не определен; мы отождествим эту точку с нашей точкой ∞.

Поскольку касательные и обратные касательные непрерывны, наша идентификационная функция представляет собой гомеоморфизм между вещественной прямой и единичной окружностью без ∞. То, что мы построили, называется одноточечной компактификацией по Александрову действительной прямой и более обобщенно обсуждается ниже. Также возможно компактифицировать действительную линию, добавив две точки: +∞ и −∞; это приводит к расширенной реальной линии .

Определение

Вложение X топологического пространства в плотное подмножество называется компактификацией X . компакта Часто бывает полезно вложить топологические пространства в компакты из-за особых свойств компактных пространств.

вложения в бикомпакты Особый интерес могут представлять . Поскольку всякий бикомпак является тихоновским пространством , а каждое подпространство тихоновского пространства является тихоновским, мы заключаем, что любое пространство, обладающее хаусдорфовой компактификацией, должно быть тихоновским пространством. На самом деле верно и обратное; быть тихоновским пространством необходимо и достаточно для существования хаусдорфовой компактификации.

Тот факт, что большие и интересные классы некомпактных пространств действительно имеют компактификации определенного типа, делает компактификацию обычным методом в топологии.

Одноточечная компактификация Александрова

Для любого некомпактного топологического пространства X ( александровская ) одноточечная компактификация α X пространства X получается добавлением одной дополнительной точки ∞ (часто называемой точкой на бесконечности ) и определением открытых множеств нового пространства как открытых множеств X вместе с множествами вида G ∪ {∞}, где G — открытое подмножество X такое, что $X\setminus G$ закрыт и компактен. Одноточечная компактификация X хаусдорфова тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно . ^[2]

Стоун-Чехская компактификация

Особый интерес представляют хаусдорфовые компактификации, т. е. такие компактификации, в которых бикомпакт хаусдорфов . Топологическое пространство имеет хаусдорфову компактификацию тогда и только тогда, когда оно тихоновское . В этом случае существует единственная ( с точностью до гомеоморфизма ) «самая общая» хаусдорфова компактификация — Стоуна–Чеха X βX , обозначаемая компактификация ; формально это демонстрирует категорию компактных хаусдорфовых пространств и непрерывных отображений как отражающую подкатегорию категории тихоновских пространств и непрерывных отображений.

«Наиболее общий» или формально «рефлексивный» означает, что пространство βX характеризуется универсальным свойством , заключающимся в том, что любая непрерывная функция из X в компактное хаусдорфово пространство K может быть продолжена до непрерывной функции из βX в K единственным способом. Более явно, βX — это компактное хаусдорфово пространство, содержащее X такое, что индуцированная βX топология X совпадает на существует с заданной топологией на X , и для любого непрерывного отображения f : X → K , где K — компактное хаусдорфово пространство, — единственное непрерывное отображение g : βX → K , для которого g , ограниченное X, тождественно f .

Компактификацию Стоуна-Чеха можно построить явно следующим образом: пусть C — множество непрерывных функций от X до отрезка [0, 1] . Тогда каждую точку в X можно идентифицировать с помощью оценочной функции C. на Таким образом, X можно отождествить с подмножеством [0, 1] ^С, пространство всех функций от C до [0, 1] . Поскольку последнее компактно по теореме Тихонова , замыкание X как подмножества этого пространства также будет компактным. Это компактификация Стоуна-Чеха. ^[3]^[4]

Компактификация пространства-времени

Уолтер Бенц и Исаак Яглом показали, как стереографическую проекцию на однолистный гиперболоид можно использовать для обеспечения компактификации разделенных комплексных чисел . Фактически гиперболоид является частью квадрики в вещественном проективном четырехмерном пространстве. Метод аналогичен тому, который используется для создания базового многообразия для группового действия конформной группы пространства-времени . ^[5]

Проективное пространство

Реальное проективное пространство РП ^н является компактификацией евклидова пространства R ^н. Для каждого возможного «направления», в котором точки в R ^н может «убежать», добавляется одна новая точка в бесконечности (но каждое направление отождествляется со своей противоположностью). Одноточечная компактификация Александрова R, которую мы построили в приведенном выше примере, на самом деле гомеоморфна RP. ¹. Однако заметим, что проективная плоскость RP ² является не одноточечной компактификацией плоскости R ² так как добавляется более одной точки.

Комплексное проективное пространство CP ^н также является компактификацией C ^н; одноточечная компактификация Александрова плоскости C (гомеоморфна) комплексной проективной прямой CP ¹, которую, в свою очередь, можно отождествить со сферой, сферой Римана .

Переход к проективному пространству является распространенным инструментом в алгебраической геометрии, поскольку добавление точек на бесконечности приводит к более простым формулировкам многих теорем. Например, любые две разные строки в RP ² пересекаются ровно в одной точке, что неверно в R ². В более общем смысле, теорема Безу , которая является фундаментальной в теории пересечений , справедлива в проективном пространстве, но не в аффинном пространстве. Это различное поведение пересечений в аффинном пространстве и проективном пространстве отражается в алгебраической топологии в кольцах когомологий : когомологии аффинного пространства тривиальны, в то время как когомологии проективного пространства нетривиальны и отражают ключевые особенности теории пересечений (размерность и степень подмногообразия, при этом пересечение двойственно по Пуанкаре чашечному произведению ).

Компактификация пространств модулей обычно требует разрешения определенных вырождений, например, допуска определенных особенностей или приводимых многообразий. Это особенно используется в компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей алгебраических кривых .

Компактификация и дискретные подгруппы групп Ли

При изучении дискретных подгрупп групп Ли фактор- пространство смежных часто классов является кандидатом на более тонкую компактификацию для сохранения структуры на более богатом уровне, чем просто топологический.

Например, модульные кривые компактифицируются добавлением отдельных точек для каждой точки возврата , что делает их римановыми поверхностями (и, поскольку они являются компактными, алгебраическими кривыми ). Здесь каспы присутствуют по уважительной причине: кривые параметризуют пространство решеток , и эти решетки могут вырождаться («уходить на бесконечность»), часто несколькими способами (с учетом некоторой вспомогательной структуры уровня ). Куспиды обозначают различные «направления к бесконечности».

Вот и все, что касается решеток в плоскости. В $n$ -мерном евклидовом пространстве можно поставить те же вопросы, например о ${\text{SO}}(n)\setminus {\text{SL}}_{n}({\textbf {R}})/{\text{SL}}_{n}({\textbf {Z}}).$ Это сложнее компактифицировать. Существует множество компактификаций, таких как компактификация Бореля-Серра , редуктивная компактификация Бореля-Серра и компактификации Сатаке , которые могут быть сформированы.

Другие теории компактификации

Теории концов пространства и простых концов .
Некоторые «граничные» теории, такие как кольцо открытого многообразия , граница Мартина , граница Шилова и граница Фюрстенберга .
Боровская компактификация возникает топологической группы при рассмотрении почти периодических функций .
Проективная прямая над кольцом топологического кольца может его компактифицировать.
Компактификация Бейли –Бореля фактора эрмитова симметрического пространства .
Замечательная компактификация фактора алгебраических групп.
Компактификации, которые одновременно являются выпуклыми подмножествами в локально выпуклом пространстве, называются выпуклыми компактификациями , их дополнительная линейная структура позволяет, например, развивать дифференциальное исчисление и более сложные соображения, например, при релаксации в вариационном исчислении или теории оптимизации. ^[6]

См. также

Расширение Александрова - способ расширения некомпактного топологического пространства.

Ссылки

^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
^ Александров, Павел С. (1924), «О метризации малых компактных топологических пространств» , Mathematical Annals , 92 (3–4): 294–301, doi : 10.1007/BF01448011 , JFM 50.0128.04
^ Чех, Эдуард (1937). «О бикомпактах». Анналы математики . 38 (4): 823–844. дои : 10.2307/1968839 . hdl : 10338.dmlcz/100420 . JSTOR 1968839 .
^ Стоун, Маршалл Х. (1937), «Приложения теории булевых колец к общей топологии», Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788
^ 15-параметрическая конформная группа пространства-времени, описанная в Ассоциативная композиционная алгебра/гомографии в Wikibooks
^ Рубичек, Т. (1997). Релаксация в теории оптимизации и вариационном исчислении . Берлин: В. де Грюйтер . ISBN 3-11-014542-1 .

[1] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .

[2] Александров, Павел С. (1924), «О метризации малых компактных топологических пространств» , Mathematical Annals , 92 (3–4): 294–301, doi : 10.1007/BF01448011 , JFM 50.0128.04

[3] Чех, Эдуард (1937). «О бикомпактах». Анналы математики . 38 (4): 823–844. дои : 10.2307/1968839 . hdl : 10338.dmlcz/100420 . JSTOR 1968839 .

[4] Стоун, Маршалл Х. (1937), «Приложения теории булевых колец к общей топологии», Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788

[5] 15-параметрическая конформная группа пространства-времени, описанная в Ассоциативная композиционная алгебра/гомографии в Wikibooks

[6] Рубичек, Т. (1997). Релаксация в теории оптимизации и вариационном исчислении . Берлин: В. де Грюйтер . ISBN 3-11-014542-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]