Выпуклая компактификация
В математике, особенно в выпуклом анализе , выпуклая компактификация — это компактификация , которая одновременно является выпуклым подмножеством в локально выпуклом пространстве в функциональном анализе . Выпуклая компактификация может использоваться для релаксации (как непрерывное расширение) различных задач вариационного исчисления и теории оптимизации . Дополнительная линейная структура позволяет, например, развивать дифференциальное исчисление и более сложные соображения, например, при релаксации в вариационном исчислении или теории оптимизации. [ 1 ] Он может улавливать как быстрые колебания, так и эффекты концентрации при оптимальном управлении или решении вариационных задач. они известны под названиями расслабленных или «вибрирующих» управлений (или иногда «базовых» управлений ) В задачах оптимального управления .
Линейная структура порождает различные принципы максимума как необходимые условия оптимальности первого порядка, известные в теории оптимального управления как принцип максимума Понтрягина . В вариационном исчислении расслабленные задачи могут служить для моделирования различных микроструктур, возникающих при моделировании ферроиков , то есть различных материалов, проявляющих, например, сегнетоупругость (как сплавы с памятью формы ) или ферромагнетизм . Условия оптимальности первого порядка для релаксированных задач приводят к принципу максимума типа Вейерштрасса.
В уравнениях с частными производными релаксация приводит к понятию мерозначных решений.
Это понятие было введено Рубичеком в 1991 году. [ 1 ]
Пример
[ редактировать ]- Набор мер Янга [ 2 ] [ 3 ] возникающие из ограниченных множеств в пространствах Лебега .
- Комплекс мер ДиПерна-Майда [ 4 ] [ 5 ] возникающие из ограниченных множеств в пространствах Лебега .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Рубичек, Томаш (1991), «Выпуклые компактификации и специальные расширения задач оптимизации», Nonlinear Analysis , 16 (12): 1117–1126, doi : 10.1016/0362-546X(91)90199-B , MR 1111622
- ^ Янг, LC (1937), «Обобщенные кривые и существование достигнутого абсолютного минимума в вариационном исчислении» , Отчеты сессий Общества наук и Варшавских писем , Класс III, XXX (7–9): 211 –234, JFM 63.1064.01 , Збл 0019.21901
- ^ Болл, Дж. М. (1989), «Версия фундаментальной теоремы для мер Янга», в Rascle, M.; Серр, Д.; Слемрод, М. (ред.), PDE и континуальные модели фазовых переходов: Материалы совместного семинара NSF и CNRS, проходившего в Ницце, 18–22 января 1988 г. , Конспекты лекций по физике, том. 344, Берлин: Springer, стр. 207–215, номер документа : 10.1007/BFb0024945 , ISBN. 3-540-51617-4 , МР 1036070
- ^ Крузик, Мартин; Рубичек, Томаш (1997), «О мерах ДиПерны и Майды», Mathematica Bohemica , 122 (4): 383–399, MR 1489400
- ^ Альберт, Джей-Джей; Бушитте, Г. (1997), «Неравномерная интегрируемость и обобщенные меры Юнга», Journal of Convex Analysis , 4 (1): 129–147, MR 1459885
Источники
[ редактировать ]- LC Флореску, К. Годе-Тоби (2012), Меры Янга и компактность в пространствах с мерой , Берлин: В. де Грюйтер , ISBN 9783110280517
- П. Педрегал (1997), Параметризованные меры и вариационные принципы , Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-0348-9815-7
- Рубичек, Т. (2020), Релаксация в теории оптимизации и вариационном исчислении (2-е изд.) , Берлин: В. де Грюйтер , ISBN 978-3-11-014542-7
- Янг, LC (1969), Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению , Филадельфия-Лондон-Торонто: WB Saunders , стр. xi+331, ISBN 978-0-7216-9640-9 , МР 0259704 , Збл 0177.37801