Компактификация Бора

В математике компактификация Бора G топологической группы представляет собой Хаусдорфа компактную топологическую группу H которая может быть канонически ассоциирована с G. , Ее важность состоит в сведении теории почти периодических функций на G к теории непрерывных функций на H. равномерно Концепция названа в честь Харальда Бора , который был пионером в изучении почти периодических функций на действительной линии .

Определения и основные свойства

Для топологической группы G G боровская компактификация представляет собой компактную Хаусдорфа топологическую группу Бора ( G ) и непрерывный гомоморфизм

б : G → Бор ( G )

который универсален относительно гомоморфизмов в компактные хаусдорфовы группы; это означает, что если K — другая компактная топологическая группа Хаусдорфа и

е : Г → К

является непрерывным гомоморфизмом, то существует единственный непрерывный гомоморфизм

Бор ( f ): Бор ( G ) → K

такой, что f знак равно Бор ( ж ) ∘ б .

Теорема . Компактификация Бора существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Мы будем обозначать боровскую компактификацию группы G через Бор ( G ), а каноническое отображение — через

$\mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {Bohr} (G).$

Соответствие G ↦ Бор ( G ) определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

Компактификация Бора тесно связана с конечномерной унитарной теорией представлений топологической группы. Ядро , b конечномерными состоит в точности из тех элементов группы G которые не могут быть отделены от единицы группы G унитарными представлениями .

Компактификация Бора также сводит многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к задачам теории функций на компактных группах.

Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является равномерно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых сдвигает _g f где

$[{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x)$

относительно компактен в однородной топологии при g через G. изменении

Теорема . Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G является равномерно почти периодической тогда и только тогда, когда существует непрерывная функция на _f1 Боре ( G ) (которая определяется однозначно) такая, что

$f=f_{1}\circ \mathbf {b} .$

Максимально почти периодические группы

Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (или MAP-группами). Например, все абелевы группы, все компактные группы и все свободные группы являются MAP. В случае, когда G — локально компактная связная группа, группы MAP полностью охарактеризованы: они в точности являются произведениями компактных групп с векторными группами.конечной размерности.

См. также

• Компактное пространство - Тип математического пространства.
• Компактификация (математика) - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
• Остроконечное множество - основная концепция теории множеств.
• Компактификация Стоуна-Чеха - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство страниц βX, отображающее описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Компактификация Уоллмана - компактификация _{T 1.} топологических пространств

Ссылки

Библиография

• Гисматуллин, Якуб; Ягелла, Гжегож; Крупинский, Кшиштоф (2023). «Боровские компактификации групп и колец» (PDF) . Журнал символической логики . 88 (3): 1103–1137. arXiv : 2011.04822 . дои : 10.1017/jsl.2022.10 . МР   4636627 .
• Чжу, Ихань (2019). Почти периодические функции на топологических группах . Диссертации, диссертации и основные статьи.

Дальнейшее чтение

• «Компактификация Бора» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]