Почти периодическая функция

Не путать с квазипериодической функцией .

В математике — почти периодическая функция это, грубо говоря, функция действительного числа, периодическая с точностью до любого желаемого уровня точности при достаточно длинных, хорошо распределенных «почти-периодах». Эта концепция была впервые изучена Харальдом Бором , а затем обобщена Вячеславом Степановым , Германом Вейлем и Абрамом Самойловичем Безиковичем , среди других. Существует также понятие почти периодических функций на локально компактных абелевых группах , впервые изученное Джоном фон Нейманом .

Почти периодичность — это свойство динамических систем , которые, кажется, прослеживают свой путь в фазовом пространстве , но не совсем. Примером может служить планетная система , в которой планеты на орбитах движутся с периодами которые не соизмеримы (т. е. с вектором периода, который не пропорционален вектору , целых чисел ). Теорема Кронекера из диофантового приближения может быть использована, чтобы показать, что любая конкретная конфигурация, возникшая однажды, будет повторяться с любой заданной точностью: если мы подождем достаточно долго, мы сможем наблюдать, как все планеты с точностью до секунды возвращаются в те положения, в которых они находились. однажды были внутри.

Мотивация

Существует несколько неэквивалентных определений почти периодических функций. Первое было дано Харальдом Бором . Первоначально его интересовали конечные ряды Дирихле . Фактически, усекая ряд для дзета-функции Римана ζ ( s ), чтобы сделать его конечным, можно получить конечные суммы членов типа

$e^{s\log n}\,$

где s записано как ( σ + it ) – сумма его действительной части σ и мнимой части it . Зафиксировав σ и ограничив внимание одной вертикальной линией на комплексной плоскости, мы можем увидеть это также как

$n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,$

Взятие конечной суммы таких членов позволяет избежать трудностей аналитического продолжения в область σ < 1. Здесь не все «частоты» log n будут соизмеримы (они так же линейно независимы над рациональными числами, как целые числа n мультипликативно независимы, что сводится к их простым факторизациям).

Учитывая эту первоначальную мотивацию для рассмотрения типов тригонометрических полиномов с независимыми частотами, математический анализ был применен для обсуждения замыкания этого набора основных функций в различных нормах .

Теория была разработана с использованием других норм Безиковичем , Степановым , Вейлем , фон Нейманом , Тьюрингом , Бохнером и другими в 1920-х и 1930-х годах.

Равномерные, почти периодические функции Бора или Бохнера.

Бор (1925) определил равномерно почти периодические функции как замыкание тригонометрических полиномов относительно равномерной нормы

$\|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|$

(об ограниченных функциях f на R ). Другими словами, функция f является равномерно почти периодической, если для каждого ε > 0 существует конечная линейная комбинация синусоидальных и косинусоидальных волн, расстояние которой меньше ε от f относительно равномерной нормы . Частоты синуса и косинуса могут быть произвольными действительными числами. Бор доказал, что это определение эквивалентно существованию относительно плотного набора почти ε -периодов для всех ε > 0: то есть сдвигов T ( ε ) = T переменной t , делающих

$\left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .$

Альтернативное определение Бохнера (1926) эквивалентно определению Бора, и его относительно просто сформулировать:

Функция f называется почти периодической, если каждая последовательность { ƒ ( t + T _n )} сдвигов f имеет подпоследовательность , сходящуюся равномерно по t в (−∞, +∞).

Почти периодические функции Бора по существу аналогичны непрерывным функциям боровской компактификации действительных чисел.

Почти периодические функции Степанова

Пространство С ^п почти периодических функций Степанова (при p ≥ 1) был введен В. В. Степановым (1925). Оно содержит пространство почти периодических функций Бора. Это замыкание тригонометрических полиномов по норме

$\|f\|_{S,r,p}=\sup _{x}\left({1 \over r}\int _{x}^{x+r}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}$

для любого фиксированного положительного значения r ; для разных значений r эти нормы дают одну и ту же топологию и, следовательно, одно и то же пространство почти периодических функций (хотя норма в этом пространстве зависит от выбора r ).

Почти периодические функции Вейля

Пространство W ^п почти периодических функций Вейля (при p ≥ 1) был введен Вейлем (1927). Он содержит пространство S ^п почти периодических функций Степанова. Это замыкание тригонометрических полиномов по полунорме

$\|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty }\|f\|_{S,r,p}$

Внимание: существуют ненулевые функции ƒ с || ƒ || _{W , p} = 0, например, любая ограниченная функция с компактным носителем, поэтому, чтобы получить банахово пространство, нужно факторизовать эти функции.

Почти периодические функции Безиковича

Пространство Б ^п Почти периодические функции Безиковича были введены Безиковичем (1926). Это замыкание тригонометрических полиномов по полунорме

$\|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}$

Внимание: существуют ненулевые функции ƒ с || ƒ || _{B, p} = 0, например любая ограниченная функция с компактным носителем, поэтому, чтобы получить банахово пространство, необходимо факторизовать эти функции.

Почти периодические функции Безиковича в B ² иметь расширение (не обязательно сходящееся) как

$\sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}$

с Σ а ²
_n конечный и λ _n вещественный. И наоборот, каждый такой ряд является разложением некоторой периодической функции Безиковича (которая не единственна).

Пространство Б ^п почти периодических функций Безиковича (при p ≥ 1) содержит пространство W ^п почти периодических функций Вейля. Если факторизовать подпространство «нулевых» функций, его можно отождествить с пространством L ^п функции на боровской компактификации вещественных чисел.

Почти периодические функции на локально компактной группе

Благодаря этим теоретическим разработкам и появлению абстрактных методов ( теоремы Питера-Вейля , двойственности Понтрягина и банаховых алгебр ) стала возможной общая теория. Общая идея почти периодичности по отношению к локально компактной абелевой группе G становится идеей функции F в L ^∞ ( G ), такой, что его сдвиги на G образуют относительно компактное множество. Эквивалентно, пространство почти периодических функций является замыканием нормы конечных линейных комбинаций характеров группы G . Если G компактна, почти периодические функции такие же, как и непрерывные функции.

Компактификация Бора группы G — это компактная абелева группа всех возможно разрывных характеров двойственной группы к G и компактная группа, содержащая G как плотную подгруппу. Пространство равномерных почти периодических функций на G можно отождествить с пространством всех непрерывных функций на боровской компактификации G . В более общем смысле компактификация Бора может быть определена для любой топологической группы G и пространств непрерывных или L ^п функции на компактификации Бора можно рассматривать как почти периодические функции на G . Для локально компактных связных групп G отображение G в ее боровскую компактификацию инъективно тогда и только тогда, когда G является центральным расширением компактной группы или, что то же самое, продуктом компактной группы и конечномерного векторного пространства.

Функция на локально компактной группе называется слабо почти периодической, если ее орбита слабо относительно компактна в $L^{\infty }$.

Учитывая топологическую динамическую систему $(X,G)$ состоящая из компактного топологического пространства X с действием локально компактной группы G , непрерывная функция на X является (слабо) почти периодической, если ее орбита (слабо) предкомпактна в банаховом пространстве $C(X)$.

Квазипериодические сигналы в синтезе звука и музыки

В обработке речи , обработке аудиосигнала и синтезе музыки квазипериодический сигнал , иногда называемый квазигармоническим сигналом, представляет собой форму волны , которая практически периодична микроскопически, но не обязательно периодична макроскопически. Это не дает квазипериодическую функцию , а что-то более похожее на почти периодическую функцию, являющуюся почти периодической функцией, в которой любой период практически идентичен соседним с ним периодам, но не обязательно похож на периоды, гораздо более удаленные во времени. Это относится к музыкальным тонам (после начального переходного процесса атаки), где все частичные или обертоны являются гармоническими (то есть все обертоны находятся на частотах, кратных основной частоте тона).

Когда сигнал $x(t)\$ является полностью периодическим с периодом $P\$, то сигнал точно удовлетворяет

$x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

или

${\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\$

Представление ряда Фурье будет иметь вид

$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t){\big ]}$

или

$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})$

где $f_{0}={\frac {1}{P}}$ - основная частота, а коэффициенты Фурье равны

$a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\,dt\$

$a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1$

$b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\$

где $t_{0}\$ может быть в любое время: $-\infty <t_{0}<+\infty \$.

Основная частота $f_{0}\$, и коэффициенты Фурье $a_{n}\$, $b_{n}\$, $r_{n}\$, или $\varphi _{n}\$, являются константами, т.е. не являются функциями времени. Частоты гармоник являются точными целыми кратными основной частоты.

Когда $x(t)\$ является квазипериодическим , то

$x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\$

или

${\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \$

где

$0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\$

Теперь представление ряда Фурье будет иметь вид

$x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]$

или

$x(t)=a_{0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)$

или

$x(t)=a_{0}(t)+\sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)$

где $f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}$ - возможно меняющаяся во времени основная частота, а изменяющиеся во времени коэффициенты Фурье равны

$a_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \$

$a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1$

$b_{n}(t)=r_{n}(t)\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{t-P(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \$

и мгновенная частота для каждой частички равна

$f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,$

Тогда как в этом квазипериодическом случае основная частота $f_{0}(t)\$, частоты гармоник $f_{n}(t)\$, а коэффициенты Фурье $a_{n}(t)\$, $b_{n}(t)\$, $r_{n}(t)\$, или $\varphi _{n}(t)\$ не медленно обязательно постоянны и являются функциями времени, хотя и меняющимися функциями времени. Другими словами, эти функции времени ограничены полосой частот , гораздо меньшей, чем основная частота для $x(t)\$ считать квазипериодическим.

Частичные частоты $f_{n}(t)\$ почти гармоничны, но не обязательно так. Производная по времени $\varphi _{n}(t)\$, то есть $\varphi _{n}^{\prime }(t)\$, имеет эффект отстройки частичных частиц от их точного целочисленного гармонического значения. $nf_{0}(t)\$. Быстро меняющееся $\varphi _{n}(t)\$ означает, что мгновенная частота этой парциальной части сильно отстроена от значения целочисленной гармоники, что будет означать, что $x(t)\$ не является квазипериодическим.

См. также

• Квазипериодическая функция
• Апериодическая функция
• Квазипериодическое замощение
• ряд Фурье
• Аддитивный синтез
• Гармонический сериал (музыка)
• Компьютерная музыка

Библиография

• Америо, Луиджи ; Проуз, Джованни (1971), Почти периодические функции и функциональные уравнения , Университетская серия по высшей математике , Нью-Йорк – Цинциннати – Торонто – Лондон – Мельбурн: Ван Ностранд Рейнхольд , стр. viii + 184, ISBN  0-442-20295-4 , МР   0275061 , Збл   0215.15701 .
• А. С. Безикович, «Почти периодические функции», Cambridge Univ. Пресс (1932)
• Бохнер, С. (1926), «Вклад в теорию почти периодических функций», Math. Annals , 96 : 119–147, doi : 10.1007/BF01209156 , S2CID   118124462 .
• С. Бохнер и Дж. фон Нейман, «Почти периодическая функция в группе II», Пер. амер. Математика. Соц., 37 нет. 1 (1935) стр. 21–50.
• Х. Бор, «Почти-периодические функции», Челси, переиздание (1947).
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти-периодические функции" , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти периодические функции Безиковича" , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти периодические функции Бора" , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти периодические функции Степанова" , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти периодические функции Вейля" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Дж. фон Нейман, «Почти периодические функции в группе I», Пер. амер. Математика. Соц., 36 нет. 3 (1934) стр. 445–492.

Внешние ссылки

• «Почти периодическая функция (эквивалентное определение)» . ПланетаМатематика .