Ограничение полосы пропускания

Ограничение полосы частот относится к процессу, который снижает энергию сигнала до приемлемо низкого уровня за пределами желаемого диапазона частот .

Ограничение полосы пропускания является важной частью многих приложений в области обработки сигналов и связи. Примеры включают контроль помех между сигналами радиочастотной связи и управление искажениями, связанными с наложением спектров , связанными с выборкой для цифровой обработки сигналов .

Спектр модулирующего **с ограниченной полосой частот сигнала** как функция частоты

Сигналы с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой пропускания , строго говоря, представляет собой сигнал с нулевой энергией за пределами определенного диапазона частот. На практике сигнал считается ограниченным по полосе, если его энергия за пределами частотного диапазона достаточно мала, чтобы считаться незначительной в данном приложении.

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть случайным ( стохастическим ) или неслучайным ( детерминированным ).

требуется бесконечное количество членов В общем, для непрерывного представления сигнала в виде ряда Фурье , но если на основе этого сигнала можно вычислить конечное число членов ряда Фурье, этот сигнал считается ограниченным по полосе пропускания. В математической терминологии сигнал с ограниченной полосой пропускания имеет преобразование Фурье или спектральную плотность с ограниченной поддержкой .

Выборка сигналов с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть полностью восстановлен по его выборкам при условии, что частота дискретизации вдвое превышает полосу пропускания сигнала. Эта минимальная частота дискретизации называется частотой Найквиста , связанной с теоремой выборки Найквиста-Шеннона .

Сигналы реального мира не имеют строгого ограничения по полосе частот, и интересующие сигналы обычно имеют нежелательную энергию за пределами интересующей полосы. По этой причине функции дискретизации и функции цифровой обработки сигналов, которые изменяют частоту дискретизации, обычно требуют фильтров ограничения полосы для контроля количества искажений , связанных с наложением спектров . Фильтры, ограничивающие полосу пропускания, следует разрабатывать тщательно, чтобы управлять другими искажениями, поскольку они изменяют интересующий сигнал как в частотной области по величине и фазе , так и по его свойствам во временной области .

Примером простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой пропускания является синусоида формы $x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).$ Если этот сигнал дискретизируется со скоростью $f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f$ чтобы у нас были образцы $x(nT),$ для всех целых чисел $n$ , мы можем восстановиться $x(t)$ полностью из этих образцов. Точно так же суммы синусоид с разными частотами и фазами также ограничены по полосе пропускания самой высокой из своих частот.

Сигнал, преобразование Фурье которого показано на рисунке, также имеет ограниченную полосу пропускания. Предполагать $x(t)$ - это сигнал, преобразование Фурье которого равно $X(f),$ величина которого показана на рисунке. Самая высокочастотная составляющая в $x(t)$ является $B.$ В результате коэффициент Найквиста равен

R_{N}=2B\,

или вдвое превышающую самую высокую частотную составляющую сигнала, как показано на рисунке. По теореме выборки можно восстановить $x(t)\$ полностью и точно используя образцы

x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)

для всех целых чисел

n\,

и

T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}

пока

f_{s}>R_{N}\,

Реконструкция сигнала по его выборкам может быть выполнена с использованием интерполяционной формулы Уиттекера-Шеннона .

Ограниченный по диапазону и ограниченный по времени

Сигнал с ограниченной полосой пропускания не может быть также ограничен по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь конечный носитель , если они не равны тождественному нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.

Доказательство: предположим, что существует сигнал f(t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не равен тождественному нулю. Давайте произведем выборку быстрее, чем частота Найквиста , и вычислим соответствующее преобразование Фурье. $FT(f)=F_{1}(w)$ и преобразование Фурье с дискретным временем $DTFT(f)=F_{2}(w)$ . Согласно свойствам DTFT, $F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})$ , где $f_{x}$ — частота, используемая для дискретизации. Если f ограничена полосой пропускания, $F_{1}$ равен нулю вне определенного интервала, поэтому при достаточно больших $f_{x}$ , $F_{2}$ также будет равна нулю на некоторых интервалах, поскольку опоры отдельные $F_{1}$ в сумме $F_{2}$ не будет перекрываться. Согласно определению DTFT, $F_{2}$ является суммой тригонометрических функций, и поскольку f(t) ограничена по времени, эта сумма будет конечной, поэтому $F_{2}$ на самом деле будет тригонометрическим полиномом . Все тригонометрические полиномы голоморфны на всей комплексной плоскости , и в комплексном анализе существует простая теорема, которая гласит, что все нули непостоянной голоморфной функции изолированы . Но это противоречит нашим предыдущим выводам о том, что $F_{2}$ имеет интервалы, полные нулей, поскольку точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственным сигналом, ограниченным по времени и полосе пропускания, является постоянный ноль.

Одним из важных последствий этого результата является то, что невозможно генерировать сигнал с действительно ограниченной полосой пропускания в любой реальной ситуации, поскольку для передачи сигнала с ограниченной полосой частот потребуется бесконечное время. Все реальные сигналы по необходимости ограничены по времени , а это означает, что они не могут быть ограничены по полосе пропускания. Тем не менее, концепция сигнала с ограниченной полосой пропускания является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Более того, можно аппроксимировать сигнал с ограниченной полосой частот до любого произвольного желаемого уровня точности.

Подобная связь между длительностью во времени и шириной полосы частот также формирует математическую основу принципа неопределенности в квантовой механике . В этом случае «ширина» функций временной и частотной областей оценивается с помощью меры, подобной дисперсии . Количественно принцип неопределенности накладывает следующее условие на любую реальную форму сигнала:

W_{B}T_{D}\geq 1

где

W_{B}

- (соответственно выбранная) мера полосы пропускания (в герцах), и

T_{D}

— (соответственно выбранная) мера продолжительности времени (в секундах).

В частотно-временном анализе эти пределы известны как предел Габора и интерпретируются как предел одновременного частотно -временного разрешения, которого можно достичь.

См. также

Ссылки

Уильям МакКи. Зиберт (1986). Цепи, сигналы и системы . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.