формализм АДМ

Не путать с конструкцией ADHM или AdS .

Ричард Арновитт , Стэнли Дезер и Чарльз Миснер на конференции ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation, состоявшейся в ноябре 2009 г. в честь 50-летия своей газеты.

Арновитта -Дезера-Мизнера ( ADM ) Формализм (названный в честь его авторов Ричарда Арновитта , Стэнли Дезера и Чарльза В. Миснера ) — это гамильтонова формулировка общей теории относительности , которая играет важную роль в канонической квантовой гравитации и численной теории относительности . Впервые оно было опубликовано в 1959 году.

Всесторонний обзор формализма, опубликованный авторами в 1962 г. был перепечатан в журнале «Общая относительность и гравитация» . а оригинальные статьи можно найти в архивах Physical Review .

Обзор

Формализм предполагает, что на семейство пространство-время расслоено пространственноподобных поверхностей. $\Sigma _{t}$, помеченные их временной координатой $t$, и с координатами каждого среза, заданными формулой $x^{i}$. В качестве динамических переменных этой теории принимаются метрические тензоры трехмерных пространственных срезов. $\gamma _{ij}(t,x^{k})$ и их сопряженные импульсы $\pi ^{ij}(t,x^{k})$. Используя эти переменные, можно определить гамильтониан и тем самым записать уравнения движения общей теории относительности в форме уравнений Гамильтона .

В дополнение к двенадцати переменным $\gamma _{ij}$ и $\pi ^{ij}$, существует четыре множителя Лагранжа : функция отклонения , $N$и компоненты векторного поля сдвига , $N_{i}$. Они описывают, как каждый из «листьев» $\Sigma _{t}$ слоения пространства-времени спаяны вместе. Уравнения движения для этих переменных можно свободно задавать; эта свобода соответствует свободе указывать, как располагать систему координат в пространстве и времени.

Обозначения

В большинстве ссылок используются обозначения, в которых четырехмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации, и что греческие индексы представляют собой индексы пространства-времени, принимающие значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы представляют собой пространственные индексы, принимающие значения (1, 2, 3). При выводе здесь верхний индекс (4) добавляется к величинам, которые обычно имеют как трехмерную, так и четырехмерную версию, например, метрический тензор для трехмерных срезов. $g_{ij}$ и метрический тензор для полного четырехмерного пространства-времени ${^{(4)}}g_{\mu \nu }$.

В тексте используются обозначения Эйнштейна , в которых предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

Используются два типа производных: Частные производные обозначаются либо оператором $\partial _{i}$ или индексами, которым предшествует запятая. Ковариантные производные обозначаются либо оператором $\nabla _{i}$ или индексами, которым предшествует точка с запятой.

Абсолютное значение определителя матрицы коэффициентов метрического тензора представляется выражением $g$ (без индексов). Другие тензорные символы, записанные без индексов, представляют собой след соответствующего тензора, например $\pi =g^{ij}\pi _{ij}$.

АДМ Сплит

Разделение ADM означает разделение метрики пространства-времени на три пространственных компонента и один временной компонент (слоение). Он разделяет метрику пространства-времени на пространственную и временную части, что облегчает изучение эволюции гравитационных полей.Основная идея состоит в том, чтобы выразить метрику пространства-времени через функцию отклонения , которая представляет эволюцию во времени между гиперповерхностями, и вектор сдвига , который представляет изменения пространственных координат между этими гиперповерхностями), а также трехмерную пространственную метрику. Математически это разделение записывается как:

$ds^{2}=-N^{2}dt^{2}+g_{ij}(dx^{i}+N^{i}dt)(dx^{j}+N^{j}dt)$

где $N$ - функция задержки, кодирующая собственную временную эволюцию, $N_{i}$ — вектор сдвига, кодирующий изменение пространственных координат между гиперповерхностями. $g_{ij}$ — возникающая трехмерная пространственная метрика на каждой гиперповерхности.Такое разложение позволяет разделить уравнения эволюции пространства-времени на ограничения (которые связывают исходные данные о пространственной гиперповерхности) и уравнения эволюции (которые описывают, как геометрия пространства-времени изменяется от одной гиперповерхности к другой).

Вывод формализма ADM.

Лагранжева формулировка

Отправной точкой для формулировки ADM является лагранжиан

${\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {^{(4)}g}},$

который является произведением квадратного корня определителя четырехмерного метрического тензора для полного пространства-времени и его скаляра Риччи . Это лагранжиан действия Эйнштейна–Гильберта .

Желаемый результат вывода — определить вложение трехмерных пространственных срезов в четырехмерное пространство-время. Метрика трехмерных срезов

$g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}$

будут обобщенными координатами гамильтоновой формулировки. Тогда сопряженные импульсы можно вычислить как

$\pi ^{ij}={\sqrt {^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},$

используя стандартные методы и определения. Символы ${^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}$ являются символами Кристоффеля , связанными с метрикой полного четырехмерного пространства-времени. Ошибка

$N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}$

и вектор сдвига

$N_{i}={^{(4)}g_{0i}}$

являются остальными элементами четырехметрического тензора.

Определив величины для формулировки, следующим шагом будет переписать лагранжиан через эти переменные. Новое выражение для лагранжиана

${\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)$

удобно записать через две новые величины

$H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]$

и

$P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},$

которые известны как гамильтоновы ограничения и ограничения по импульсу соответственно. Пропуск и сдвиг появляются в лагранжиане как множители Лагранжа .

Уравнения движения

Хотя переменные в лагранжиане представляют собой метрический тензор в трехмерном пространстве, встроенный в четырехмерное пространство-время , можно и желательно использовать обычные процедуры лагранжевой механики для вывода «уравнений движения», описывающих временную эволюцию обоих метрика $g_{ij}$ и сопряженный ему импульс $\pi ^{ij}$. Результат

$\partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}$

и

${\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}$

представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных .

Вариации относительно отклонения и сдвига дают уравнения ограничений.

$H=0$

и

$P^{i}=0,$

а сами отклонения и сдвиг могут свободно задаваться, что отражает тот факт, что системы координат могут свободно задаваться как в пространстве, так и во времени.

Приложения

Приложение к квантовой гравитации

Основная статья: уравнение Уиллера – ДеВитта

Используя формулировку АДМ, можно попытаться построить квантовую теорию гравитации так же, как строят уравнение Шрёдингера, соответствующее заданному гамильтониану в квантовой механике . То есть заменить канонические импульсы $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ а пространственные метрические функции – линейными функционально-дифференциальными операторами

${\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),$

${\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.$

Точнее, замена классических переменных операторами ограничена коммутационными соотношениями . Шляпы представляют собой операторов квантовой теории. Это приводит к уравнению Уиллера-ДеВитта .

Приложение к численному решению уравнений Эйнштейна

Основная статья: Численная теория относительности

Известно относительно немного точных решений уравнений поля Эйнштейна . Чтобы найти другие решения, существует активная область исследований, известная как численная теория относительности , в которой суперкомпьютеры используются для поиска приближенных решений уравнений. Чтобы построить такие решения численно, большинство исследователей начинают с формулировки уравнений Эйнштейна, тесно связанных с формулировкой ADM. Наиболее распространенные подходы начинаются с задачи начального значения, основанной на формализме ADM.

В гамильтоновых формулировках основным моментом является замена системы уравнений второго порядка другой системой уравнений первого порядка. Мы можем легко получить эту вторую систему уравнений с помощью гамильтоновой формулировки. Конечно, это очень полезно для численной физики, поскольку понижение порядка дифференциальных уравнений часто бывает удобно, если мы хотим подготовить уравнения для компьютера.

Энергия и масса АДМ

Смотрите также: Масса в общей теории относительности

Энергия ADM — это особый способ определения энергии в общей теории относительности , который применим только к некоторым специальным геометриям пространства-времени , которые асимптотически приближаются к четко определенному метрическому тензору на бесконечности — например, к пространству-времени, которое асимптотически приближается к пространству Минковского . Энергия АДМ в этих случаях определяется как функция отклонения метрического тензора от заданной асимптотики. Другими словами, энергия ADM вычисляется как сила гравитационного поля на бесконечности.

Если требуемая асимптотика не зависит от времени (например, само пространство Минковского), то она соблюдает трансляционную симметрию . Тогда из теоремы Нётер следует, что энергия ADM сохраняется. Согласно общей теории относительности, закон сохранения полной энергии не выполняется в более общих, зависящих от времени условиях – например, он полностью нарушается в физической космологии . Космическая инфляция , в частности, способна производить энергию (и массу) из «ничего», поскольку плотность энергии вакуума примерно постоянна, но объем Вселенной растет экспоненциально .

Приложение к модифицированной гравитации

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 г. Deruelle et al. нашел метод нахождения граничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка для модифицированных теорий гравитации , «чьи лагранжианы являются произвольной функцией тензора Римана».

См. также

• Связь формулировки ADM с другими гамильтоновыми формулировками общей теории относительности

Это сделано в М. Монтесиносе и Дж. Ромеро, «Связывание формулировки ADM с другими гамильтоновыми формулировками общей теории относительности», Phys. Ред. Д 107, 044052 (2023). DOI 10.1103/PhysRevD.107.044052

• Канонические координаты
• Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна
• Метрика Переса
• Динамика формы

Ссылки

• Кифер, Клаус (2007). Квантовая гравитация . Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-921252-1 .