Альтернативы общей теории относительности

Альтернативой общей теории относительности являются физические теории , которые пытаются описать явление гравитации, конкурируя с Эйнштейна общей теорией относительности . Было много различных попыток построить идеальную теорию гравитации .

Эти попытки можно разделить на четыре широкие категории в зависимости от их масштаба. В этой статье обсуждаются простые альтернативы общей теории относительности, которые не связаны с квантовой механикой или объединением сил. Другие теории, которые пытаются построить теорию, используя принципы квантовой механики, известны как теории квантованной гравитации . В-третьих, существуют теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические единые теории поля . Наконец, самые амбициозные теории пытаются одновременно выразить гравитацию в терминах квантовой механики и объединить силы; это называются теориями всего .

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого признания. Общая теория относительности выдержала множество испытаний . оставаясь согласующимся со всеми наблюдениями до сих пор. Напротив, многие из ранних альтернатив были окончательно опровергнуты. Однако некоторые альтернативные теории гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивного изучения в теоретической физике .

Мотивации

После общей теории относительности предпринимались попытки либо улучшить теории, разработанные до общей теории относительности, либо улучшить саму общую теорию относительности. Было предпринято множество различных стратегий, например, добавление спина к общей теории относительности, объединение метрики, подобной общей теории относительности, с пространством-временем, статическим по отношению к расширению Вселенной, и получение дополнительной свободы за счет добавления еще одного параметра. По крайней мере одна теория была мотивирована желанием разработать альтернативу общей теории относительности, свободную от сингулярностей.

Экспериментальные испытания совершенствовались вместе с теориями. Многие из различных стратегий, которые были разработаны вскоре после появления общей теории относительности, были заброшены, и появился толчок к разработке более общих форм сохранившихся теорий, чтобы теория была готова, когда какая-либо проверка показала несогласие с общей теорией относительности.

К 1980-м годам растущая точность экспериментальных испытаний подтвердила общую теорию относительности; не осталось конкурентов, кроме тех, которые включали общую теорию относительности как частный случай. Далее, вскоре после этого теоретики переключились на теорию струн, которая начинала выглядеть многообещающе, но с тех пор потеряла популярность. В середине 1980-х годов несколько экспериментов показали, что гравитация изменяется за счет добавления пятой силы (или, в одном случае, пятой, шестой и седьмой сил), действующей в диапазоне нескольких метров. Последующие эксперименты устранили их.

Мотивы для более поздних альтернативных теорий почти все космологические, связанные или заменяющие такие конструкции, как « инфляция », « темная материя » и « темная энергия ». Исследование аномалии «Пионер» вызвало возобновление общественного интереса к альтернативам общей теории относительности.

Обозначения в этой статье

Основные статьи: Математика общей теории относительности и исчисление Риччи.

$c\;$ это скорость света , $G\;$ является гравитационной постоянной . « Геометрические переменные » не используются.

Латинские индексы идут от 1 до 3, греческие индексы — от 0 до 3. правило суммирования Эйнштейна Используется .

$\eta _{\mu \nu }\;$ – метрика Минковского . $g_{\mu \nu }\;$ — тензор, обычно метрический тензор . Они имеют подпись (−,+,+,+).

Частное дифференцирование записывается $\partial _{\mu }\varphi \;$ или $\varphi _{,\mu }\;$. Ковариантное дифференцирование записывается $\nabla _{\mu }\varphi \;$ или $\varphi _{;\mu }\;$.

Общая теория относительности

Основная статья: Общая теория относительности

Для сравнения с альтернативами формулы общей теории относительности являются:

$\delta \int ds=0\,$

${ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,$

$R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,$

что также можно написать

$T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.$

Действие Эйнштейна-Гильберта для общей теории относительности:

$S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,$

где $G\,$ гравитационная постоянная Ньютона, $R=R_{\mu }^{~\mu }\,$ – Риччи , кривизна пространства $g=\det(g_{\mu \nu })\,$ и $S_{m}\,$ это действие, обусловленное массой.

Общая теория относительности — это тензорная теория, все уравнения содержат тензоры. С другой стороны, теории Нордстрема являются скалярными теориями, поскольку гравитационное поле является скаляром. Другие предлагаемые альтернативы включают скалярно-тензорные теории, которые содержат скалярное поле в дополнение к тензорам общей теории относительности, а также недавно были разработаны другие варианты, содержащие также векторные поля.

Классификация теорий

Теории гравитации можно условно разделить на несколько категорий. Большинство описанных здесь теорий имеют:

• « действие » (см. принцип наименьшего действия , вариационный принцип, основанный на понятии действия)
• лагранжева плотность
• метрика ​

Если теория имеет лагранжеву плотность гравитации, скажем, $L\,$, то гравитационная часть действия $S\,$ является интегралом этого:

$S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$.

В этом уравнении обычно, хотя и не обязательно, имеется $g=-1\,$ на пространственной бесконечности при использовании декартовых координат. Например, действие Эйнштейна – Гильберта использует

$L\,\propto \,R$

где R — скалярная кривизна , мера кривизны пространства.

Почти каждая теория, описанная в этой статье, имеет действие. Это наиболее эффективный из известных способов гарантировать автоматическое соблюдение необходимых законов сохранения энергии, импульса и момента количества движения; хотя легко построить действие, в котором эти законы сохранения нарушаются. Канонические методы предоставляют другой способ построения систем, обладающих необходимыми законами сохранения, но этот подход более громоздок в реализации. В оригинальной версии MOND 1983 года не было действия.

Некоторые теории имеют действие, но не имеют лагранжевой плотности. Хорошим примером является Уайтхед. действие там называется нелокальным.

Теория гравитации является «метрической теорией» тогда и только тогда, когда ей можно дать математическое представление, в котором выполняются два условия:
Условие 1 : существует симметричный метрический тензор $g_{\mu \nu }\,$ сигнатуры (−, +, +, +), которая управляет измерениями собственной длины и собственного времени обычным способом специальной и общей теории относительности:

${d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,$

где происходит суммирование по индексам $\mu$ и $\nu$.
Условие 2 : Напряжённое вещество и поля, на которые действует сила тяжести, реагируют в соответствии с уравнением:

$0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,$

где $T^{\mu \nu }\,$ – тензор энергии-импульса для всей материи и негравитационных полей, и где $\nabla _{\nu }$ — ковариантная производная по метрике и $\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,$ — символ Кристоффеля . Тензор энергии-импульса также должен удовлетворять энергетическому условию .

Метрические теории включают (от самого простого к самому сложному):

• Скалярные теории поля (включая конформно плоские теории и стратифицированные теории с конформно плоскими срезами пространства)
  • Бергман
  • Коулман
  • Эйнштейн (1912)
  • Теория Эйнштейна – Фоккера
  • Ли — Лайтман — Ни
  • Литлвуд
  • В
  • Теория гравитации Нордстрема (первая разработанная метрическая теория гравитации)
  • Пейдж – Таппер
  • Папапетру
  • Розен (1971)
  • Уитроу – Мордух
  • Теория гравитации Йылмаза (попытка исключить горизонты событий ). из теории
• Квазилинейные теории (включая линейную фиксированную калибровку)
  • Боллини – Джамбьяджи – Тиомно
  • Десерт – Лоран
  • Теория гравитации Уайтхеда (предназначенная для использования только запаздывающих потенциалов )
• Тензорные теории
  • Общая теория относительности Эйнштейна
  • Гравитация четвертого порядка (позволяет лагранжиану зависеть от сокращений второго порядка тензора кривизны Римана)
  • f(R) гравитация (позволяет лагранжиану зависеть от более высоких степеней скаляра Риччи)
  • Гравитация Гаусса – Бонне
  • Теория гравитации Лавлока (позволяет лагранжиану зависеть от сокращений высшего порядка тензора кривизны Римана)
  • Бесконечная производная гравитация
• Скалярно-тензорные теории
  • Бекенштейн
  • Бергманн-Ваггонер
  • Теория Бранса-Дикке (наиболее известная альтернатива общей теории относительности, призванная лучше применять принцип Маха)
  • Иордания
  • Нордтведт
  • Трии
  • Хамелеон
  • Прессурон
• Векторно-тензорные теории
  • Хеллингс -Нордтведт
  • Уилл — Нордтведт
• Биметрические теории
  • Лайтман — Ли
  • Расталл
  • Розен (1975)
• Другие метрические теории

(см. раздел «Современные теории» ниже)

Неметрические теории включают

• Белинфанте-Свихарт
• Теория Эйнштейна – Картана (предназначена для учета спин-орбитального обмена угловыми моментами)
• Кустаанхеймо (1967)
• Телепараллелизм
• Калибровочная теория гравитации

Здесь уместно сказать несколько слов о принципе Маха , поскольку некоторые из этих теорий опираются на принцип Маха (например, Уайтхед ), и многие упоминают об этом вскользь (например, Эйнштейн-Гроссман, Бранс-Дике ). Принцип Маха можно рассматривать как нечто среднее между Ньютоном и Эйнштейном. Это происходит следующим образом:

• Ньютон: Абсолютное пространство и время .
• Мах: Система отсчета возникает из распределения материи во Вселенной.
• Эйнштейн: Не существует системы отсчета.

Теории с 1917 по 1980-е годы

Основная статья: История теории гравитации

На момент публикации в 17 веке теория гравитации Исаака Ньютона была самой точной теорией гравитации. С тех пор было предложено несколько альтернатив. Теории, которые предшествовали формулировке общей теории относительности в 1915 году, обсуждаются в истории теории гравитации .

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после общей теории относительности, но до наблюдений вращения галактик, которые привели к гипотезе « темной материи ». К числу рассматриваемых здесь относятся (см. Уилл Только ):

Теории с 1917 по 1980-е годы.

Год(ы) публикации	Автор(ы)	Название теории	Тип теории
1922	Альфред Норт Уайтхед	Теория гравитации Уайтхеда	Квазилинейный
1922, 1923	Эли Картан	Теория Эйнштейна – Картана	Неметрический
1939	Маркус Фирц , Вольфганг Паули
1943	Джордж Дэвид Биркгоф
1948	Эдвард Артур Милн	Кинематическая теория относительности
1948	Ив Тири
1954	Ахиллес Папапетру		Скалярное поле
1953	Дадли Э. Литтлвуд		Скалярное поле
1955	Паскуаль Джордан
1956	Отто Бергманн		Скалярное поле
1957	Фредерик Белинфанте , Джеймс С. Суихарт
1958, 1973	Гусейн Йылмаз	Теория гравитации Йылмаза
1961	Карл Х. Бранс , Роберт Х. Дике	Теория Брана – Дике	Скалярно-тензорный
1960, 1965	Джеральд Джеймс Уитроу , Дж. Э. Мордах		Скалярное поле
1966	Пол Кустаанхеймо
1967	Пол Кустаанхеймо, VS Nuotio
1968	Стэнли Дезер , Б. Э. Лоран		Квазилинейный
1968	К. Пейдж, Бо Джей Таппер		Скалярное поле
1968	Питер Бергманн		Скалярно-тензорный
1970	К.Г. Боллини, Дж.Дж. Джамбьяджи, Дж. Тиомно		Квазилинейный
1970	Кеннет Нордтведт
1970	Роберт В. Ваггонер		Скалярно-тензорный
1971	Натан Розен		Скалярное поле
1975	Натан Розен		Биметрический
1972, 1973	Ни Вэй-тоу		Скалярное поле
1972	Клиффорд Мартин Уилл , Кеннет Нордтведт		Вектор–тензор
1973	Рональд Хеллингс, Кеннет Нордтведт		Вектор–тензор
1973	Алан Лайтман , Дэвид Л. Ли		Скалярное поле
1974	Дэвид Л. Ли , Алан Лайтман , Вэй-тоу
1977	Джейкоб Бекенштейн		Скалярно-тензорный
1978	Б.М. Баркер		Скалярно-тензорный
1979	P. Rastall		Биметрический

Эти теории представлены здесь без космологической постоянной или добавленного скалярного или векторного потенциала, если не указано иное, по той простой причине, что необходимость в одном или обоих из них не была признана до наблюдений сверхновых в рамках Проекта космологии сверхновых и Поиска сверхновых с высоким Z. Команда . Как добавить в теорию космологическую постоянную или квинтэссенцию , обсуждается в разделе «Современные теории» (см. Также действие Эйнштейна – Гильберта).

Скалярные теории поля

Смотрите также: Скалярные теории гравитации.

Скалярные теории поля Нордстрема уже обсуждались. Те из Литтлвуда, Бергман, Йылмаз, Уитроу и Мордух и Пейдж и Таппер следуйте общей формуле Пейджа и Таппера.

По мнению Пейджа и Таппера, которые обсуждают все это, кроме Нордстрема, общая теория скалярного поля исходит из принципа наименьшего действия:

$\delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0$

где скалярное поле,

$\varphi ={\frac {GM}{r}}$

и c может зависеть или не зависеть от $\varphi$.

В Нордстреме,

$f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }$

В Литтлвуде и Бергманн,

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,$

В Уитроу и Мордухе

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,$

В Уитроу и Мордухе

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,$

В «Пейдже и Таппере»

$f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}$

Пейдж и Таппер соответствует теории Йылмаза ко второму порядку, когда $\alpha =-7/2$.

Гравитационное отклонение света должно быть равно нулю, когда c постоянно. Учитывая, что переменная c и нулевое отклонение света противоречат эксперименту, перспектива успешной скалярной теории гравитации выглядит очень маловероятной. Более того, если параметры скалярной теории подобраны так, чтобы отклонение света было правильным, то гравитационное красное смещение, скорее всего, будет неправильным.

В обобщил некоторые теории, а также создал еще две. В первом случае ранее существовавшая специальная теория относительности пространства-времени и универсальной временной координаты взаимодействует с материей и негравитационными полями, создавая скалярное поле. Это скалярное поле вместе со всеми остальными генерирует метрику.

Действие:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}$

$L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi$

Миснер и др. дает это без $\varphi R$ срок. $S_{m}$ дело в действии.

$\Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]$

t — универсальная временная координата. Эта теория является самосогласованной и полной. Но движение Солнечной системы через Вселенную приводит к серьезному расхождению с экспериментом.

Во второй теории Ni есть две произвольные функции $f(\varphi )$ и $k(\varphi )$ которые связаны с метрикой следующим образом:

$ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]$

$\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )$

В цитаты Розена как наличие двух скалярных полей $\varphi$ и $\psi$ которые связаны с метрикой следующим образом:

$ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]$

В Папапетру гравитационная часть лагранжиана равна:

$L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)$

В Папапетру существует второе скалярное поле $\chi$. Гравитационная часть лагранжиана теперь равна:

$L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,$

Биметрические теории

Смотрите также: Биметрическая теория

Биметрические теории содержат как нормальную тензорную метрику, так и метрику Минковского (или метрику постоянной кривизны), а также могут содержать другие скалярные или векторные поля.

Розен (1975) биметрическая теорияДействие:

$S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}$

$\Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,$

Лайтман-Ли разработал метрическую теорию, основанную на неметрической теории Белинфанте и Свихарта. Результат известен как теория BSLL. Учитывая тензорное поле $B_{\mu \nu }\,$, $B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,$и две константы $a\,$ и $f\,$ действие такое:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}$

а тензор энергии-импульса получается из:

$a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)$

In Rastall, метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля. Действие:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}$

где

$F(N)=-{\frac {N}{2+N}}$ и $N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;$

(см. Уилл для уравнения поля для $T^{\mu \nu }\;$ и $K_{\mu }\;$).

Квазилинейные теории

В Уайтхеде , физическая метрика $g\;$ строится ( Singe ) алгебраически из метрики Минковского $\eta \;$ и материальные переменные, поэтому у него даже нет скалярного поля. Конструкция это:

$g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}$

где верхний индекс (-) указывает на величины, оцененные за прошлый период. $\eta \;$ световой конус точки поля $x^{\alpha }\;$ и

${\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}$

Тем не менее, метрическая конструкция (из неметрической теории) с использованием анзаца «сокращения длины» подвергается критике.

Дезер и Лоран и Боллини – Джамбьяджи – Тиомно. являются линейными теориями с фиксированной калибровкой. Используя подход квантовой теории поля, объедините пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля со спином два (т. е. гравитона). $h_{\mu \nu }\;$ определить

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;$

Действие:

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;$

Тождество Бьянки , связанное с этой частичной калибровочной инвариантностью, неверно. Линейные теории с фиксированной калибровкой пытаются исправить это, нарушая калибровочную инвариантность гравитационного воздействия посредством введения вспомогательных гравитационных полей, которые взаимодействуют с гравитационным полем. $h_{\mu \nu }\;$.

Космологическая константа может быть введена в квазилинейную теорию с помощью простого способа замены фона Минковского на пространство-время де Ситтера или анти-де Ситтера , как это предложил Дж. Темпл в 1923 году. Предложения Темпла о том, как это сделать, подверглись критике со стороны CB. Рейнер в 1955 году.

Тензорные теории

Общая теория относительности Эйнштейна — это простейшая и правдоподобная теория гравитации, которая может быть основана только на одном симметричном тензорном поле ( метрическом тензоре ). Другие включают: гравитацию Старобинского (R+R^2), гравитацию Гаусса – Бонне , гравитацию f(R) и теорию гравитации Лавлока .

Старобинский

Смотрите также: Старобинская инфляция

Гравитация Старобинского, предложенная Алексеем Старобинским, имеет лагранжиан

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]$

и использовался для объяснения инфляции в форме инфляции Старобинского . Здесь $M$ является константой.

Гаусс – Бонне

Гравитация Гаусса – Бонне имеет действие

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].$

где коэффициенты дополнительных членов выбираются так, что действие сводится к общей теории относительности в 4 измерениях пространства-времени, а дополнительные члены становятся нетривиальными только при введении большего количества измерений.

4-я производная гравитации Стеллы

Четвертая производная гравитации Стелла, которая является обобщением гравитации Гаусса – Бонне, имеет действие

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].$

е(Р)

f(R) гравитация оказывает действие

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)$

и представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией скаляра Риччи. Гравитация Старобинского на самом деле является $f(R)$ теория.

Бесконечная производная гравитация

Бесконечная производная гравитации - это ковариантная теория гравитации, квадратичная по кривизне, без кручения и инвариантная по четности.

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].$

и

$2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,$

чтобы гарантировать, что в пропагаторе гравитонов вокруг фона Минковского распространяются только безмассовые компоненты спина -2 и спина -0. Действие становится нелокальным за пределами масштаба $M_{s}$и возвращается к общей теории относительности в инфракрасном диапазоне для энергий ниже нелокального масштаба. $M_{s}$. В ультрафиолетовом режиме на расстояниях и временных масштабах ниже нелокального масштаба $M_{s}^{-1}$, гравитационное взаимодействие ослабевает достаточно, чтобы разрешить точечную сингулярность, а это означает, что сингулярность Шварцшильда потенциально может быть разрешена в теориях гравитации с бесконечными производными .

Лавлок

Гравитация Лавлока имеет действие

${\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),$

и его можно рассматривать как обобщение общей теории относительности.

Скалярно-тензорные теории

См. также: Скалярно-тензорная теория , теория Бранса-Дикке , Дилатон , частица Хамелеон , Прессурон и теория Хорндески.

Все они содержат хотя бы один свободный параметр, в отличие от общей теории относительности, в которой свободных параметров нет.

Хотя обычно это не считается скалярно-тензорной теорией гравитации, метрика Калуцы-Клейна 5 на 5 сводится к метрике 4 на 4 и одному скаляру. Таким образом, если пятый элемент рассматривать как скалярное гравитационное поле, а не как электромагнитное поле, то Калуцу-Клейна можно считать прародителем скалярно-тензорных теорий гравитации. Это было признано Тири.

Скалярно-тензорные теории включают Тири, Иордания, Бранс и Дике, Бергман, Нордтвельдт (1970), Ваггонер, Бекенштейн и Баркер.

Действие $S\;$ основан на интеграле лагранжиана $L_{\varphi }\;$.

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;$

$L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;$

$S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;$

$T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}$

где $\omega (\varphi )\;$ — это разные безразмерные функции для каждой отдельной скалярно-тензорной теории. Функция $\lambda (\varphi )\;$ играет ту же роль, что и космологическая постоянная в общей теории относительности. $G_{N}\;$ — безразмерная константа нормализации, фиксирующая современное значение $G\;$. К скаляру можно добавить произвольный потенциал.

Полная версия хранится в Бергмане. и Вагонер. Особыми случаями являются:

Нордтведт, $\lambda =0\;$

С $\lambda$ В любом случае в то время считалось, что оно равно нулю, это не считалось бы существенной разницей. Роль космологической постоянной в более современных работах обсуждается в разделе « Космологическая постоянная» .

Бранс-Дике, $\omega \;$ постоянен

Бекенштейн теория переменной массыНачиная с параметров $r\;$ и $q\;$, найденный из космологического решения, $\varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;$ определяет функцию $f\;$ затем

$\omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;$

Баркер теория постоянной G

$\omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}$

Регулировка $\omega (\varphi )\;$ позволяет скалярным тензорным теориям стремиться к общей теории относительности в пределе $\omega \rightarrow \infty \;$ в нынешнюю эпоху. Однако в ранней Вселенной могли быть существенные отличия от общей теории относительности.

Пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, общие скалярно-тензорные теории (включая теории Бранса-Дикке) ) никогда нельзя полностью исключить, но по мере того, как эксперименты продолжают все более точно подтверждать общую теорию относительности, параметры должны быть точно настроены, чтобы предсказания более точно соответствовали предсказаниям общей теории относительности.

Приведенные выше примеры являются частными случаями теории Хорндески . наиболее общий лагранжиан, построенный на основе метрического тензора и скалярного поля, приводящий к уравнениям движения второго порядка в 4-мерном пространстве. Было показано, что существуют жизнеспособные теории, выходящие за рамки Хорндески (с уравнениями движения более высокого порядка).

Векторно-тензорные теории

Прежде чем мы начнем, Уилл (2001) сказал: «Многие альтернативные метрические теории, разработанные в 1970-х и 1980-х годах, можно рассматривать как теории «соломенного человека», изобретенные для того, чтобы доказать существование таких теорий или проиллюстрировать определенные свойства. Лишь немногие из них могли бы рассматриваться как хорошо мотивированные теории с точки зрения, скажем, теории поля или физики элементарных частиц. Примерами могут служить векторно-тензорные теории, изучаемые Уиллом, Нордтведтом и Хеллингсом».

Хеллингс и Нордтведт и Уилл и Нордтведт обе являются векторно-тензорными теориями. Помимо метрического тензора существует времениподобное векторное поле $K_{\mu }.$ Гравитационное действие – это:

$S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}$

где $\omega ,\eta ,\epsilon ,\tau$ являются константами и

$F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.$ (См. Уилл для уравнений поля для $T^{\mu \nu }$ и $K_{\mu }.$)

Уилл и Нордтведт является частным случаем, когда

$\omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1$

Хеллингс и Нордтведт является частным случаем, когда

$\tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega$

Эти векторно-тензорные теории являются полуконсервативными, что означает, что они удовлетворяют законам сохранения импульса и углового момента, но могут иметь эффекты предпочтительной системы отсчета. Когда $\omega =\eta =\epsilon =\tau =0$ они сводятся к общей теории относительности, поэтому, пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, никогда нельзя исключать общие векторно-тензорные теории.

Другие метрические теории

Были предложены и другие метрические теории; что из Бекенштейна обсуждается в разделе «Современные теории».

Неметрические теории

Смотрите также: теория Эйнштейна – Картана и связь Картана .

Теория Картана особенно интересна как потому, что это неметрическая теория, так и потому, что она очень стара. Статус теории Картана неясен. Воля утверждает, что все неметрические теории устраняются принципом эквивалентности Эйнштейна. Уилл (2001) смягчает это, объясняя экспериментальные критерии проверки неметрических теорий на соответствие принципу эквивалентности Эйнштейна. Миснер и др. утверждает, что теория Картана - единственная неметрическая теория, выдержавшая все экспериментальные проверки до сих пор, а Турышев называет теорию Картана одной из немногих, переживших все экспериментальные проверки до сих пор. Ниже приводится краткий обзор теории Картана, переформулированной Траутманом.

Картан предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна. Он предложил модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной «связью», совместимой с метрикой, но не обязательно симметричной. Тензор кручения связи связан с плотностью собственного момента импульса. Независимо от Картана, аналогичные идеи были выдвинуты Скиамой и Кибблом в период с 1958 по 1966 год, кульминацией которых стал обзор 1976 года, проведенный Hehl et al.

Исходное описание дано в терминах дифференциальных форм, но в настоящей статье оно заменено более знакомым языком тензоров (рискуя потерять точность). Как и в общей теории относительности, лагранжиан состоит из безмассовой и массовой частей. Лагранжиан для безмассовой части равен:

${\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}$

The $\omega _{\nu }^{\mu }\;$ это линейная связь. $\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;$ — полностью антисимметричный псевдотензор ( символ Леви-Чивита ) с $\varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;$, и $g^{\nu \xi }\,$ – это, как обычно, метрический тензор. Предположив, что линейная связь является метрической, можно устранить нежелательную свободу, присущую неметрической теории. Тензор энергии-импульса рассчитывается по формуле:

$T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;$

Кривизна пространства не является римановой, но в римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану общей теории относительности.

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Свихарта уже обсуждались в разделе, посвященном биметрическим теориям .

Отчетливо неметрическая теория представляет собой калибровочную теорию гравитации , которая заменяет метрику в своих уравнениях поля парой калибровочных полей в плоском пространстве-времени. С одной стороны, теория достаточно консервативна, поскольку по существу эквивалентна теории Эйнштейна–Картана (или общей теории относительности в пределе исчезновения спина), отличаясь главным образом природой своих глобальных решений. С другой стороны, она радикальна, поскольку заменяет дифференциальную геометрию геометрической алгеброй .

Современные теории с 1980-х по настоящее время

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений вращения галактик, которые привели к гипотезе «темной материи». Не существует известного надежного списка для сравнения этих теорий. Здесь рассматриваются: Бекенштейн, Моффат, Моффат, Моффат. Эти теории представлены с космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивации

Мотивы для более поздних альтернатив общей теории относительности почти полностью космологические, связанные с такими конструкциями, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия», или заменяющие их. Основная идея состоит в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в современную эпоху, но в ранней Вселенной она могла быть совершенно иной.

В 1980-х годах в мире физики медленно зарождалось осознание того, что существует несколько проблем, присущих нынешнему сценарию Большого взрыва, включая проблему горизонта и наблюдение о том, что в ранние времена, когда кварки только формировались, их было недостаточно. пространство во Вселенной содержит хотя бы один кварк. Теория инфляции была разработана для преодоления этих трудностей. Другой альтернативой было создание альтернативы общей теории относительности, согласно которой скорость света была выше в ранней Вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли во Вселенной быть больше массы, чем мы думаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус заключается в том, что недостающая масса представляет собой «холодную темную материю», но этот консенсус был достигнут только после того, как были опробованы альтернативы общей теории относительности, и некоторые физики до сих пор полагают, что альтернативные модели гравитации могут дать ответ.

В 1990-х годах исследования сверхновых обнаружили ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно приписывают темной энергии . Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция стала альтернативой космологической постоянной. По крайней мере, одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась объяснить результаты исследований сверхновых совершенно по-другому. Измерение скорости гравитации с помощью гравитационного события GW170817 исключило многие альтернативные теории гравитации как объяснения ускоренного расширения. Еще одно наблюдение, которое вызвало недавний интерес к альтернативам общей теории относительности, — это аномалия Пионер . Вскоре было обнаружено, что альтернативы общей теории относительности могут объяснить эту аномалию. Сейчас считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая константа и квинтэссенция

См. Также: Космологическая постоянная , действие Эйнштейна – Гильберта и Квинтэссенция (физика).

Космологическая постоянная $\Lambda \;$ — это очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 году. Успех модели Вселенной Фридмана, в которой $\Lambda =0\;$ привело к общему признанию, что оно равно нулю, но использование ненулевого значения вернулось, когда данные о сверхновых показали, что расширение Вселенной ускоряется.

В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной меняет уравнение Ньютона – Пуассона на:

$\nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;$

к

$\nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;$

В общей теории относительности это меняет действие Эйнштейна – Гильберта с

$S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;$

к

$S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;$

что меняет уравнение поля на:

$T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;$

к:

$T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;$

В альтернативных теориях гравитации таким же образом к действию можно добавить космологическую постоянную.

В более общем смысле скалярный потенциал $\lambda (\varphi )\;$ могут быть добавлены к скалярным тензорным теориям. Это можно сделать в любой альтернативе общей теории относительности, содержащей скалярное поле. $\varphi \;$ добавив термин $\lambda (\varphi )\;$ внутри лагранжиана гравитационной части действия $L_{\varphi }\;$ часть

$S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;$

Потому что $\lambda (\varphi )\;$ является произвольной функцией скалярного поля, а не константой, его можно задать так, чтобы оно давало ускорение, большое в ранней Вселенной и малое в современную эпоху. Это известно как квинтэссенция.

Подобный метод можно использовать в альтернативах общей теории относительности, использующих векторные поля, включая Rastall. и векторно-тензорные теории. Член, пропорциональный

$K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;$

добавляется к лагранжиану гравитационной части действия.

Теории Фарнса

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета предложил теорию темной жидкости , связанную с представлениями о гравитационно-отталкивающих отрицательных массах, которые ранее были представлены Альбертом Эйнштейном . Теория может помочь лучше понять значительные количества неизвестной темной материи и темной энергии во Вселенной .

Теория опирается на концепцию отрицательной массы и вновь вводит тензор сотворения Фреда Хойла , чтобы обеспечить создание материи только для частиц с отрицательной массой. Таким образом, частицы отрицательной массы окружают галактики и оказывают на них давление, напоминая темную материю. Поскольку эти предполагаемые частицы взаимно отталкивают друг друга, они раздвигают Вселенную, тем самым напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности экзотических частиц с отрицательной массой оставаться постоянной как функция времени и поэтому выглядит как космологическая константа . Уравнения поля Эйнштейна модифицируются следующим образом:

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)$

Согласно бритве Оккама, теория Фарнса является более простой альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку и темная энергия, и темная материя (две гипотезы) решаются с использованием одной жидкости с отрицательной массой (одна гипотеза). Теорию можно будет напрямую проверить с помощью крупнейшего в мире радиотелескопа Square Kilometer Array , который должен заработать в 2022 году.

Релятивистский МОНД

Основные статьи: Модифицированная ньютоновская динамика , Тензорно-векторно-скалярная гравитация и Расширенные теории гравитации.

Оригинальная теория МОНД Милгрома была разработана в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от закона гравитации Ньютона определяются масштабом ускорения, а не масштабом расстояний. МОНД успешно объясняет наблюдение Талли-Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как четвертая степень скорости вращения. Это также объясняет, почему несоответствие вращения в карликовых галактиках особенно велико.

Вначале с MOND было несколько проблем.

1. Он не включал релятивистские эффекты.
2. Это нарушило закон сохранения энергии, импульса и момента импульса.
3. Оно было непоследовательным в том смысле, что давало разные галактические орбиты для газа и звезд.
4. В нем не говорилось, как рассчитать гравитационное линзирование скоплений галактик.

К 1984 году проблемы 2 и 3 были решены путем введения лагранжиана ( AQUAL ). Релятивистская версия этого явления, основанная на скалярно-тензорной теории, была отвергнута, поскольку она позволяла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы:

$L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi$

Релятивистская версия этого имеет:

$L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)$

с нестандартным массовым действием. Здесь $f$ и ${\tilde {f}}$ являются произвольными функциями, выбранными для обеспечения поведения Ньютона и MOND в правильных пределах, и $l_{0}=c^{2}/a_{0}\;$ — шкала длины MOND. К 1988 году второе скалярное поле (PCC) устранило проблемы с более ранней скалярно-тензорной версией, но противоречило прецессии перигелия Меркурия и гравитационному линзированию галактик и скоплений. К 1997 году МОНД был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но, поскольку это теория предпочтительной системы отсчета , у нее есть свои проблемы. Бекенштейн представил тензорно-векторно-скалярную модель (TeVeS). Это имеет два скалярных поля $\varphi$ и $\sigma \;$ и векторное поле $U_{\alpha }$. Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы.

$S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}$

Гравитационная часть такая же, как и в общей теории относительности.

${\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}$

где

$h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }$

${\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )$

$k,K$ — константы, в индексах квадратные скобки $U_{[\alpha ,\mu ]}$ представляют собой антисимметризацию, $\lambda$ — множитель Лагранжа (рассчитанный в другом месте), а L — лагранжиан, переведенный из плоского пространства-времени в метрику ${\tilde {g}}^{\alpha \beta }$. Обратите внимание, что G не обязательно равна наблюдаемой гравитационной постоянной. $G_{Newton}$. F — произвольная функция, и

$F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }$

приведен в качестве примера с правильной асимптотикой; обратите внимание, как оно становится неопределенным, когда $\mu =1$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории рассчитываются в: который показывает, что все его параметры равны параметрам общей теории относительности, за исключением

${\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}$

оба из которых выражены в геометрических единицах , где $c=G_{Newtonian}=1$; так

$G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.$

Теории Моффата

Дж. В. Моффат разработал несимметричную теорию гравитации . Это не метрическая теория. Впервые утверждалось, что она не содержит горизонта черной дыры, но Бурко и Ори обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Моффат заявил, что его также применяли для объяснения кривых вращения галактик без привлечения «темной материи». Дамур, Дезер и Макарти раскритиковали несимметричную теорию гравитации, заявив, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика несложна, но запутана, поэтому ниже приведен лишь краткий обзор. Начиная с несимметричного тензора $g_{\mu \nu }\;$, лагранжева плотность распадается на

$L=L_{R}+L_{M}\;$

где $L_{M}\;$ то же самое, что и для материи в общей теории относительности.

$L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;$

где $R(W)\;$ - это термин кривизны, аналогичный, но не равный кривизне Риччи в общей теории относительности, $\lambda \;$ и $\mu ^{2}\;$ являются космологическими константами, $g_{[\nu \mu ]}\;$ является антисимметричной частью $g_{\nu \mu }\;$. $W_{\mu }\;$ это соединение, и его немного сложно объяснить, поскольку оно определяется рекурсивно. Однако, $W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;$

Хауган и Кауфманн использовали измерения поляризации света, излучаемого галактиками, чтобы наложить жесткие ограничения на величину некоторых параметров несимметричной теории гравитации. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничения на восемь порядков жестче, чем предыдущие оценки.

Моффата Теория метрической асимметричной тензорной гравитации (MSTG) способна предсказывать кривые вращения галактик без темной материи или MOND и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. Он имеет переменную $G\;$, увеличиваясь до окончательного постоянного значения примерно через миллион лет после Большого взрыва.

Кажется, что теория содержит асимметричный тензор $A_{\mu \nu }\;$ поле и ток источника $J_{\mu }\;$ вектор. Действие разделено на:

$S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;$

И гравитация, и масса соответствуют терминам общей теории относительности с космологической постоянной. Действие тела и связь материи тела:

$S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;$

$S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;$

где

$F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }$

и $\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;$ является символом Леви-Чивита . Связь по секулярному полю представляет собой связь Паули и является калибровочно-инвариантной для любого тока источника. Ток источника выглядит как фермионное поле материи, связанное с барионным и лептонным числом.

Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Основная статья: Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Моффата. Скалярно-тензорно-векторная гравитация содержит тензор, вектор и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: $S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}$ с условиями гравитации, векторного поля $K_{\mu },$ скалярные поля $G,\omega ,\mu$ и масса. $S_{G}$ является стандартным гравитационным термином, за исключением того, что $G$ перемещается внутри интеграла.

$S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.$

$S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).$

Потенциальная функция векторного поля выбирается следующей:

$V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}$

где $g$ является константой связи. Функции, предполагаемые для скалярных потенциалов, не указаны.

Бесконечная производная гравитация

Основная статья: Бесконечная производная гравитация

Чтобы удалить призраки в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигел (2005) рассмотрели струнный бесконечный набор членов высших производных.

$S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)$

где $F(\Box )$ является экспонентой целой функции оператора Даламбера . Это позволяет избежать сингулярности черной дыры вблизи начала координат и восстановить падение потенциала общей теории относительности на 1/r на больших расстояниях. Лусто и Маццителли (1997) нашли точное решение этой теории, представляющее гравитационную ударную волну.

Общая теория относительности самодействия (GRSI)

Общая теория относительности самодействия или модель GRSI. представляет собой попытку объяснить астрофизические и космологические наблюдения без темной материи и темной энергии путем добавления членов самодействия при расчете гравитационных эффектов в общей теории относительности , аналогичных терминам самодействия в квантовой хромодинамике . Кроме того, модель объясняет соотношение Талли-Фишера : отношение радиального ускорения , наблюдения, которые в настоящее время сложно понять в рамках Lambda-CDM .

Тестирование альтернатив общей теории относительности

Основная статья: Тесты общей теории относительности

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна будет пройти множество тестов, чтобы стать принятой. Подробное описание этих тестов см. в Misner et al. Глава 39, Уилл Таблица 2.1 и Ni. Большинство таких тестов можно отнести к следующим подразделам.

Самосогласованность

Самосогласованность среди неметрических теорий включает в себя исключение теорий, допускающих тахионы , призрачные полюса и полюса более высокого порядка, а также тех, у которых есть проблемы с поведением на бесконечности. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, которые не прошли этот тест. Классическим примером является теория поля со спином два Фирца и Паули; уравнения поля предполагают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, тогда как уравнения движения утверждают, что гравитация отклоняет тела от прямолинейного движения. Йылмаз (1971) содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; это математически противоречиво, поскольку функциональная зависимость метрики от тензорного поля четко не определена.

Полнота

Чтобы быть полной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Поэтому она должна согласовываться с электромагнетизмом и всей остальной физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать на основе первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории неполны, поскольку неясно, является ли плотность $\rho$ используемый теорией, должен рассчитываться из тензора энергии-импульса $T$ как $\rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }$ или как $\rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }$, где $u$ - четырехскоростная , и $\delta$ это дельта Кронекера . Теории Тирри (1948) и Джордана являются неполными, если только параметр Жордана $\eta \;$ установлено значение -1, и в этом случае они соответствуют теории Бранса – Дике. и поэтому заслуживают дальнейшего рассмотрения. Милн является неполным, поскольку не дает предсказаний по гравитационному красному смещению. Теории Уитроу и Мордуха. Племя Кустаан и Кустаанхеймо и Нуотио являются либо неполными, либо противоречивыми. Включение уравнений Максвелла является неполным, если не предположить, что они наложены на плоское фоновое пространство-время, и когда это делается, они становятся противоречивыми, поскольку они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла). и ненулевое красное смещение, когда используется версия частицы (фотона). Другой, более очевидный пример — ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет в виде фотонов отклоняется гравитационными полями (вполовину меньше, чем в общей теории относительности), а свет в виде волн — нет.

Классические тесты

Основная статья: Тесты общей теории относительности

Существует три «классических» теста (начиная с 1910-х годов или ранее) способности теорий гравитации учитывать релятивистские эффекты; это гравитационное красное смещение , гравитационное линзирование (обычно тестируемое вокруг Солнца) и аномальное смещение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые на сегодняшний день всегда соответствуют предсказаниям общей теории относительности. В 1964 году Ирвин И. Шапиро обнаружил четвертый тест, названный задержкой Шапиро . Его также обычно считают «классическим» тестом.

Соглашение с механикой Ньютона и специальной теорией относительности.

В качестве примера несогласия с экспериментами Ньютона Биркгоф Теория достаточно надежно предсказывает релятивистские эффекты, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием допущения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс.

Принцип эквивалентности Эйнштейна

Основная статья: Принцип эквивалентности

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Во-первых, это уникальность свободного падения, также известная как принцип слабой эквивалентности. Это выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η — параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые испытания принципа слабой эквивалентности были проведены Этвёшем до 1900 года и ограничили η менее чем 5 × 10. ⁻⁹ . Современные тесты сократили это значение до менее чем 5 × 10. ⁻¹³ . Второе — лоренц-инвариантность. В отсутствие гравитационных эффектов скорость света постоянна. Тестовым параметром для этого является δ . Первые тесты лоренц-инвариантности были проведены Майкельсоном и Морли до 1890 года и ограничили δ величиной менее 5 × 10. ⁻³ . Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10. ⁻²¹ . Третий — локальная позиционная инвариантность, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Пространственная локальная инвариантность положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Тестовым параметром для этого является α . Верхние пределы этого значения, установленные Паундом и Ребкой в ​​1960 году, ограничивали значение α менее 0,1. Современные тесты снизили это значение до менее чем 1 × 10. ⁻⁴ .

Гипотеза Шиффа утверждает, что любая полная, самосогласованная теория гравитации, воплощающая слабый принцип эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, верно, если теория имеет полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Крайне немногие неметрические теории удовлетворяют этому требованию. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта. устраняется формализмом THεμ для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Гравитация калибровочной теории является заметным исключением, где сильный принцип эквивалентности по существу представляет собой минимальную связь калибровочной ковариантной производной .

Параметрический постньютоновский формализм

Основная статья: Параметризованный постньютоновский формализм

См. также «Тесты общей теории относительности» , Misner et al. и Уилл для получения дополнительной информации.

Работа над разработкой стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к созданию стандартного набора параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте и Уилле. и Уилл и Нордтведт. Каждый параметр измеряет отдельный аспект того, насколько теория отклоняется от ньютоновской гравитации. Поскольку здесь мы говорим об отклонении от теории Ньютона, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей будут рассмотрены позже.

Вот эти десять: $\gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.$

• $\gamma$ является мерой кривизны пространства, равной нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
• $\beta$ является мерой нелинейности при добавлении гравитационных полей, одной из мер общей теории относительности.
• $\eta$ — это проверка эффектов предпочтительного местоположения.
• $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ измерить степень и характер «эффектов предпочтительной системы координат». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех ненулевой, называется теорией выделенной системы отсчета.
• $\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}$ измерить степень и характер нарушений глобальных законов сохранения. Теория гравитации обладает четырьмя законами сохранения энергии-импульса и шестью законами сохранения углового момента только в том случае, если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны

Основная статья: Тесты общей теории относительности

Параметрический постньютоновский подход является лишь мерой эффектов слабого поля. Сильные гравитационные эффекты можно наблюдать в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, могут быть использованы в качестве тестов, альтернативных общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности утверждают, что гравитационные волны движутся быстрее света, возможно, нарушая причинно-следственную связь. После обнаружения с помощью нескольких сообщений слияния нейтронных звезд GW170817 , где было измерено, что световые и гравитационные волны движутся с одинаковой скоростью с ошибкой 1/10. ¹⁵ , многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты

Полезные тесты космологического масштаба только начинают становиться доступными. Учитывая ограниченность астрономических данных и сложность теорий, сравнения включают сложные параметры. Например, Рейес и др., проанализировали 70 205 светящихся красных галактик с помощью взаимной корреляции, включающей оценки скорости галактик и гравитационные потенциалы, оцененные с помощью линзирования, но результаты все еще являются предварительными.

Для тех теорий, которые стремятся заменить темную материю, такие наблюдения, как кривая вращения галактики , соотношение Талли-Фишера , более высокая скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование ограничениями выступают из-за галактических скоплений. Для теорий, которые стремятся заменить инфляцию размер пульсаций в спектре космического микроволнового фонового излучения , самым строгим критерием является . Для тех теорий, которые включают или стремятся заменить темную энергию, в качестве тестов можно использовать результаты яркости сверхновой и возраста Вселенной. Еще одним испытанием является плоскостность Вселенной. Согласно общей теории относительности, сочетание барионной материи, темной материи и темной энергии делает Вселенную абсолютно плоской.

Результаты проверки теорий

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

(См. Уилл и Ни для более подробной информации. Миснер и др. дает таблицу перевода параметров из обозначения Ni в обозначение Will)

Общей теории относительности уже более 100 лет, в течение которых одна альтернативная теория гравитации за другой не согласовывалась со все более точными наблюдениями. Одним из показательных примеров является параметризованный постньютоновский формализм . В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полную формулу будет слишком сложно включать сюда.

	$\gamma$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	$\alpha _{3}$	$\zeta _{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
Общая теория относительности Эйнштейна	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Скалярно-тензорные теории
Бергманн, Вагонер	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Нордтведт, Бекенштейн	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Бранс-Дике	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Векторно-тензорные теории
Хеллингс-Нордтведт	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Уилл-Нордтведт	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Биметрические теории
Розен	1	1	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Расталл	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Лайтман-Ли	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Стратифицированные теории
Ли-Лайтман-Ни	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
В	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Скалярные теории поля
Эйнштейн (1912) {Не общая теория относительности}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0†
Уитроу – Мордух	0	-1		-4	0	0	0	−3	0	0†
Розен	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	-4	0	-1	0	0
Папапетру	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
В (стратифицированный)	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Йылмаз (1962)	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1†
Пейдж – Таппер	$\gamma$	$\beta$		$-4-4\gamma$	0	$-2-2\gamma$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{4}$
Нордстрем	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0†
Нордстрем, Эйнштейн-Фоккер	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0
В (плоский)	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Уитроу – Мордух	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	д	0	0†
Литлвуд, Бергман	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	-1	0	0†

† Теория неполна, и $\zeta _{4}$ может принимать одно из двух значений. В списке указано значение, наиболее близкое к нулю.

На данный момент все экспериментальные тесты согласуются с общей теорией относительности, и поэтому параметрический постньютоновский анализ немедленно исключает все скалярные теории поля в таблице. Полный список параметрических постньютоновских параметров Уайтхеда недоступен. Десерт-Лоран, Боллини–Джамбьяджи–Тиомино, но в этих трех случаях $\beta =\xi$, что находится в сильном противоречии с общей теорией относительности и экспериментальными результатами. В частности, эти теории предсказывают неправильные амплитуды земных приливов. (Небольшая модификация теории Уайтхеда позволяет избежать этой проблемы. Однако модификация предсказывает эффект Нордтведта , который был ограничен экспериментально.)

Теории, которые не проходят другие проверки

Стратифицированные теории Ni, Ли Лайтман и Ни являются неудачными, потому что все они не могут объяснить продвижение перигелия Меркурия. Биметрические теории Лайтмана и Ли. Розен, Расталл все они не проходят некоторые тесты, связанные с сильными гравитационными полями. Скалярно-тензорные теории включают общую теорию относительности как частный случай, но согласуются с параметрическими постньютоновскими значениями общей теории относительности только тогда, когда они равны общей теории относительности с точностью до экспериментальной ошибки. По мере того как экспериментальные тесты становятся более точными, отклонение скалярно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. То же самое и с векторно-тензорными теориями: отклонение векторно-тензорных теорий от общей теории относительности сводится к нулю. Кроме того, векторно-тензорные теории полуконсервативны; они имеют ненулевое значение для $\alpha _{2}$ которые могут оказать измеримое влияние на приливы и отливы на Земле. Неметрические теории, такие как Белинфанте и Суихарт, обычно не согласуются с экспериментальными проверками принципа эквивалентности Эйнштейна. И это не оставляет в качестве вероятной альтернативы общей теории относительности ничего, кроме, возможно, Картана. Так было до тех пор, пока космологические открытия не подтолкнули к развитию современных альтернатив.

Внешние ссылки

• Кэрролл, Шон . Обсуждение видеолекций о возможностях и ограничениях пересмотра общей теории относительности. Темная энергия или что еще хуже: был ли Эйнштейн не прав? на YouTube